Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Stan naprężeń i odkształceń
Równania konstytutywne
WYKA
AD 2
Literatura
Rozdz. I, str. 11, BIELEWICZ E.: Wytrzymałość materiałów. PG, Gdańsk 1992 (lub inne wydania).
str. 2, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów.
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02A/1
Wytrzymałość Materiałów naprężenia, stan przestrzenny
Warunki równowagi
globalny  na szczeblu ciała
tutaj wypadkowe siły F i momenty T należy rozumieć
w sensie uogólnionym, jako całki po objętości
ciała B lub podciała P �" B . lokalny  na szczeblu punktu (przekroju)
N N
równowaga sił (1 równanie wektorowe F = fn = 0 �! 3 skalarne fi n = 0, i = x,y,z );
" "
n=1 n=1
N N
równowaga momentów (1 wektorowe T = x�fn = 0 �! 3 skalarne "ij xi fjn = 0, i, j = x,y,z);
" "
n=1 n=1
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02A/2
Wytrzymałość Materiałów naprężenia, stan przestrzenny
Pojęcie naprężenia
myślowy przekroju A ciała B,
orientację płaszczyzny A określa wersor n
w przekroju A występują siły wewnętrzne,
siły wewnętrzne zastępują oddziaływanie odciętej myślowo części ciała,
siły wewnętrzne utrzymujące podzielony układ w równowadze,
wektora naprężenia w punkcie (a) przekroju ciała A o orientacji n
"P
t a" � a = lim
"A0
"A
składowe wektora naprężenia w punkcie
t a" � a =� n a +� t a ,
składowa normalna � =||�(a)|| cosą ,
składowa styczna � =||�(a)|| siną ,
gdzie ą a" (�(a),n).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02A/3
Wytrzymałość Materiałów naprężenia, stan przestrzenny
Przestrzenny stan naprężenia
poziom globalny, ciało
składowe wektora naprężenia t a" � a =� n a +� t a
np. na ściance +x1, (+X ) określonej wektorem normalnym e1 (i )
elementarnego prostopadłościanu dV =dxdy dz mają postać
t(+X)=�(+X)=� i +� j +� k =� ex +� ey +� ez =�11e1 +�12e2 +�13e3
x xy xz xx xy xz
interpretacja i znakowanie, ścianki: a) przednie (+), b) tylne ( )
poziom lokalny, punkt
oznaczenia równoważne
współrzędne oraz wersory: x = X = x1, y =Y = x2 , z = Z = x3 oraz i =ex =e1, j =ey =e2 , k =ez =e3;
naprężenia normalne: � = � = �11, � = � = �22, � = � = �33� = �13;
x xx y yy z zz xz
naprężenia styczne: � = �12 , � = �21, � = �13, � = �31, � = �23, � = �32;
xy yx xz zx yz zy
uwaga: �12 indeks pierwszy oznacza ściankę, drugi kierunek składowej.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02A/4
Wytrzymałość Materiałów naprężenia, stan przestrzenny
dodatnie składowe naprężeń symetryczny tensor (macierz 3�3) naprężenia określa całkowicie
i jednoznacznie przestrzenny stan naprężenia w każdym punkcie ciała
Ą# ń#
�11 �12 �13 � � �
Ą#ń#
x xy xz
ó#
ó#� �22 �23Ą# Ą#
� [�ij ](3�3) == � �
21
ó#� yx y yz Ą#
ó#Ą#
Ą#
ó#�31 �32 �33 Ą#sym ó#� zx � �
Ł#Ś#zy z
Ł# Ś#sym
9 składowych - symetria wynika z warunków równowagi momentów
�T = � , �ij =� , �ij =�
ji ji
�! daje tylko 6 niezależnych składowych;
naprężeń i kierunki główne
naprężenia główne �Id"�IId"�III i kierunki główne �I,�II,�III ,
wynikaj formalnie z rozwiązania problemu własnego
�#ś#ż#vx �# ż#0�#
Ą#ń#
� � � 100
Ą# ń#
x xy xz
(� �1)� = 0
ś#ź#
ó#Ą# �# �# �#0�#;
ó# Ą#
, +�
y
ś#ź#�#v Ź# = �# Ź#
ó#� xy � y � yz Ą#
ó#010Ą#
det(� �1) = 0
�# �#
ś#ź#�#vz �# �#0�#
ó#� xz � yz � z Ą#
ó#001Ą#
Ł# Ś#
Ł#Ś#
�# #�# �#
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02A/5
Wytrzymałość Materiałów naprężenia, stan przestrzenny
lokalne równania równowagi w punkcie
różniczkowe przyrosty naprężeń
otrzymuje się
z warunku równowagi sił:
�ij,i+ f =0, i, j = x,y,z (=1,2,3),
j
"�ij
"(.)
gdzie (.),x a" , np. �ij,i= ;
"x "xi
z warunku równowagi momentów wynika
symetria tensor (macierz) naprężenia,
a wiec jego składowych stycznych:
�T = � , �ij =� , �ij=� .
ji ji
Konwencja sumacyjna (Einsteina), np. równanie �ij,i+ f =0 dla indeksów j = x, i = x,y,z rozpisujemy:
j
faza I dla pojedynczego indeksu j = x , �ix,i+ fx=0,
ix
� ,i i= x,y,z


faza II rozwiniecie indeksów powtarzające się i = x,y,z , � ,x+� ,y+� ,z + fx=0,
xx yx zx
"�11 "�21 "�31
zapis rozwinięty + ++ f1=0,
"x1 "x2 "x3
"�
"� "�
yx
xx zx
ostatecznie w zapisie klasycznym mamy + ++ fx=0.
"x "y "z
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02A/6
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
określenie PSN, tarcza, ściana wyróżniona płaszczyzna (np. x-y , x1-x2)
a) niezerowe składowe wektorów naprężeń (� ) i obciążenia ( f ) są do niej równoległe,
dopuszczalna jest jedynie przesuwanie się tarczy w jej płaszczyz
nie (np. u,v),
b) pozostałe, tj. prostopadłe do płaszczyzny wyróżnionej, składowe naprężeń i ugięcie są równe zero:
�(+X) =� i +� j,
x xy
�ij`" 0, i, j = x, y =1,2 �! � ,� ,� ,� `" 0,
x y xy yx
np. dla wyróżnionej x-y : �(+Y) =� i +� j,
yx y
X = fx= �Rx`" 0, Y= fy= �Ry`" 0 ,
f = fxi + fy j,
w każdym punkcie tarczy stan naprężenia jest całkowicie i jednoznacznie określony przez
symetryczną macierz naprężeń w wymiarze 2� 2
� �
�11 �12 Ą# ń#
Ą#ń#
x xy
�PSN [�ij ](2�2) == ;
ó#� � Ą#
ó#� �22 Ą#
yx y
Ł# 21 Ś#sym
Ł# Ś#sym
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/1
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
lokalne równania równowagi PSN
różniczkowe przyrosty naprężeń
warunki równowagi muszą być spełnione
w każdym punkcie (A) tarczy,
z warunków równowagi elementu różniczkowego dxdy
otrzymuje się:
�#
" M( A)=0 �! � =� , (dx,dy 0)
�#
xy yx
�#
�ij =� ,
"� �# ż#
"�
ji
yx
x
" Px=0 �! + + fx = 0, �!
Ź# �#� ,i+ f =0,, i, j = x,y .
"x "y
ij j
�#
�#
�#
"� "�
xy y
" Py=0 �! + + fy = 0,
�#
"x "y
�#
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/2
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
PSN, naprężenia �Ć,�Ć w dowolnym przekroju zorientowanym � = (x,n)
elementarny trójkąt
zależności �Ć,�Ć, dla danego � = (x,n) otrzymuje się na podstawie
znajomości � ,� ,� z warunków równowagi elementarnego trójkąta,
x y xy
uwzględnia się dx =sin� ds, dy =cos� ds i rzutuje na kierunek:
normalny �Ć = � cos2� +� sin2� + 2� sin� cos�
xy xy
i styczny �Ć =-(� -� )sin� cos� +� (cos2� - sin2�) ;
x y xy
dalej uwzględnia się tożsamości trygonometryczne:
1 1
cos2� = (1+cos2�), sin2� = (1-cos2�), sin2� =2sin� cos� , cos2� =sin2� -cos2� ,
2 2
otrzymując naprężenia normalne
11
�Ć= (� +� ) + (� -� )cos2� +� sin 2� ,
x y x y xy
22
oraz naprężenia styczne
1
�Ć=- (� -� )sin 2� +� cos2� ,
x y xy
2
w przekroju zorientowanym � = (x,n).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/3
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
normalne naprężenia ekstremalne,
kierunki główne
poszukuje się przekroju �0 dla którego �Ć są ekstremalne, z warunku
0
d�Ć 2�
xy
=- (� -� )sin 2�0+ 2� cos2�0 a"0 �! tan 2�0= ,
x y xy
d� � -�
x y
dwie wartości 2�0 "[0,2Ą ] różniące się o Ą spełniające d��/d� =0
�! są dwa ortogonalne przekroje o ekstremalnych naprężeniach � ,
1
ponieważ d��/d� = �� , ekstremalne � występuje dla �� =0
2
�! ekstremalne � są naprężeniami głównymi �1=�max i �2=�min ,
odpowiadające kąty, wykorzystując 2� = (� -� ) tan 2�0 , otrzymuje się z warunku
xy x y
d2��
=- 2(� -� )cos2�0-4� sin 2�0=- 2(� -� )cos2�0 [ ]
1+tan22�0
x y xy x y
d�2
>0
�1 = �Ć |max dla (� -� )cos2�0 > 0 �! d2�Ć/d�2 <0,
x y
0
�2 = �Ć |min dla (� -� )cos2�0 < 0 �! d2�Ć/d�2 >0.
x y
0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/4
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
normalne naprężenia ekstremalne,
naprężenia główne
2�
xy
uwzględniając zależność na kierunek główny tan 2�0= w tożsamościach trygonometrycznych:
� -�
x y
2
cos2�0 =ą (1+ tan22�0)-1/ 2=ą (� -� )[(� -� )2+ 4� ]-1/ 2,
x y x y xy
2
sin 2�0 =ą tg2�0(1+ tan22�0)-1/ 2=ą 2� [(� -� )2+ 4� ]-1/ 2
xy x y xy
po podstawieniu do zależności na �� otrzymuje się wzór na wartości naprężeń głównych
� +� � -�
x y x y
2
�1,2 = ą ( )2+� ,
xy
22
suma �1+�2 =� +� jest niezmiennikiem (nie zależy od kierunku � = (x,n));
x y
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/5
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
koło Mohra (Otto Mohr 1835 1918, prace z roku 1882 i 1900)
interpretacja graficzna stanu naprężenia, konstrukcja wynika z przekształcenia wzorów na �� ,�� ,
grupując i podnosząc obustronnie do kwadratu mamy:
11
[�� - (� +� )]2 = [ (� -� )cos 2� +� sin 2�]2
x y
22 x y xy
1
[�� ]2 = [- (� -� )sin 2� +� cos 2�]2
2 x y xy
po dodaniu stronami otrzymuje się równanie okręgu o promieniu R
1
[�� - (� +� )]2+[�� ]2 = R2 , R2=[1 (� -� )]2+[� ]2 ;
x y x yxy
2 2
2
� +�
� -�
�#
x y
2
x y
�1,2 =ąś# +�
ś#ź# xy
2
�# 2 #
1
= (� +� ) ą R
2 x y
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/6
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
normalne naprężenia ekstremalne
problem własny dla naprężeń głównych
naprężenia główne i kierunki główne można także otrzymać z definicji poprzez rozwiązanie problemu własnego
� -� � �
Ą#ń# ż# �# 0
ż# �#
xxy x
� �1)� = 0 <"
�# Ź#=�#0Ź#
ó#Ą#
� � -�
xy y
�# �#
Ł# Ś#�#� y �#
rozwiązanie nietrywialnie ma miejsce jeśli
� -� �
Ą#ń#
xxy
2
det � �1) = 0 <" det = (� -� )(� -� ) -� = 0
ó#Ą# xy xy
� � -�
xy y
Ł# Ś#
stąd rozwiązując równanie charakterystyczne (kwadratowe)
22
� -� (� +� ) + (� � -� ) = 0
x y x y xy
otrzymuje się pierwiastki i zestawia się je w dwie pary własne (wartość własną, stowarzyszony wektor własny):
(�1,�1) i (�2,�2).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/7
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
styczne naprężenia ekstremalne
poszukuje się przekroju �0 dla którego �� są ekstremalne; z warunku
0
d�� (� -� )
x y
=- (� -� )cos2�0 - 2� sin 2�0 a"0 �! tan 2�0=-
x y xy
d� 2�
xy
zachodzi tan 2�0=- tan-12�0 �! �0= �0+Ą /4
�! płaszczyzny naprężeń głównych tworzą kąt 45o z płaszczyznami ekstremalnych naprężeń stycznych,
przekształcając analogicznie jak dla � otrzymuje się
� -�2 2 �1-�2
�#ś# � +�
x y x y
�3 =ą +� = ą '" �� = ,
ś#ź# xy
0
2
2
�# 2 #
z rozważań PSN jak stanu przestrzennego (3D) wynika, że ekstremalne naprężenia styczne w PSN
nie zawsze leżą w płaszczyz
nie obciążenia, lecz pod kątem 45o do niej i wynoszą
�2 �1
�1 =ą , �2 =ą ;
2 2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/8
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
koło Mohra, interpretacja graficzna 3D
ekstremalnych naprężeń stycznych
dla 3 typów stanów wytężenia w PSN
1
�ext =�2 =ą �1, jedno i dwuosiowe rozciąganie,
2
(oba naprężenia główne dodatnie);
1
�ext =�3 = (�1-�2) dwuosiowe rozciąganie-ściskanie
2
(naprężenia główne różnych znaków);
1
�ext =�1 =ą �2 jedno i dwuosiowe ściskanie
2
(oba naprężenia główne ujemne).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/9
Wytrzymałość Materiałów płaski stan odkształcenia (PSO)
określenie PSO, nieskończenie długa konstrukcja dana jest stała płaszczyzna (np. x-y , x1-x2)
a) niezerowe składowe odkształceń (� ) występują tylko w płaszczyznach równoległych
do danej stałej płaszczyzny (np. x-y �! �ij , i, j = x, y �xa"�xx, �ya"� , ł = ł a" 2�xy ),
yy xy yx
obciążenia ( f ) w kierunku poprzecznym są stałe,
dopuszczalna jest jedynie równoległe przesuwanie się konstrukcji w kierunku danej płaszczy (np. u,v),
b) pozostałe, tj. prostopadłe do danej stałej płaszczyzny, składowe są równe zero �zj=� =0, j = x, y,
jz
a więc kierunek poprzeczny jest nieistotny.
w każdym punkcie nieskończenie długiej konstrukcji (PSO) stan odkształceń jest całkowicie i jednoznacznie
określony przez symetryczną macierz odkształceń o wymiarze 2� 2
�x 1 łxy
�11 �12 Ą# ń#
Ą#ń#
2
�PSO [�ij ](2�2) == ;
ó#
ó#� �22 Ą#
1
łyx �y Ą#
Ł# 21 Ś#sym 2
Ł# Ś#sym
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02C/1
Wytrzymałość Materiałów płaski stan odkształcenia (PSO)
2 2 2 2
dx�dy ( ABDC A B D C )
deformacja elementu różniczkowego

2
np. przesunięcie wierzchołków: AA =u=uxi +uy j


"uy
"u "u "ux "ux "uy
2
DD =u + dx + dy = (ux+ dx + dy)i + (uy+ dx + dy) j ,
"x "y "x "y "x"y


przekątna: AD = ds0 =dxi +dyj ,
wynikająca z rozwinięcia pola translacji


u=u(x, y) w szereg Taylora, obcięty do
"uy
"ux "ux "uy
2 2
A D = ds =(dx + dx + dy)i +(dy+ dx + dy) j ,
wyrazów 1. rzędu (małe odkształcenia);
"x "y "x "y
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02C/2
Wytrzymałość Materiałów płaski stan odkształcenia (PSO)
odkształcenia  wydłużenie jednostkowe przekątnej jako miara deformacji
jednostkowe (jednoosiowe) odkształcenie podłużne:
jest to stosunek wydłużenia (ds - ds0 )
ds - ds0 ds
� == -1,
odcinka do długości początkowej (ds0),
ds0 ds0
zauważmy, że dla małych odkształceń (� 1) zachodzi
(ds)2-(ds0)2 ds -ds0 ds +ds0 ds 1 (ds)2-(ds0)2
== �( +1) = � (� + 2) H" 2� �! � H" ;
(ds0)2 ds0 ds0 2 (ds0)2
ds0
"ux "ux
przybliżenie różnicy kwadratów przekątnej (pomija się iloczyny typu jako małe drugiego rzędu)
"x "y
"uy
"ux "ux "uy
(ds)2-(ds0)2H"2[ (dx)2+ (dy)2+ ( + )dxdy];
"x "x"y "x
pozwala zapisać
"uy dy
1 (ds)2-(ds0)2 "ux dx "ux "uy dx dy
� H"= ( )2 + ( )2 + ( + ) ,
2 (ds0)2 "x ds0 "y "x ds0 ds0
"x ds0
oznaczając:
"uy
"ux "ux "uy dx dy
�x = , � = , ł = 2�xy = ( + ) oraz uwzględniając =cos� , =sin�
y xy
"x "y "y "x ds0 ds0
otrzymuje się wzór na jednostkowe odkształcenie podłużne w kierunku � :
�� = �x cos2� + �y sin2� + ł sin� cos� ;
xy
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02C/3
Wytrzymałość Materiałów płaski stan odkształcenia (PSO)
odkształcenia główne w PSO
są analogiem do naprężeń głównych w PSN
�� "! �� , � "! �x , � "! � , 2� "! ł ,
x yy xyxy
wynika z podobieństwa wzorów
�� = �x cos2� + � sin2� + ł sin� cos� �� = � cos2� +� sin2� + 2� sin� cos�
y xy xy xy
co pozwala natychmiast wypisać zależności dla odkształceń
�x+� �x-� ł ł
y y xy xy
�1,2 =ą ( )2+( )2 , tan 2�0= ;
22 2 �x-�y
koło Mohra
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02C/4
Wytrzymałość Materiałów płaski stan odkształcenia (PSO)
interpretacja składowych odkształceń
interpretacja �x interpretacja �y interpretacja ł =2�xy
xy
- odkształcenie jednostkowe
- odkształcenie jednostkowe - kąt odkształcenia postaciowego
krawędzi AB
krawędzi AC (spaczenie), zmiana kąta
między ściankami
def def
2 2 2 2
AB - AB AC - AC
ł =�xy+� =2�xy
�x = � =
xy yx
y
AB AC
"ux
"uy
"ux "uy
dy
dx
ux + dx - ux "ux
uy + dy - uy
"ux "uy
"y
"x
"x "uy
=+= +
"y
==
==
dx dy "y "x
dx "x
dy "y
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02C/5
Wytrzymałość Materiałów przestrzenny stan odkształcenia (3D)
symetryczny tensor (macierz 3�3) odkształceń
Ą# ń#
�11 �12 �13 �x 1łxy 1łxz
Ą#ń#
2 2
ó#1ł �y 1łyz Ą#
określa całkowicie i jednoznacznie przestrzenny
ó#�
� [�ij ](3�3) = �22 �23Ą# = ;
21 22
ó# Ą#
stan odkształceń w każdym punkcie ciała ó#Ą#yx
ó#�31 �32 �33 Ą#sym ó# 1łzx 1łzy �z Ą#
Ł#Ś# 2 2
Ł# Ś#sym
składowe
11
�ij = (ui, +uj,i ) = , i, j =1,2,3;
("u "xj + "u "xi)
i
j
22j
odkształcenia normalne (rozciągnięcia, wydłużenia):
"uy
"ux "uz
�x = , � = , �z = ;
y
"x "y "z
odkształcenia postaciowe (zmiany kształtu):
"uy "uz
�#ś# �#ś#
1 "ux "uy 1 1
"ux "uz
�#ś#,
�xy = � = + �xz = �zx= � = �zy= +
+
ś#ź#
yz ś#ź#, yz ś#ź#;
2 "y "x 2 2 "z "y
"z "x
�# #
�# # �# #
lub alternatywnie kąty odkształceń postaciowych:
"uy "uz
"ux "uy "ux "uz
ł = ł = 2�xy= 2� = + , ł = ł = 2�xz= 2�zx= + , ł = ł = 2� = 2�zy= + ;
xy yx yx xz zx yz zy yz
"y "x "z "x "z "y
z symetria deformacji postaciowej wynika, że z 9 składowych �ij , i, j = x,y,z (=1,2,3) tylko jest 6 niezależnych
�T = � , �ij =�ji , łij =łji ;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/1
Wytrzymałość Materiałów przestrzenny stan odkształcenia (3D)
interpretacja składowych odkształceń przestrzennych
rozciągnięcia
odkształcenia postaciowe
energetyczne sprzężenie tensorów odkształceń i naprężeń poprzez pracę
11
gęstość pracy wewnętrznej = �T� = �ij�ij ,
22
11
�ij = (ui, +uj,i ) = , i, j =1,2,3.
("u "xj + "u "xi)
i
j
22j
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/2
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Związki fizyczne (relacje, równania konstytutywne)
prawa szczególne definiujące własności materiału (tyle jest różnych praw ile zdefiniujemy typów materiałów),
mają postać relacje np. typu � "! � między stanami odkształcenia i naprężenia;
zakładamy � = F �, x,n) materiał sprężysty (tj. taki który nie zależy od historii obciążenia jakiej podlegał),
jeśli funkcja: F `"F(�) materiał liniowo-sprężysty (naprężeń),
F `"F(x) materiał jednorodny (położenia),
F `"F(n) materiał izotropowy (kierunku).
sprężystość liniowa relacja jednorodność izotropowość
(deformacja odwracalna naprężenia odkształcenia F `"F (x) F `"F (n)
niezależna od historii F `"F(�)
(własności symetrii materiału)
obciążenia materiału)
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/1
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
jednorodny izotropowy materiał liniowo sprężysty
funkcja materiałowa F jest stała i całkowicie określona przez tylko dwie stałe materiałowe,
najbardziej popularnymi stałymi materiałowymi są:
a) moduł sprężystości E (moduł Younga) [ N/m2] (Young Thomas 1773 1829)
charakteryzuje opór materiału jaki stawia on przy rozciąganiu,
b) liczba Poissona � [-] (Poisson Simeon Deni 1781 1840)
charakteryzuje stosunek odkształceń poprzecznych do podłużnych,
E
c) moduł odkształcenia postaciowego (ścinania) G = [ N /m2]
2(1+� )
wyraża się przez dwie poprzednie stałe E i � (tak jak wszystkie inne stałe);
uogólnione prawo Hooke'a (Hooke Robert 1635 1703)
- związek fizyczny
dla jednorodnego izotropowego materiał liniowo-sprężystego:
6 równań skalarnych wiążących 6 składowych przestrzennego stanu naprężeń
z 6-cioma składowymi przestrzennego stanu odkształceń, albo
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/2
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Notacja wektorowo/macierzowa:
symetria macierzy (tensorów) odkształcenia i naprężenia pozwala na wprowadzenie bardziej zwartego
zapisu wektorowego wygodnego w obliczeniach (np. kodach programów):
�11 ż# �# �11 ż# �#
ż# �#�x ż# �#� x
�#� �#
�# �# �#� �#
�22 �#� y �#
y
22
�# �# �# �#
�# �# �# �#
�11 �12 �13 �11 �12 �13
Ą#ń# Ą#ń#
�# �z �#
�# �33 �#
�# �#, � ó#� �22 �23Ą# �!Ż#Ż# $ = �#�33 �# �#� �#
�# �#
z
ó#� Voigt Voigt
� [�ij ]= �22 �23Ą# �!Ż#Ż# {�a} & = = =

�#2� Ź# �#ł Ź# �# Ź# �#� Ź#
21 21
ó#Ą# ó#Ą#
xy xy
12
�# �# �# �# �#�12 �# �# �#
ó#�31 �32 �33 Ą#sym ó#�31 �32 �33 Ą#sym
Ł#Ś# Ł#Ś#
�#2�13 �# �# �# �#�13 �# �# �#
ł �
xz xz
�# �# �# �# �# �# �# �#
�#ł �# �#� �#
yz yz
�#2�23�# �#�23 �#
�# �# �# �#
relację współczynników: ij (macierz, tensor) �!Ż# (wektor) określa tzw. indeksacja Voigt a
a
indeksy pojedyńcze a , (wektor) 1 2 3 4 5 6
indeksy podwójne ij , (macierz, tensor) 11 22 33 12 13 23
prawo materiałowe w postaci 6 równań skalarnych (lub 3 dla PSN/PSO) wiążących:
 6 składowych przestrzennego stanu (przyrostów, prędkości) naprężeń (3 dla PSN/PSO) z
 6-cioma składowymi przestrzennego stanu (przyrostów, prędkości) odkształceń (3 dla PSN/PSO), jest
& = E-1$ macierzową relacją odkształcenia-naprężenia, albo odwrotną
$ a" E & macierzową relacją naprężenia-odkształcenia,
gdzie E jest macierzą konstytutywną, materiałową wymiaru 6�6 dla stanu przestrzennego (3�3 dla PSN i PSO).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/3
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Uogólnione prawo Hooke'a
stan przestrzenny 3D
postać skalarna i odwrotna:
1 E
�x= (� -� (� +� )), � = [(1-� )�x+� (� +�z )]
xy z x y
E (1+� )(1-2� )
1 E
� = (� -� (� +� )), � = [(1-� )� +� (�x+�z )]
yy x z yy
E (1+� )(1-2� )
1 E
�z = (� -� (� +� )), � = [(1-� )�z+� (�x+� )]
zx y z y
E (1+� )(1-2� )
� �
�
xy yz
xz
ł = , ł = , ł = , � =Gł , � =Gł , � =Gł .
xy xz yz xyxy xzxz yz yz
G G G
1
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/4
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Uogólnione prawo Hooke'a
stan przestrzenny 3D
postać macierzowa & = E-1$ i odwrotna $ = E &:
�x � � �x
1-� � � 0 0
0
ż# �# 1 -� -� 000 ż# �# ż# �#ż# �#
Ą#ń#
Ą#ń#
x x
�#� �# �#� �# �#� �#�#� �#
ó#Ą#
ó#Ą#
� 1-� � 0 0
0
yy y y
�# �# �# �# �# �#�# �#
ó#Ą#
ó#-� 1 -� 000 Ą#
�# �z �# �#� �# �#� �#�# �z �#
ó#Ą#
ó#-� -� 1 000 Ą# � � 1-� 0 0 0
1 2G
�# �# �# �#, �# �#�# �#
z z
�#ł Ź#= 0 0 0 2(1+�) 0 0 �#� Ź# �#� Ź#= ó#Ą# �#ł Ź#
ó#Ą#
1
0 0 0 (1-2�) 0 0
E 1-2�
xyxy xy xy
2
�# �# �# �# �# �#�# �#
ó#Ą#
ó#Ą#
1
�# �# �# �# �# �#�# �#
ó#Ą#
ł ó#Ą# � � ł
0 0 0 0 2(1+�) 0 0 0 0 0 (1-2�) 0
xzxz xz xz
2
�# �# �# �# �# �#�# �#
ó#Ą#
ó#Ą#
1
0 0 0 0 0 (1-2�)Ś# �#ł yz �#
0 0 0 0 0 2(1+�)Ś# �#� yz �# �#� �#�# �#
�#ł �# yz
yz
Ł#
Ł# 2
�# �# �# �# �# �#
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/5
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Uogólnione prawo Hooke'a
PSN
tarcza w płaszczyz
nie x - y
� =� =� =0
z zx zy
postać skalarna i odwrotna:
�
�z =-� (�x+ �y ) =- (� +� ), �! � =0 (założenie),
x y z
E
1 E
�x= (� -�� ), � = (�x+�� ),
x y x y
2
E 1-�
1 E
�y= (� -�� ), � = (�y+��x),
y x y
2
E 1-�
�
xy
ł = , � =Gł ,
xy xyxy
G
postać macierzowa & = E-1$ i odwrotna $ = E &:
ż# �# ż# �# ż# �# ż# �#
�x 1 -� 0x � 1 � 0�x
�
Ą#ń# Ą#ń#
x
1 E
�# �# �# �#, �# �# �# �#.
ó#Ą# ó#� Ą#
�#� Ź#= ó#-� 1 0 Ą# �#� Ź# �#� Ź#= 2 ó# 1 0 Ą# �#� Ź#
yy yy
E 1-�
�#ł �# �#� �# �#� �# 1
ó# 0 0 2(1+�)Ą# ó#Ą#
(1-�)Ś# �#ł xy �#
xy Ł#Ś# xy xy
Ł#0 0 2
�# �# �# �# �# �# �# �#
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/6
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Uogólnione prawo Hooke'a
nieskończenie długa
PSO
konstrukcja w kierunku z
�z=ł =ł =0
zx zy
postać skalarna i odwrotna:
2G�
�z=0 (założenie), �! � =� (� +� ) = (�x+� ),
z x y y
1-2�
1 2G
�x= [(1-� )� -�� ], � = [(1-� )�x+�� ],
x y x y
2G 1-2�
1 2G
�y= [(1-� )� -�� ], � = [(1-� )� +��x],
y x yy
2G 1-2�
�
xy
� =Gł , ł = ,
xyxy xy
G
postać macierzowa & = E-1$ i odwrotna $ = E &:
ż# �# ż# �# ż# �# ż# �#
�x 1-� -� 0 � � 1-� � 0 �x
Ą#ń# Ą#ń#
x x
1 2G
�# �# �# �#, �# �# �# �#.
ó#Ą# ó#Ą#
=-� 1-� 0 = � 1-� 0
�#� Ź# �#� Ź# �#� Ź# �#� Ź#
yy yy
ó#Ą# ó#Ą#
�#ł �#2G ó# 0 0 2Ą# �#� �# �#� �#1-2� ó#Ą#
1
0 0 (1-2� )Ś# �#ł xy �#
xy Ł#Ś# xy xy Ł# 2
�# �# �# �# �# �# �# �#
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/7
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Uwaga a) wykazać zależność pomiędzy G a E i �
czyste ścinanie
z koła Mohra naprężenia główne:
w PSN:
�1=� , � =-� , �0 = 45o ,
2
� =� =0
x y
z prawa Hooke a odkształcenie
� =� `" 0
xy
główne:
11
� = Gł
�1= (�1-�� )= (1+� )�
2
EE
wydłużenie przekątnej ds= 2dx, dy=dx
z definicji: "ds =�1ds = 2�1dx,
z geometrii: "ds = (1 ł dx)2+(1 ł dx)2=ł dx/ 2
22
ł
porównanie stronami: �1a"
2
1+� ł � E
stąd �! �1= � a" = �! G = ;
E 2 2G 2(1+� )
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/8
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Uwaga b) wykazać ograniczenie na liczbę Poissona � ,
PSN, przyrost objętości jednostkowego
sześcianu w wyniku rozciągania
� ,� > 0, � =0
x y xy
(z odkształceń wydłużenie odcinka ds = ds0 + "ds0 = (1+ � )ds0)
"V = (1+�x)(1+� )(1+�z ) -1 H" �x+� +�z
y y
11�
= (� -�� ) + (� -�� ) - (� +� )�! 1-2� e" 0 �! � d"1/ 2.
x yy xx y
EEE
� +�
x y
= (1-2� ) e" 0
E


>0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/9
Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów