ELEMENTY LOGIKI MATEMATYCZNEJ
Def. Zdaniem w sensie logiki nazywamy takÄ… wypowiedz

oznajmującą, której w ramach danej nauki można jednoznacznie
przyporządkowad jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę
(wartośd logiczna 1) albo fałsz (wartośd logiczna 0).
Zdania złożone tworzymy w logice ze zdao używając spójników
logicznych zwanych funktorami zdaniotwórczymi.
Nazwy i symbole podstawowych funktorów zdaniotwórczych
Nazwa Zapis Sposób odczytania
negacja ( zaprzeczenie) ~ nieprawda, że
alternatywa lub
koniunkcja i
implikacja jeżeli& .., to
równoważnośd wtedy i tylko wtedy, gdy
alternatywa wykluczajÄ…ca albo
def. Zmienną zdaniową nazywamy symbol, którym zastępujemy
dowolne zdanie. Zmienne zdaniowe najczęściej oznaczamy małymi
p, q, r...
literami, np. "
p
p
Każdemu zdaniu przypisujemy jego wartośd logiczną w( )
w następujący sposób:
1, gdy p jest zdaniem prawdziwym ,
w( p)
0, gdy p jest zdaniem falszywym.
Tabela zdao złożonych i wartości logicznych tych zdao
w zależności od wartości logicznych zdao składowych
p q ~ p p q p q
p q p q
p q
1 1 0 1 1 1 1 0
1 0 0 1 0 0 0 1
0 1 1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1 1 0
Najczęściej wykorzystywane prawa rachunku zdao (tautologie)
~ (~ p) p
1) Prawo podwójnej negacji
2) Prawa przemienności
p q q p
p q q p
p (q r) ( p q) r
3) Prawa łączności
p (q r) ( p q) r
4) Prawa rozdzielności
p (q r) ( p q) ( p r)
p (q r) ( p q) ( p r)
5) Prawa de Morgana ~ ( p q) (~ p) (~ q)
~ ( p q) (~ p) (~ q)
6) Prawo zaprzeczenia implikacji
~ ( p q) p (~ q)
7) Prawo przechodniości implikacji
[( p q) (q r)] ( p r)
8) Prawo transpozycji (kontrapozycji)
(p q) [(~ q) (~ p)]
Twierdzenie proste, odwrotne, przeciwne, przeciwstawne
Przypuśdmy, że pewne twierdzenie matematyczne zostało
sformułowane w postaci implikacji
(a) Z T
Poprzednik Z implikacji (a) nazywamy założeniem, następnik T
nazywamy tezÄ… twierdzenia.
ImplikacjÄ™
(b) T Z
nazywamy twierdzeniem odwrotnym do (a).
ImplikacjÄ™
(c)
~ T ~ Z
nazywamy twierdzeniem przeciwstawnym do (a).
ImplikacjÄ™
(d)
~ Z ~ T
nazywamy twierdzeniem przeciwnym do (a).
Twierdzenie (a) w tym zestawieniu nazywamy twierdzeniem
prostym. Twierdzenia (a) i (c) mają tę samą wartośd logiczną.
Twierdzenia (b) i (d) mają tę samą wartośd logiczną.
Warunek konieczny. Warunek wystarczajÄ…cy.
Z T
Twierdzenia matematyczne majÄ…ce postad implikacji
mogą byd formułowane przy użyciu zwrotów: warunek konieczny,
warunek wystarczajÄ…cy (warunek dostateczny).
Twierdzenie można sformułowad następująco:
Z T
Z jest warunkiem wystarczajÄ…cym T
lub inaczej
T jest warunkiem koniecznym Z.
Z T
Twierdzenie można sformułowad następująco:
Z jest warunkiem koniecznym i wystarczajÄ…cym T lub inaczej
T jest warunkiem koniecznym i wystarczajÄ…cym Z."
Funkcje zdaniowe (formy zdaniowe)
Def. Funkcją zdaniową (formą zdaniową) określoną na zbiorze X ,
(x)
nazywamy takie wyrażenie , gdzie które staje się
x X ,
x
zdaniem w sensie logiki (prawda, fałsz), gdy za wstawimy
X X
konkretną wartośd ze zbioru . Zbiór nazywamy zakresem
.
zmienności funkcji zdaniowej
a) (x) : (x2 9 0), X R w( (2)) 0 w( (3)) 1
Przykłady:
b) (x1, x2) : (x1 x2 3), X (R,R) w( (1,1)) 0 w( (1,3)) 1
Def. Niech będzie funkcją zdaniową, której zakresem
(x)
zmienności jest niepusty zbiór . Jeżeli dla pewnego
X
a X
a
(a)
wyrażenie jest zdaniem prawdziwym, to mówimy, że spełnia
(x)
X
funkcję zdaniową . Zbiór wszystkich elementów zbioru , które
def
(x)
spełniają funkcję zdaniową tj. zbiór
{x X : (x)} {x X : w( (x)) 1}
(x).
nazywamy wykresem funkcji zdaniowej "
Kwantyfikatory
x X
Zwrot  dla każdego  oznaczamy symbolem
lub inaczej
i nazywamy kwantyfikatorem dużym (ogólnym).
x X x X
x X
Zwrot  istnieje taki , że  oznaczamy symbolem
lub inaczej
i nazywamy kwantyfikatorem małym
x X x X
(szczegółowym).
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów
[~ (x)] [ (~ (x)]
x X x X
[~ (x)] [ (~ (x)]
x X x X
Funkcje zdaniowe można zamienid w zdania poprzedzając je
kwantyfikatorami.
x2 x
Przykład Określid wartośd logiczną zdania
x R
i zapisad jego zaprzeczenie nie używając znaku negacji.
Rachunek zbiorów
Zbiory oznaczamy najczęściej dużymi literami, zaś ich elementy-
a
A
małymi. Fakt, że element należy do zbioru zapisujemy
def
symbolicznie
a A. Natomiast a A ~ (a A).
Zbiorem pustym nazywamy taki zbiór, do którego nie należy żaden
element i oznaczamy symbolem Ø.
Działania na zbiorach
def
A B (x A x B)
Równośd zbiorów:
x
def
Zawieranie się zbiorów:
A B (x A x B)
x
(Zbiór A zawiera się w zbiorze B (
A jest podzbiorem B))
def
A B {x : x A x B}
A B
Suma zbiorów i :
def
A B
Iloczyn zbiorów i :
A B {x : x A x B}
def
A\ B
Różnica zbiorów :
A \ B {x : x A x B}
Różnicę X \ A , gdzie X oznacza całą rozpatrywaną przestrzeo,
nazywamy dopełnieniem zbioru A i oznaczamy symbolem A .
A B
A B
Zbiory i nazywamy rozłącznymi ł.
Pewne prawa rachunku zbiorów
(A')' A
1) .
A B B A
2) Prawa przemienności
A B B A
A (B C) (A B) C
3) Prawa łączności
A (B C) (A B) C
A (B C) ( A B) ( A C)
4) Prawa rozdzielności
A (B C) ( A B) ( A C)
( A B)' A' B'
5) Prawa de Morgana
( A B)' A' B'
(A B B C) A C
6) Prawo przechodniości inkluzji
Uwaga
Prawa rachunku zbiorów dowodzi się wykorzystując m.in. prawa
rachunku zdao."
Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory
N = {1, 2, 3, 4,& } (zbiór liczb naturalnych)
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, & } (zbiór liczb całkowitych nieujemnych)
Z = {0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, & } ( zbiór liczb całkowitych)
l
W {x R; x l Z m N}
m
(zbiór liczb wymiernych)
N N0 Z W R
Zbiór IW nazywamy zbiorem liczb niewymiernych.
Przedziały
a,b R a b.
Niech
a,b {x R : a x b} (a,b) {x R : a x b}
a,b) {x R : a x b} (a,b {x R : a x b}
( ,b {x R : x b} ( ,b) {x R : x b}
a, ) {x R : x a} (a, ) {x R : x a}
Produkt kartezjaoski (iloczyn kartezjaoski) zbiorów
Produktem (iloczynem) kartezjaoskim A × B zbiorów A i B nazywamy
zbiór wszystkich uporządkowanych par (x, y) takich, że poprzednik x
jest elementem A , zaś następnik y jest elementem zbioru B. Zatem
def
A B {(x, y) : x A y B}
Analogicznie definiujemy produkt kartezjaoski dowolnej, skooczonej
liczby zbiorów:
def
A1 A2 ... An {(x1, x2,..., xn ) : xi Ai ,i 1,2,3..., n}
Przykłady
def
a) R R R2 {(x, y) : x R y R}
def
b) R R R Rn {(x1, x2,..., xn ) : xi R,i 1,2,...,n}
1ð4ð 2ð... 3ð
4ð 4ð4ð
n razy
c) Niech A {1,3}, B {3,4}. Wtedy A B ...
d ) Niech A (1,2), B (3,4). Wtedy A B ...
Zbiór ograniczony, kres górny, kres dolny zbioru
A R
Definicja. Zbiór nazywamy ograniczonym z dołu (z góry),
m R,(M R)
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba , że
m x, ( x M )
x A x A
Definicja. Zbiór nazywamy ograniczonym, wtedy i tylko wtedy, gdy
jest on jednocześnie ograniczony z góry i z dołu.
Definicja. LiczbÄ™ m R, (M0 nazywamy kresem dolnym
R)
0
A R
(górnym) zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona
najmniejszą (największą) liczbą tego zbioru, o ile taka istnieje, bądz

największą (najmniejszą) liczbą ograniczającą ten zbiór z dołu (z góry),
inf A m0 (sup A M0).
co zapisujemy
l
Przykłady: a) Niech
A {m : l, m N l m}.
Wtedy: min  nie istnieje, inf A= 0, max A  nie istnieje, sup A = 1
A
b) Niech B = (-1, 1>.
Wtedy: min B  nie istnieje, inf B = -1, max B = sup B = 1
Uogólnienia podanych wcześniej definicji sumy i iloczynu zbiorów
t T
X T . Jeżeli każdemu
Niech będą dane dwa niepuste zbiory i
przyporządkowany jest podzbiór X
A t , to zbiór takich At
nazywamy rodziną ( lub zbiorem) podzbiorów zbioru indeksowaną
X
T
zbiorem i oznaczamy go
{At X : t T} lub {At}t T
Definicja
X
Sumą uogólnioną rodziny T podzbiorów zbioru nazywamy
{At}t
At
zbiór określony równością:
Uð
t T
At {x X : x At }.
Uð
t T
t T
Definicja
{ At }t T podzbiorów zbioru X
Iloczynem uogólnionym rodziny
At
nazywamy zbiór określony równością:
Ið
t T
At {x X : x At}.
Ið
t T
t T
Przykład
1
n N An {x R : ( 1)n x 1 }.
Niech dla każdego
n
Zapisad dla (i = 1, 2, 3, 4) oraz wyznaczyd zbiory
Ai
a)
UðA UðA b) IðA IðA .
n n n n
n N n 1 n N n 1
RozwiÄ…zanie:
3 3
A1 {x R : 1 x 2} 1,2 A2 {x R :1 x } 1,
2 2
4 4 5 5
A3 {x R : 1 x } 1, A4 {x R :1 x } 1,
3 3 4 4
1
An An {x R : x ( 1)n ,1 } 1,2
Uð Uð Uð
n
n N n 1 n 1
1
An An {x R : x ( 1)n ,1 } {1}.
Ið Ið Ið
n
n N n 1 n 1
Wartośd bezwzględna i jej własności
a R
Definicja Wartością bezwzględną (modułem) dowolnej liczby
nazywamy liczbę zdefiniowaną za pomocą równości
a
a, gdy a 0
a
a, gdy a 0.
Geometrycznie oznacza odległośd punktu na osi liczbowej od
a a
punktu O.
Własności
1) a 0 2) a a a 3) a b a b
a R a R a,b R
a
a
4) 5) a b a b 6) a b a b
b
b
a R b R-{0} a,b R a,b R
7) ( a a a ) 8) ( a a )
a R 0 a R R
9) ( a a a ).
a R R
Własności 8) i 9) pozostają prawdziwe, gdy nierówności ostre
zastÄ…pimy nieostrymi.
Otoczenie i sÄ…siedztwo punktu
x0
Niech będzie ustaloną liczbą rzeczywistą, natomiast dowolną
liczbÄ… dodatniÄ….
x0
U (x0, )
Definicja Otoczeniem punktu o promieniu nazywamy
def
U(x0, ) (x0 , x0 ) {x R : x x0 }.
zbiór
Definicja SÄ…siedztwem S( x0, ) punktu o promieniu nazywamy
x0
def
zbiór
S(x0, ) U(x0, ) {x0} (x0 , x0) (x0, x0 ) {x R : 0 x x0 }.
S (x0, )
Definicja SÄ…siedztwem lewostronnym punktu x
0
def
o promieniu nazywamy zbiór S (x0, ) (x0 , x0).
x0
S (x0, )
Definicja SÄ…siedztwem prawostronnym punktu
def
o promieniu nazywamy zbiór
S (x0, ) (x0, x0 ).
Przyjmiemy umowÄ™:
S( ) U( ) (a, ), S( ) U( ) ( ,a),
a
gdzie jest dowolnÄ… liczbÄ… rzeczywistÄ….
W przypadku, gdy promieo otoczenia lub sąsiedztwa rozważanego
U (x0 ), S (x0 ).
0
punktu x nie jest istotny, będziemy używad oznaczeo: