Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Mimośrodowe
rozciąganie / ściskanie
WYKA
AD 6
Literatura
Rozdz. VIII, str. 129, BIELEWICZ E.: Wytrzymałość materiałów. PG, Gdańsk 1992 (lub inne wydania).
str. 8, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów.
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W06A/1
Wytrzymałość Materiałów mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
stan złożony: moment M = M ex + M ey `" 0 + siła normalna N = Nez `" 0 �! � a" � `" 0;
x y z
siły wewnętrzne M ,M , N
Mechanika Budowli Wytrzymałość Materiałów
x y
wytężenie � w przekroju
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W06A/2
Wytrzymałość Materiałów mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
Superpozycja: osiowego rozciągania i zginania ukośnego, w osiach centralnych x , y (Sx= Sy= 0) mamy:
M Jx+ M Jxy M J +M Jxy
N
y x x y y
�( N )(x, y) = = const , � (x, y)=- x + ;
(M )
22
A JxJ - Jxy JxJ -Jxy
y y
uwzględnienie M =r � N , r = u ex+vey �! M = Nv, M =-Nu daje
x y
Ą# ń#
uJx-vJxy vJ -uJxy
N
y
naprężenia � = �( N )+�(M )= Ax + AyĄ#
ó#1+ 22
AJxJ -Jxy JxJ -Jxy Ą#
ó#
y y
Ł# Ś#
def
uJx-vJxy vJ -uJxy
y
oś zerowa � = 0 �! Ax + Ay +1 = 0;
22
JxJ -Jxy JxJ -Jxy
y y
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W06A/3
Wytrzymałość Materiałów mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
w głównych centralnych osiach bezwładności (Sx= Sy= Jxy= 0) wzory redukują się do postaci:
Ą# ń#
Nux vy Jx 2 J y
2
naprężenia � = , gdzie ix = , iy =
ó#1+ 2 + 2 Ą#
A iy ix Ą# A A
ó#
Ł# Ś#
2
x = 0 �! y = -ix / v
ux vy
oś zerowa + +1 = 0 dla ;
2 2
2
iy ix
y = 0 �! x = -iy /u
tzn. oś zerowa nigdy nie przecina ćwiartki w której działa siła (u,v);
występują trzy charakterystyczne położenia osi zerowej względem przekroju:
osi nie przecina przekrój osi styczna do przekrój osi przecina przekrój
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W06A/4
Wytrzymałość Materiałów mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
Uwaga 1 przejście z układu osi centralnych x , y , Jx, J , Jxy`"0
y
do głównych osi centralnych � a"1, � a" 2, J� a"J1, J� a"J2 , �01
przez transformację ortogonalną x, y oraz u,v:
�01 = (x,� ) zgodny �01 = (x,� ) przeciwnie
�#ś#
ś#ź#
z ruchem zegar do ruchu zegar
ś#ź#;
lub
ś#ź#
� = xcos�01- ysin�01 � = xcos�01+ ysin�01
ś#ź#
� = xsin�01+ y cos�01
�#� =-xsin�01+ y cos�01 #
Uwaga 2 jeżeli siła N przesuwa się po prostej u = av + b to oś zerowa
av+b v ax y bx
x + y +1=0 �! v( + ) + +1a"0, niezależnie od u ,v ,
2 2 2 2
iy2 iy ix iy
ix



=0
=0
2
2
iy
ix a
zawsze przechodzi przez punkt xb = - , yb = ,
b b
tzn. oś zerowa obraca się wokół punktu (xb, yb)
stanowiąc pęk prostych przechodzących przez punkt (xb, yb).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W06A/5
Wytrzymałość Materiałów mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
K jest to najmniejsza figura wypukła, w którą da się wpisać przekrój A ą" K .
Kontur
Rdzeń (jądro) przekroju R jest to miejsce geometryczne punktów przyłożenia siły,
dla których w całym przekroju panują naprężenia jednakowego znaku.
" Punktom granicy rdzenia odpowiadają
osie styczne do konturu.
" Rdzeń R jest zawsze figurą wypukłą
leżącą wewnątrz konturu R ą" K .
" Rdzeń ma te same oś symetrii co przekrój.
" Środek ciężkości przekroju zawsze
leży w obszarze rdzenia.
Praktyczne znaczenie rdzenia np.:
" Jeśli kontur jest wielobokiem to rdzeń jest także
" materiały kruche,
wielobokiem o tej samej liczbie boków.
" materiały nie przenoszące ciągnień,
" fundamenty, itp.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W06A/6
Wytrzymałość Materiałów mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
Wyznaczenie rdzenia polega na określeniu jego granic,
otrzymuje się z definicji przez podstawienie do równania osi obojętnej y = a(u,v)x + b(u,v):
(I) równań granicy rdzenia
(i - temu wierzchołkowi konturu (xi, yi ) odpowiada i - te równanie boku rdzenia v = ąiu + �i ),
(II) równań boków konturu
(i - temu bokowi konturu y = aix + bi odpowiada i - ty wierzchołek rdzenia (ui,vi)), stąd:
x = ci `" 0, y "(-",+")
y = bi `" 0, x "(-",+")
y = aix + bi , ai `" 0 i bi `" 0
�! x = y/ai -bi/ai a"ci
( )
�! ai = 0

a"0 �! ai ,bi ="
2 2 2 2
aJ -Jxy aiiy ixy Jxy ixy J iy
i y y
= - - =- - =-
ui
bA bi bi bA bi ci A ci
i i
2 2
2
Jxy
aJxy- Jx aiixy ix Jx ix 1
2
i
- =- - = - ixy
=-
vi
bA bi ci A ci
bA bi bi
i
i
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W06A/7
Wytrzymałość Materiałów mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
" Metoda wykreślna znajdowania osi zerowej ( x, y ) w układzie głównych centralnych osiach bezwładności
2
2
iy Wg J Wp
ix Jx Wd Wl
y
z warunku x = - , y =- i granic rdzenia vg == , vd = , ul == , up = .
u v yd A A A xp A A A
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W06A/8
Wytrzymałość Materiałów mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
h b
" Granice rdzenia typowych figur  prostokąt (b� h) vg = , up= ;
6 6
" Granice rdzenia typowych figur " Granice rdzenia typowych figur
R
R2+ r2
 koło ( R), � a" u = ;
 rura grubościenna ( R,r ), � a" u =
4
4R
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W06A/9
Wytrzymałość Materiałów mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
R
" Granice rdzenia typowych figur  rura cienkościenna (R,� ), � a" u = ;
2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W06A/10
Wytrzymałość Materiałów mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
h b h
" Granice rdzenia typowych figur  trójkąt równoboczny (b� h) vg = , up= vd = ;
6 8 12
bh3
Jx= ,
36
h(b)3 hb3
2
J = 2 = , lub
y
12 48
3
2
b
Ą#ń#
hb3
( )
J =2Ą# y1 1 1 b 2 ń# =2ó# h 2 + bh �# b ś# Ą# = .
( )
y
ś# ź#
Ł#J + 2 A 3 2 Ś#
48
36 4
6
�# #
Ł#Ś#
2h 2
y =- x + h, z tabelki dla Jxy= 0 otrzymuje się:
b 3

ab
2h hb3 h3b
-
aJ
b Jx h
y
b 48 36
ul = == - , vd = - = - = - .
hb 2h hb 2h
Ab 8 Ab 12
2 3 2 3
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W06A/11
Wytrzymałość Materiałów mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
Mimośrodowe ściskanie przy wyłączeniu strefy rozciąganej (fundamenty  nie przenoszą ciągnień)
Fundament prostokątny (stopa) A = h�b,
wierzchołki rdzenia ąh /6, ą b /6,
obciążenie w płaszczyz
nie symetrii ( x - x Ą" b)
siłą P w odległości c od krawędzi stopy,
" trzy przypadki ustawienia siły:
 c e" h /3 rozkład � trapezowy, siła wewnątrz rdzenia
M
P 2P 3c 2P 3c
y
� ,� =- ą �! � = (1- ) , � = (-2 + );
max min max min
A Wy bh h bh h
 c = h /3 rozkład � trójkątny na całej długości h ,
2P
siła na skraju rdzenia � = 0, � =- ;
max min
bh
 c < h /3 rozkład � trójkątny tylko na części h ,
2P
siła poza rdzeniem � = 0, � =- .
max min
3bc
W praktyce nie dopuszcza się przypadków odporu fundamentu
na obszarze mniejszym od połowy powierzchni całkowitej
h h
�! 3c > �! c > .
2 6
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W06A/12
Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów