POWA
OKI WALCOWE GRUBOŚCIENNE
Istnieje wiele definicji powłok grubościennych
Springer Handbook of Mechanical Engineering (2009)
Powłoki grubościenne (w zastosowaniu do zbiorników ciśnieniowych)
charakteryzują się grubością ścian większą, niż 0,1 średniego promienia
ściany
W powłokach grubościennych poddanych ciśnieniu wewnętrznemu p1
oraz ciśnieniu zewnętrznemu p2 naprężenia obwodowe nie są rozłożone
równomiernie na całej grubości powłoki.
Powłoka grubościenna walcowa (rura)
 przypadek szczególny często spotykany w praktyce 
z z
p2
p2
r2
p1
y
r1
x
p1
p1
p2
dx
Siła powierzchniowa (ciśnienie) wewnętrzne p1
Siła powierzchniowa (ciśnienie) zewnętrzne p2
 Zadanie Lame go
Gabriel Lam� (1795 1870)  francuski matematyk i inżynier.
Przekrój w płaszczyz
nie prostopadłej do osi z
z
�r+d�r
�t
�t
�r
r
r+dr
y
Płaski stan naprężeń:
Naprężenia normalne: promieniowe �r i obwodowe �t
Naprężenia promieniowe �r na powierzchni wewnętrznej wycinka,
której promień wynosi r, dają siłę wypadkową skierowaną wzdłuż osi z:
�rrd�dx
Naprężenia promieniowe �r+d�r na powierzchni zewnętrznej wycinka,
której promień wynosi r+dr, dają siłę wypadkową skierowaną wzdłuż
osi z:
(�r + d�r)(r + dr)d�dx
Z rzutowania na oś z sił wypadkowych naprężeń obwodowych �t
wynika zależność:
1
�ł
- 2drdx�t sin�ł d� H" -drdx�td�
�ł �ł
2
�ł łł
Suma rzutów wszystkich sił na oś z daje równanie:
"F = -�rrd�dx + (�r + d�r)(r + dr)d�dx - drdx�td� = 0
z
Po przekształceniu i uproszczeniu otrzymujemy:
d�r
�r + r -�t = 0
(*)
dr
Płaski stan naprężeń: naprężenia normalne �r, �t
Odkształcenia promieniowe i obwodowe wynoszą odpowiednio:
1 1
�r = (�r -��t) �t = (�t -��r)
E E
Po przekształceniu otrzymujemy składowe stanu naprężeń:
E E
�r = (�r +��t) �t = (�t +��r)
2 2
1-� 1-�
Oznaczmy przez u zmianę długości promienia. Stąd, odkształcenie
promieniowe:
du
�r =
dr
a odkształcenie obwodowe: Zmiana długości obwodu w wyniku
zmiany promienia o wartość u
2Ą(r + u)- 2Ąr u
�t = =
2Ąr r
A zatem, w przypadku rur grubościennych � `" �t (inaczej, niż dla rur
r
cienkościennych).
Po wstawieniu do równań opisujących naprężenia promieniowe
i obwodowe
E du u E u du
�ł �ł �ł �ł
�r = +� �t = +�
�ł �ł �ł �ł
2 2
1-� dr r 1-� r dr
�ł łł �ł łł
Pierwsze równanie różniczkujemy względem r, tzn.
2
�ł �ł
d�r E d u � du u
�ł �ł
= + -�
2
�ł
dr 1-� dr2 r dr r2 �ł
�ł łł
Po wstawieniu 3-ch powyższych równań do równania (*), tzn.
2
�ł �ł
E du u E d u � du u E u du
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł -
+� + + -� +� = 0
�ł �ł �ł �ł
2 2 2
�ł
1-� dr r 1-� dr2 r dr r2 �ł 1-� r dr
�ł łł �ł łł
�ł łł
a następnie  po uproszczeniu, otrzymamy:
2
d u 1 du u
+ - = 0
dr2 r dr r2
Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest funkcja:
1
u = C1r + C2
r
Następnie otrzymujemy wzory na naprężenia promieniowe i obwodowe
E 1 C2 E C2 C2
�łC - C2 +�C1 +� �ł �łC + +�C1 -� �ł
�r = �t =
�ł �ł �ł �ł
1 1
2 2
1-� r2 r2 łł 1-� r2 r2 łł
�ł �ł
Po uproszczeniu:
E C2 E C2
�łC �łC
�r = (1+� )- (1-� )łł �t = (1+� )+ (1-� )łł
1 1
2 2
�ł śł �ł śł
1-� r2 1-� r2
�ł �ł �ł �ł
Stałe całkowania C1 i C2 wyznaczamy z warunków brzegowych
�r r =r1 = - p1 �r r =r2 = - p2
czyli
1-� p1r12 - p2r22 1+� (p1 - p2)r22r12
C1 = C2 =
E r22 - r12 E r22 - r12
Naprężenia promieniowe
p2 - p1 r12r22 p2r22 - p1r12
�r = �" -
r22 - r12 r2 r22 - r12
Naprężenia obwodowe (styczne)
p2 - p1 r12r22 p2r22 - p1r12
�t = - �" -
r22 - r12 r2 r22 - r12
p2r22 - p1r12
�r +�t = -2 = const
r22 - r12
Przemieszczenie promieniowe punktu rury określonego promieniem r
1 1
�ł
u(r)= - (p2 - p1)r12r22(1+� )łł
2
śł
E(r22 - r12)�łr(p r22 - p1r12)(1-� )+ r
�ł �ł
Przypadki szczególne.
1. Gdy działa tylko ciśnienie wewnętrzne p1 (p2=0)
�ł �ł
- p1r12 �ł r22 �ł
�r = -1�ł < 0
�r max �! �r r =r1 = - p1
r22 - r12 �ł r2 łł
�ł
�ł �ł
p1r12 �ł r22 �ł
r22 + r12
�t = �"�ł +1�ł > 0
�t max = �t r =r1 = p1 >> p1
r22 - r12 �ł r2 łł
r22 - r12
Przyrost długości promienia wewnętrznego rury
p1r1
"r1 = [r12(1-� )+ r22(1+� )] Przypadek bardzo
niekorzystny 
E(r22 - r12)
rozciąganie
Przy obliczaniu rur nie zaleca się stosowania hipotez wytężeniowych
�t  naprężenia
rozciągające
�r  naprężenia
ściskające
2. Gdy działa tylko ciśnienie zewnętrzne p2 (p1=0)
�ł �ł
p2r22 �ł r12 �ł
�r = �"�ł -1�ł < 0
�r max �! �r r =r2 = - p2
r22 - r12 �ł r2 łł
�ł �ł
p2r22 �ł r12 �ł
2r22
�t = - �"�ł +1�ł < 0
�t max = �t r =r1 = - p2
r22 - r12 �ł r2 łł
r22 - r12
Zmiana (skrócenie) długości promienia zewnętrznego rury
p2r2
"r2 = - [r22(1-� )+ r12(1+� )]
E(r22 - r12)
�t  naprężenia
�r  naprężenia
ściskające
ściskające
Redukcja naprężeń rozciągających  układ 2-ch rur połączonych z wciskiem
�t  naprężenia �t  naprężenia
rozciągające dla rozciągające
pojedynczej rury wynikowe dla
od ciśnienia układu 2-ch rur
od ciśnienia
wewnętrznego p1
wewnętrznego p1
�t  naprężenia
o mniejszej
rozciągające rurę
wartości, niż dla
B od ciśnienia
pojedynczej rury
wewnętrznego ps
�t  naprężenia
ściskające w rurze
A od ciśnienia
zewnętrznego ps
Naprężenia w połączeniach wciskowych
ps
"
"rw
r3
"rz
ps
r2z
r2w
r2
r1
Warunkiem współpracy połączenia wciskowego jest (przed montażem)
różnica promienia wewnętrznego rury zewnętrznej r2z i promienia
zewnętrznego rury wewnętrznej r2w. Określa ją wcisk ".
W wyniku  kasowania wcisku, promienie współpracujących
powierzchni wyrównują się (r2). Na powierzchniach tych działa
ciśnienie ps.
Zwiększenie długości promienia wewnętrznego rury zewnętrznej
psr2
"rz = [r22(1-� )+ r32(1+� )]
E(r32 - r22)
Zmniejszenie długości promienia zewnętrznego rury wewnętrznej
psr2
"rw = - [r22(1-� )+ r12(1+� )]
E(r22 - r12)
Warunek geometryczny
" = "rz - "rw
z którego wynika zależność
psr2 psr2
[r22(1-� )+ r32(1+� )]+ [r22(1-� )+ r12(1+� )]= "
E(r32 - r22) E(r22 - r12)
a następnie  ciśnienie pomiędzy współpracującymi powierzchniami
rury wewnętrznej i rury zewnętrznej
E"(r22 - r12)(r32 - r22)
ps =
2(r32 - r12)r23
Wyznaczona wartość ciśnienia powoduje określony rozkład naprężeń
(promieniowych i obwodowych) w rurze wewnętrznej i zewnętrznej
(patrz: szczególne przypadki obciążenia powłoki walcowej).
Powłoka grubościenna kulista
r1  promień wewnętrzny powłoki kulistej
r2  promień zewnętrzny powłoki kulistej
Naprężenia promieniowe
r13 r23 - r3 r23 r3 - r13
�r = - p1 �" - p2 �"
r3 r23 - r13 r3 r23 - r13
Naprężenia obwodowe (styczne)
r13 r23 + 2r3 r23 r13 + 2r3
�t = p1 �" - p2 �"
2r3 r23 - r13 r3 r23 - r13
Gdy działa tylko ciśnienie wewnętrzne p1 (p2=0)
�r max = �r r =r1 = - p1
r23 + 2r13
�t max = �t max(r = r1)= p1
2(r23 - r13)
Przyrost długości promienia wewnętrznego kuli
�ł łł
r1 r23 + 2r13
"r1 = p1 �ł2
E (r23 - r13)(1-� )+� śł
�ł �ł
Przyrost długości promienia zewnętrznego kuli
r2 3r13
"r2 = p1
E 2(r23 - r13)(1-� )