TSiP Wyklad 06a


Wykład 6a
Związki między składowymi stanu naprężeń w układzie prostokątnym i biegunowym  c.d.
Zagadnienie: Tarcza sprężysta w postaci klina nieograniczonego.
Obliczyć składowe stanu naprężenia w układzie biegunowym.
x2
g
r
a
x1 r,j  współrzędne
j
biegunowe
a
P1
2a  kąt wierzchołkowy
Przewidujemy funkcję naprężeń w postaci:
F r,j = C r j sinj , gdzie: C = const
( )
(prosta postać funkcji, podobnie jak wielomiany niższych stopni w przypadku układu ortokartezjańskiego)
Sprawdzamy równanie biharmoniczne:
ł
Ń4F r,j =Ń2 Ń2F r,j = 0
( ) ( )
ćć
ś2 g ś g ś2 g ś2F r,j śF r,j ś2F r,j
( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )
+ + + + = 0

śr2 r śr r2 śj2 łŁ śr2 r śr r2 śj2 ł
Ł
Obliczamy:
ś2F(r,j) ś2
= C r j sinj = 0
()
śr2 śr2
1 śF(r,j) 1 ś 1
= C r j sinj = C j sinj
()
r śr r śr r
1 ś2F(r,j) 1 ś2 1 ś
= C r j sinj = C r sinj + C r j cosj
() ()
r2 śj2 r2 śj2 r2 śj
1 C
= C r cosj + C r cosj - C r j sinj = 2cosj -j sinj
() ()
r2 r
Operator Laplace a we współrzędnych biegunowych:
ś2F r,j śF r,j ś2F r,j
( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 C 2C
Ń2F r,j = + + = 0 + C j sinj + 2cosj -j sinj = cosj
( ) ()
śr2 r śr r2 śj2 r r
r
Równanie biharmoniczne:
ćć
ś2 g ś g ś2 g ś2F r,j śF r,j ś2F r,j
( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )
+ + + + =

śr2 r śr r2 śj2 łŁ śr2 r śr r2 śj2 ł
Ł
ćć ć
ś2 g ś g ś2 g
( ) 1 ( ) 1 ( ) 2C ś2 2C 1 ś 2C 1 ś2 2C
ćć
+ +
cosj = cosj + cosj + cosj =
śr2 r śr r2 śj2 łŁ r śr2 r r śr r r2 śj2 Ł r
ł Łł Łł ł
Ł
4C 2C 2C
cosj - cosj - cosj = 0 równanie jest spełnione!
r3 r3 r3
Składowe stanu naprężeń:
1 śF 1 ś2F 1 C 2C
srr = + = C j sinj + 2cosj -j sinj = cosj
()
r śr r2 śj2 rr r
ś2F
0
sjj = =
śr2
ś ć 1 śF ś 1 ś
0
srj =- =- Cr j sinj =- Cr sinj +Cr j cosj =-C sinj +j cosj =
()ł ś 1 ()ł ś ()
ęr ś
ęr
śr r śj śr śj śr śr
ś

Ł ł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 KMBiM WILiŚ PG 1
x2
Zatem:
g
dj
a
x1
j
a
P1
s
rr
r dj
Stałą C wyznaczamy z warunku równowagi względem osi x1  wyciętego fragmentu klina: = 0
P
x1
a
2 cosj g r dj = P1 , gdzie: g r dj element powierzchni
rr
s
0
a a
2C 2
ć
zatem: 2 cosj
cosj g r dj = P1 4C g
Ł r (cosj) dj = P1
ł
0 0
Pomocnicze obliczenie całki:
cos2 j + sin2 j dj = j
( )

1
cos2 j - sin2 j dj = sin 2j
()

2
1 1
2
dodając stronami: j dj = j + sin 2j + C1
cos
2 4
1 1
2
odejmując stronami: j dj = j - sin 2j + C1
sin
2 4
Podstawiając wynik obliczeń pomocniczych:
a
2
4C g
(cosj) dj = P1
0
a
1 1

4C g ć j + sin 2j = P1

2 4
Łł
0
1 1

4C g ć a + sin 2a = P1

2 4
Łł
P1
C g 2a + sin 2a = P1 C =
( )
g 2a + sin 2a
()
Stąd:
ł
1 śF 1 ś2F 2C 2 P1
srr = + = cosj = cosj
ę
r śr r2 śj2 r r g 2a + sin 2a
()ś

2 P1 cosj
srr =
g 2a + sin 2a r
()
Analogia: Podobnie postępujemy dla obciążenia tarcza sprężystej siłą pionową:
x2
g
r
P2
r,j  współrzędne
a
x1
j
biegunowe
a
2a  kąt wierzchołkowy
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 KMBiM WILiŚ PG 2
Przewidujemy funkcję naprężeń w postaci:
F r,j = C r j cosj , gdzie: C = const
( )
(prosta postać funkcji, podobnie jak wielomiany niższych stopni w przypadku układu ortokartezjańskiego)
Równanie biharmoniczne:
ł
Ń4F r,j =Ń2 Ń2F r,j = 0 równanie jest spełnione!
( ) ( )
Składowe stanu naprężeń:
2C
1 śF 1 ś2F
- sinj
srr = + =
r śr r2 śj2 r
ś2F
0
sjj = =
śr2
ś ć 1 śF ś 1 ś
0
srj =- =- Cr j cosj =- C r cosj +C r j sinj =-C cosj +j sinj =
()ł ś 1 ()ł ś ()
ęr ś
ęr
śr r śj śr śj śr śr
ś

Ł ł
-
x2
Zatem:
g
P2
dj
a
x1
j
a
s
rr
r dj
+
Stałą C wyznaczamy z warunku równowagi:
a
-2 sinj g r dj = P2 , gdzie: g r dj element powierzchni
rr
s
0
a a
2C 2
ć
zatem: -2 - sinj
sinj g r dj = P2 2C g
Ł r (sinj) dj = P2
ł
0 0
Podstawiając wynik obliczeń pomocniczych:
a
1 1 1 1

4C g ć j - sin 2j = P2 4C g ć a - sin 2a = P2

2 4 2 4
Łł Łł
0
P2
C g 2a - sin 2a = P2 C =
( )
g 2a - sin 2a
()
ł
2 P2
Stąd: srr = - sinj
ę
r g 2a - sin 2a
()ś

2 P2 sinj
srr =-
g 2a - sin 2a r
()
Przypadek szczególny: tarcza półnieskończona, obciążona siłą skup. na brzegu (tzw. zagadnienie Flamanta):
P
2 P cosj
x2 srr =-
g p r
r
g
srj = 0
j
s
rr
sjj = 0
x1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 KMBiM WILiŚ PG 3
Punkt osobliwy rozwiązania teorii sprężystości: r 0 srr Ą
Uwaga: Przez zmianę modelu ciała na model sprężysto  plastyczny unikamy tej osobliwości!
Interpretacja rozkładu naprężeń:
P
x2
r
2R
g
j
s
rr
x1
Konstruujemy rodzinę okręgów stycznych do krawędzi tarczy, wszystkie o promieniach R .
r
stąd: cosj =
2R
Wzór na naprężenia normalne:
2 P cosj P
srr = - = -
g p r p g R
P
srr =-
Mamy zatem:
p g R
Wniosek:
Naprężenie radialne jest stałe na każdym okręgu o promieniu R !
Ponieważ s(1) = sjj = 0 oraz s(2) = srr są naprężeniami głównymi (gdyż: s = 0 ), to największą wartość
rj
naprężenia stycznego w punkcie otrzymamy ze wzoru:
s(1) -s(2) P
maxt == = const na okręgu o promieniu R
2 2p g R
(do porównania z Wytrzymałością Materiałów)
Linie te można wyznaczyć eksperymentalnie, za pomocą elastooptyki (fotosprężystości)!
Naprężenia w układzie ortokartezjańskim:
Na podstawie wzorów odwrotnych otrzymamy:
ć 2 P cos3 j
2 P cosj
2
s11 = srr cos2 j = -
cos j =-
g p r g p r
Łł
3
2
2 P x1
2 2 2 2
zatem: s11 = - , gdzie: r = x1 + x2 r4 = x1 + x2
( )
g p r4
x1 ł 0
przy czym: !
Analogicznie:
2
2 P x1x2
s22 = sjj sin2 j = -
g p r4
2
2 P x1 x2
oraz: s12 = s21 = srj sinj cosj = -
g p r4
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 KMBiM WILiŚ PG 4
Wykresy s11 oraz s12 dla x1 = const :
P
-2R +2R
-R
+R
x2
R
s11
0, 208
s12
0,637
-
R
0,159 P

g R
-
0,080
0,318
x1
Praktycznie: wykresy te opisują zagadnienie  rozchodzenia się siły skupionej w ośrodku izotropowym,
jednorodnym.
Poza trójkątem równoramiennym, zakreślanym przez proste nachylone pod kątem 45, dla celów inżynierskich
można przyjąć naprężenia jako równe zeru!
Dyskusja!
1) Przybliżenia rozkładów naprężeń
a) rozkład trójkątny:
P
-2R +R +2R
-R
x2
R
2R
P

R
g R
1,0
4R
0,5
x1
(przybliżenie po stronie bezpiecznej)
b) rozkład równomierny:
P
-2R +R +2R
-R
x2
R
2R
R
0,5
P
4R

g R
0, 25
(przybliżenie po stronie niebezpiecznej,
x1
ale z użytecznym wynikiem)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 KMBiM WILiŚ PG 5
2) Superpozycja stanów naprężenia, przykładowo:
P P
R
R
P

g R
0,5 0,5
1,0
3R
3) Zastosowania praktyczne:
otwory montażowe w ścianie (poza strefą naprężeń)
można obliczyć wysokość, od której w ścianie obciążonej siłami skupionymi użyty materiał może być słabszy
Uwaga: Wzory na naprężenia dla tarcz obciążonych siłami skupionymi (PSN) są słuszne również dla PSO!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 KMBiM WILiŚ PG 6


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
6) TSiP Wyklad
7) TSiP Wyklad 2013
5) TSiP wyklad Holzapfel
26) TSiP Wyklad pekanie
13) TSiP Wyklad 2013
39) TSiP Wyklad powloki
33) TSiP Wyklad
32) TSiP Wyklad plastycznosc
TSiP Wyklada
14) TSiP Wyklad 2013
TSiP Wykladnotatki

więcej podobnych podstron