ELEMENTY TEORII PLASTYCZNOŚCI
Jednoosiowy stan naprężeń  wykres � - � . Przykład stal  miękka
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 1
Stosowane są uproszczone jednoosiowe modele materiałowe
Zadaniem teorii plastyczności jest opis następujących zjawisk:
" powstanie uplastycznienia  pojawienie się procesów
plastycznych  warunki plastyczności, kurs WM  hipotezy
wytrzymałościowe.
" rozwój odkształceń plastycznych (po przekroczeniu granicy
uplastycznienia)
" warunki wzmocnienia i osłabienia plastycznego
" opis odkształceń odwracalnych (jak w Teorii Sprężystości)
Bieżący kurs  jedynie warunki plastyczności.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 2
Założenie: Istnieje funkcja skalarna określająca granicę obszaru
sprężystego.
F(�ij ,k1,k2, ...) = 0
W ogólnym przypadku parametry ki mogą zależeć od stanu
odkształcenia i współrzędnych punktu: ki = ki (�, x)

Możliwe są następujące uproszczenia
1) materiał jednorodny ki = ki (�ij )
2) materiał izotropowy F(�1, �2,�3,k1,k2, ...) = 0,
gdzie �1, �2,�3 są naprężeniami głównymi
3) parametry ki - wartości liczbowe
4) redukcja zagadnienia do jednego parametru k = �0
stąd sformułowanie tzw. hipotezy jednoparametrowej
F(�1, �2,�3,�0 ) = 0 lub f (�1, �2,�3) -�0 = 0
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 3
HIPOTEZY JEDNOPARAMETROWE
WARUNEK TRESKI (Treski  Guesta - TG)
Granice obszaru sprężystego (obszaru bezpiecznego) określają
ekstremalne naprężenia styczne.
Przypomnienie: �max = max(�1, �2,�3)
�2 -�3 �3 -�1 �1 -�2
�1 = , �2 = , �3 =
2 2 2
W stanie jednoosiowym  rozciąganie/ściskanie naprężeniem �0
�1 �0
jest �0 = = .
2 2
Warunek obszaru bezpiecznego  układ nierówności
�1 d"�0 �2 -�3 d" �0
ż#
ż#
�#�#
�3 -�1 d" �0
�#� d"�0 �! �#
2
�#� d"�0 �#
�1 -�2 d" �0
�# 3
�#
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 4
Określenie granicy obszaru bezpiecznego  odpowiednie równania
Interpretacja geometryczna:
W stosunku do układu �1�2�3 tworzymy układ obrócony o
wersorach
1 1 1
e1 = [1 1 - 2] , e2 = [-1 1 0] , e3 = [1 1 1]

6 2 3
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 5
Na osi spełniony jest warunek �1 = �2 = �3
Płaszczyzna  prostopadła do �3 (określona jest przez osie �1 i
�2) jest zbiorem punktów o równaniu �1 +�2 +�3 = 0
Jest to tzw. płaszczyzna dewiatorowa  każdy stan naprężeń będący
punktem tej płaszczyzny spełnia warunek tr� = 0 (istnieje jedynie

dewiator)
Transformacja warunków powierzchni granicznej Treski-Guesta
(równania) do układu �1�2�3:
�1 -�2 = -�2 2 = ą�0
31
�2 -�3 = �1 + �2 = ą�0
22
31
�3 -�1 = - �1 + �2 = ą�0
22
Równania sześciu płaszczyzn równoległych do osi �3, tworzą one
nieskończony graniastosłup.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 6
Hipoteza Treski  płaski stan naprężenia (�3 = 0)
 przecięcie graniastosłupa płaszczyzną �1�2
Granice obszaru sprężystego
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 7
ż#�1 -�2 d" �0
�#
�1 d" �0
�#
�#
�2 d" �0
�#
Hipoteza Treski  płaski stan odkształcenia
(�3 = 0 �! �3 =� (�1 +�2 ))
ż# �1 -�2 d" �0
�#
�1 -� (�1 +�2 ) d" �0
�#
�#� -� (�1 +�2 ) d" �0
2
�#
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 8
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 9
WARUNEK HUBERA  MISESA - HENCKY (H-M-H)
Granicę obszaru sprężystego określa wartość energii właściwej
odkształcenia postaciowego
11
W = �ij�ij = (� �ij + sij )(�M�ij + eij ) =
M
22
31
= � �M + sijeij = WV +Wł
M
22
E 1- 2�
Ponieważ � = �M więc �M = �
M M
1- 2� E
33 1- 2�
2
więc WV = � �M =�
M M
22 E
1
Zachodzi Sij = 2Geij �! eij = Sij
2G
1
więc Wł = SijSij
4G
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 10
1
Drugi niezmiennik dewiatora naprężeń IIS =- SijSij
2
1
więc Wł = IIS
2G
Rozwinięcie
11
Wł = SijSij = [(�11 -�22 )2 + (�22 -�33)2 + (�33 -�11)2 +
4G 12G
2 2 2
6(�12 +�23 +�31)] =
1
= [(�1 -�2 )2 + (�2 -�3)2 + (�3 -�1)2]
12G
1
2
Stan jednoosiowy �1 = �0, �2 = �3 = 0) Wł = 2�0
12G
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 11
Stąd warunek H-M-H:
2 2 2 2
(�11 -�22 )2 + (�22 -�33)2 + (�33 -�11)2 + 6(�12 +�23 +�31)] = 2�0
2
(�1 -�2 )2 + (�2 -�3)2 + (�3 -�1)2 = 2�0
2
Inny zapis: 3IIS +�0 = 0 zależność jedynie od drugiego
niezmiennika dewiatora tensora naprężeń.
Interpretacja geometryczna w przestrzeni �1�2�3 powierzchnią
graniczna H-M-H jest nieskończony walec kołowy o osi �3 i
2
promieniu R = �0
3
2
2
Równanie (�1)2 + (�2 )2 = �0
3
Jest to więc walec opisany na graniastosłupie T-G
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 12
Płaski stan naprężenia (�3 = 0)
2 2 2 2
�11 +�22 -�11�22 + 3�12 = �0
lub
2 2 2
�1 +�2 -�1�2 = �0
- elipsa opisana równaniem na sześciokącie T-G
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 13
Płaski stan odkształcenia (�3 = 0 )
�3 =� (�1 +�2 )
Stąd wynika ogólne równanie
2 2 2 2
(�1 +�2 )(1-� +� ) -�1�2[1+ 2� (1-� )] = �0
przy
� = 0 identycznie jak w PSN
� > 0 rozszerzenie obszaru sprężystego
1
� = graniczny przypadek, dwie proste styczne do elipsy
2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 14
2
ż#
�1 -�2 = �0
�#
�# 3
�#
�#�1 -�2 = - 2 �0
�#
3
�#
Hipotezy T-G i H-M-H jednoparametrowe, jedna wartość �0
materiały o jednakowej granicy plastyczności przy rozciąganiu i
ściskaniu
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 15
Porównać wartość T-G i H-M-H w stanie czystego ścinania.
Znalez
ć w obu przypadkach graniczną wartość naprężenia
stycznego �12 > 0
0 �12
Ą#ń#
� =
ó#� 0 Ą#

Ł# 12 Ś#
Naprężenia główne przy czystym ścinaniu: �1 = �12 , �2 =-�12
Hipoteza TG:
�1 -�2
2�12 �0
= �12 d"� =
�max ==
22 2
Stąd graniczna wartość �12 = 0,5�0
Hipoteza H-M-H:
2 2 2 2
�11 +�22 -�11�22 + 3�12 d" �0
�0
2 2
3�12 d" �0 �! �12 d"
3
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 16
2 2 2 2
lub ze wzoru �1 +�2 -�1�2 = 3�12 d" �0
�0
wartość graniczna �12 = H" 0,577�0
3
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 17
Określić zapas bezpieczeństwa wg TG i HMH przy
jednoparametrowym wzroście składowej �11
15 10 0
Ą#ń#
ó#10 0 0 Ą#
� = [MPa], �0 = 50 MPa
ó#Ą#

0 0 -25Ś#
ó#Ą#
Ł#
Sprawdzenie czy dany stan jest bezpieczny (wg obu hipotez)
TG: naprężenia główne:
2
20 = �1
15 + 0 15 - 0 ż#
�#ś#
�1,2 =ą +102 = 7,5 ą12,5 = [MPa]
�#
ś#ź#
22
�# #
�#-5 = �2
�3 =-25 MPa
�1 -�3
�0
�max == 22,5 MPa < = 25 MPa stan bezpieczny
22
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 18
Obliczenie zapasu bezpieczeństwa:
15z 10 0
Ą#ń#
ó#Ą#
� = 10 0 0 [MPa]
ó#Ą#

0 0 -25Ś#
ó#Ą#
Ł#
TG:
2
15z 15
�# ś#
�1,2 = ą z +102 = 7,5z ą 56,25z2 +100 [MPa]
ś# ź#
22
�# #
�3 =-25 MPa
Można wykazać, że dla wszystkich z > 0 jest �min = �3
�1 -�3
1
stąd �max == 7,5z + 56,25z2 +100 + 25
22
�0
warunek �max =�0 = �! 56,25z2 +100 + 25 = 50
2
z = 1,4
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 19
HMH:
22 2
L = 15 + 15z + 25 + 25 + (6)(10)2 = 450z2 + 750z +1850
( ) ( ) ( )
2
P = 2�0 = 5000 MPa2
L = P �! 450z2 + 750z - 3150 = 0 �! z = 1,94
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 20
Obliczyć dopuszczalną wartość m, wg TG i HMH, gdy dane jest �0
0 0 0
Ą#ń#
ó#0
� = 4m mĄ#
ó#Ą#

ó#Ą#
Ł#0 m mŚ#
TG:
2
4,305m = �1
4m + m 4m - m 5 3 ż#
�#ś#
�1,2 =ą + m2 = m ą m =
�#0,695m = �2
ś#ź#
22 2 2
�# #
�#
�3 = 0
�1 -�3
4,305m �0 �0
stąd �max === �! m = = 0,232�0
22 2 4,305
HMH:
22
2
4m + 3m + m2 + 6m2 = 2�0
( ) ( )
�0
2
stąd 32m2 = 2�0 �! m = = 0,25�0
4
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08  str. 21