Pękanie - uzupełnienie
Metoda Williamsa (1952)
Rozkład naprężeń dookoła karbu (nacięcia)
n +1
Ś r,Ń =
( )
"r fn (Ń)
n
Parametr (n +1) określa się na podstawie warunków brzegowych
Funkcja fn - będzie określona na podstawie obciążenia
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 1
Wstawiając funkcje Ś r,Ń do równań
( )
1 "Ś 1 "2Ś
�r = +
r "r r2 "Ń2
"2Ś
�Ń =
"r2
1 "Ś 1 "2Ś " 1 "Ś
�ł�ł
�rŃ = -= -
�ł�ł
r2 "Ń r "r"Ń "r r "Ń
�łłł
Otrzymamy:
n -1
�r =
"r �ł fn2 2 (Ń)+(n +1) fn (Ń)�ł
�łłł
n
n -1
�Ń =
( ) ( )�ł
"r �ł n
�ł n +1 fn Ń łł
n
n -1
�rŃ = -
"r n fn2 (Ń)
n
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 2
Zapiszemy poszczególne składowe
1 "2
2
n -3
�r +�Ń =
( )
"r �ł fnIV +(n +1) fn2 2 łł
�ł�ł
r2 "Ń2
n
1 "
2
n -3
�r +�Ń =
( )
"r (n -1)�ł fn2 2 +(n +1) fn łł
�ł�ł
r2 "r
n
"2
2
n -3
�r +�Ń =
( )
"r (n -1)(n - 2)�ł fn2 2 +(n +1) fn łł
�ł�ł
"r2
n
i porządkując wyraazy sprawdzimy, że:
"2 �r +�Ń =
( )
22 2
n -3
�ł
2 2 2 2
= n �ł
( -1 fn + n +1 fn łł + fnIV + n +1 fn łł = 0
) ( ) ( )
"r { }
�ł �ł �ł �ł
n
Możemy zapisać, że wyrażenie w nawiasie musi się zerować:
2 2 22
�ł łł �ł łł
2 2
fnIV + n -1 + n +1 fn + n -1 n +1 fn = 0
( ) ( ) ( ) ( )
�ł �ł �ł �ł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 3
Można uzasadnić, że warunek będzie spełniony dla następującej
funkcji trygonometrycznej
fn Ń = An cos n +1 Ń + Bn cos n -1 Ń +
( ) ( ) ( )
+ Cn sin n +1 Ń + Dn sin n -1 Ń
( ) ( )
gdzie pierwsze dwa składniki opisują zniszczenie I typu (Mode I)
a pozostałe dwa składniki zniszczenie II typu (Mode II)
Wyznaczenie stałych
�Ń ąą)
= 0
(
�rŃ ąą)
= 0
(
lub
fn ąą)
= 0
(
2
fn ąą)
= 0
(
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 4
An cos n +1 + Bn cos n -1 ą
( )ą ( )ą
ąCn sin n +1 ą Dn sin n -1 = 0
( )ą ( )ą
ąAn n +1 sin n +1 ą Bn n -1 sin n -1 +
( ) ( )ą ( ) ( )ą
+Cn n +1 cos n +1 + Dn n -1 cos n -1 = 0
( ) ( )ą ( ) ( )ą
Możemy rozdzielić równania:
An cos n +1 + Bn cos n -1 = 0
( )ą ( )ą
An n +1 sin n +1 + Bn n -1 sin n -1 = 0
( ) ( )ą ( ) ( )ą
Cn sin n +1 + Dn sin n -1 = 0
( )ą ( )ą
Cn n +1 cos n +1 + Dn n -1 cos n -1 = 0
( ) ( )ą ( ) ( )ą
i wyznaczyć stałe
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 5
Ogólna postać (Nemitz 1998)
n="
Ką
(n)
�ij = fij(1)ą ( )
Ń + r(n-2)/2 fij(n)ą ( )
Ń
"Cą
2Ą r
n=2
gdzie
 funkcja fij(n)ą jest uniwersalną funkcja kąta niezależną ani od
geometrii próbki, ani od zewnętrznego obciążenia,
 indeksy i, j = 1, 2, 3, wskazują na odpowiednią składową
wielkości tensorowej lub wektorowej w układzie współrzędnych
{xi},
 indeks ą = I, II, III oznacza sposób obciążenia próbki, r jest
odległością od wierzchołka szczeliny,
(
 współczynniki Ka i Cąn) zależą od geometrii próbki oraz od
zewnętrznego obciążenia.
W powyższym wyrażeniu pierwszy człon staje się dominującym ze
względu na swój osobliwy charakter, gdy zbliżamy się do
wierzchołka szczeliny.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 6
Drugi człon nie zależy od od1egłości, pozostałe zaś maleją do zera,
gdy r 0 . Zazwyczaj w mechanice pękania pozostawia się jedynie
dwa pierwsze człony w rozwinięciu.
Najczęściej jednak analizę prowadzi się z wykorzystaniem jedynie
członu pierwszego, zapisując wyrażenie dla określenia naprężeń
przed wierzchołkiem szczeliny w postaci
Ką ą
�ij = fij Ń +... + O r0
( )
( )
2Ą r
skalarny współczynnik Ka ( KI , KII , KIII ), jest zwany
współczynnikiem intensywności naprężeń.
Jest on funkcją zewnętrznego obciążenia � , długości szczeliny a
oraz parametrów geometrycznych próbki.
Obecnie istnieje ponad tysiąc różnych rozwiązań, z których
większość zamieszczono w odpowiednich katalogach.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 7
Rozwinięcie dla typu obciążenia I
KI 1 1 3 1 5
2
� =ńł5cos Ń - cos Ń�ł + C1(2) cos2 Ń + r1/ C1(3) ńł3cos Ń + cos Ń�ł +
�łżł �łżł
r
4 2 2 2 2
2Ą r ół�ł ół�ł
37
+ rC1(4) cosŃ + 3cos3Ń + r3/ 2C1(5) ńłcos Ń + 3cos Ń�ł + r2C1(6) 2cos 4Ń
{ }
�łżł
22
�
KI 1 1 3 1 5
2
�Ń =ńł3cos Ń + cos Ń�ł + C1(2) sin2 Ń + r1/ C1(3) ńł5cos Ń - cos Ń�ł +
�łżł �łżł
4 2 2 2 2
2Ą r ół�ł ół�ł
37
+rC1(4) 3cosŃ - 3cos3Ń + r3/ 2C1(5) ńł7 cos Ń - 3cos Ń�ł + r2C1(6) 2 cos 2Ń - cos 4Ń
{ } { }
�łżł
22
�
KI 1 1 3 1 1 5
2
�rŃ =ńłsin Ń + sin Ń�ł C1(2) sin 2Ń + r1/ C1(3) ńłsin Ń - sin Ń�ł +
-
�łżł �łżł
4 2 2 2 2 2
2Ą r ół�ł ół�ł
37
+ rC1(4) sinŃ - 3sin 3Ń + r3/ 2C1(5) ńł5sin Ń - 5sin Ń�ł + r2C1(6) sinŃ - 2sin 4Ń
{ } { }
�łżł
22
�
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 8
Uzależnimy szerokość rysy od szerokości próbki
a = �h
wtedy
KIC a0
, dla h e"
� =
�
Ą�h
a0
� = �P, dla h <
�
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 10
Istnieje więc taka wartość h0 = a0 / � dla której materiał poniżej
której uplastycznienie tarczy poprzedza kruche pęknięcie.
Wymiar ten zależy nie tylko od kształtu tarczy i rysy, ale także od
ciągliwości (ductility) czyli stosunku KIC / �P materiału, z którego
wykonana jest tarcza.
� a
Warunek = 1- oddziela zniszczenie plastyczne od kruchego
� h
P
pęknięcia (czarna linia na rysunku).
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 11
Przykład tarczy z rysą
Powyżej s = s0 ;� 0.54 nie ma kruchego pękania
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 12
Przykład belki z karbem
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 13
Inne porównanie dla belki z karbem i różnych wysokości belki i
karbu
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 14
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 15
Porównanie współczynnika intensywności naprężeń dla różnych
materiałów
Table 20.1
Strength Toughness Brittlenes
� (MN / m2 ) KIC (MN / m3/ 2 ) � / KIC (m-1/ 2 )
P P
Concrete 3.57 1.96 1.8
Aluminium 500 100 5
Plexiglass 33 5.5 6
Glass 170 0.25 680
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 16
Uplastycznienie wierzchołka rysy (Irwin, 1960)
Naprężenia
KI ŃŃ
�ł1+ sin �ł
cos
�1 =
�ł�ł
22
2Ą r
�łłł
KI ŃŃ
�ł1- sin �ł
cos
�2 =
�ł�ł
22
2Ą r
�łłł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 17
Wstawiamy do kryterium Misesa (H-M-H)
2
�1
( -�2 2 + �2 -�1 2 + �3 -�1 2 = 2�
) ( ) ( )
p
Otrzymamy promień strefy plastycznej
 dla PSN:
2
�ł
1 KI �ł 3
�ł�ł
rp Ń =
sin2 Ń +1+ cosŃ
( )
�ł �ł
�ł�ł
�ł �ł
4Ą � 2
�łłł
p
�ł łł
 dla PSO:
2
�ł
1 KI �ł 3
2
�ł
rp Ń =
( ) ( ) ( )łł
�ł �ł
�ł2 sin2 Ń + 1- 2� 1+ cosŃ śł
�ł �ł
4Ą �
�ł�ł
p
�ł łł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 18
Zasięg strefy wzdłuż rysy wyniesie:
 dla PSN:
2
�ł
1 KI �ł
rp Ń =
( )
�ł �ł
�ł �ł
4Ą �
p
�ł łł
 dla PSO:
2
�ł
1 KI �ł
rp Ń =
dla � = 1/ 3
( )
�ł �ł
�ł �ł
18Ą �
p
�ł łł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 19
Kształt stref plastycznych
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 20
Materiał zachowuje się inaczej w przypadku PSN i PSO:
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 21
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 22
Wyznaczenie warunków kruchego pękania:
2
KI KIC 1 KIC
�P = rPC =
� =
y
2
2Ą �P
2Ą r 2Ą rP
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 23
Porównując zakreskowane pola otrzymamy rozmiar uplastycznienia
w chwili propagacji rysy
2
1 KIC
aPC =
2
Ą �P
Kruche pękanie nastąpi gdy aPC =� a oraz aPC =� h
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 24