Laboratorium Elektroniczne WFiIS

A-4. Filtry aktywne RC

A-4. Filtry aktywne RC

wersja 04’2014

1. Wstęp

Filtry aktywne II rzędu RC

Filtry aktywne RC to układy liniowe, stacjonarne realizowane za pomocą elementu aktywnego jakim

jest wzmacniacz, na który założono sprzężenie zwrotne zbudowane z elementów biernych
rezystancyjno-pojemnościowych RC. Elementem aktywnym najczęściej jest wzmacniacz operacyjny.
Elementy bierne sprzężenia zwrotnego kształtują charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową
całego układu filtru. Sprzężenie zwrotne odpowiedzialne jest za kształt całkowitej charakterystyki
amplitudowo-częstotliwościowej, a może być zarówno dodatnie jak i ujemne. W tym pierwszym
przypadku dodatniemu sprzężeniu musi towarzyszyć dodatkowo sprzężenie ujemne dla zachowania
stabilności całego układu. W przypadku drugim stosuje się wielokrotną pętlę sprzężenia ujemnego.
W ćwiczeniu, do budowania filtrów wykorzystano człony kwadratowe (tzn. posiadające biegun drugiego
rzędu) zrealizowane w konfiguracji z dodatnim sprzężeniem zwrotnym.

2. Zakres ćwiczenia

Zbadać następujące układy:
1) Filtr dolnoprzepustowy rzędu II o tłumieniu krytycznym.
2) Filtr dolnoprzepustowy Butterworth’a rzędu II.
3) Filtr dolnoprzepustowy Chebysheva 0.5dB rzędu II.
4) Filtr dolnoprzepustowy Bessel’a rzędu II.
Ewentualnie:
5) Filtr górnoprzepustowy rzędu II o tłumieniu krytycznym.
6) Filtr górnoprzepustowy Butterworth’a rzędu II.
7) Filtr górnoprzepustowy Chebysheva 0.5dB rzędu II.
8) Filtr górnoprzepustowy Bessel’a rzędu II.

3. Realizacja filtrów

Filtr dolnoprzepustowy

Do realizacji powyższych filtrów aktywnych wybrano konfigurację układową Sallen-Key’a.

Schemat filtru dolnoprzepustowego przedstawia rysunek 1.

Rys. 1. Dolnoprzepustowy filtr aktywny w konfiguracji Sallen-Key’a.

Laboratorium Elektroniczne WFiIS

Filtry aktywne RC

Strona 2 z 9

Operatorowa funkcja przenoszenia ma postać:

1

)

(

)

(

)

(

0

2

0

2

+

+

=

=

ω

ω

Q

s

s

k

s

U

s

U

s

H

wej

wyj

[1]

gdzie: k – wzmocnienie układu aktywnego,

3

4

1

R

R

k

+

=

,

Q

– dobro

ć

filtru,

(

)

k

C

R

C

R

C

R

C

C

R

R

Q

−

+

+

=

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2

1

,

[2]

ω

0

– cz

ę

sto

ść

graniczna,

2

1

2

1

2

0

1

C

C

R

R

=

ω

.

[3]

Parametrem charakterystycznym funkcji przenoszenia jest cz

ę

sto

ść

graniczna

ω

0

oraz dobro

ć

Q filtru. W

zale

ż

no

ś

ci od zmiennej Q rozró

ż

niamy nast

ę

puj

ą

ce typy filtrów aktywnych drugiego rz

ę

du:

-

Q = 0.7071 - filtr Butterworth’a,

-

Q = 0.9487 - filtr Chebysheva 0.5dB,

-

Q = 0.5 - filtr o tłumieniu krytycznym Bessel’a.

Amplitudowe i fazowe charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe filtrów przedstawia rysunek 2.

10

2

10

3

10

4

10

5

-40

-30

-20

-10

0

f [Hz]

|H

(j

ω

)|

[

d

B

]

10

2

10

3

10

4

10

5

-200

-150

-100

-50

0

f [Hz]

∠

H

(j

ω

)

[

°

]

Butterworth Q=0.7071

Chebyshev 0.5dB Q=0.9487
Bessel Q=0.5

Rys. 2. Amplitudowa i fazowa charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa dolnoprzepustowego filtru aktywnego

drugiego rz

ę

du (przy zało

ż

eniu

ω

0

=const

).

Laboratorium Elektroniczne WFiIS

Filtry aktywne RC

Strona 3 z 9

Celem uproszczenia projektu wprowadzi

ć

mo

ż

na nast

ę

puj

ą

ce zało

ż

enia:

1.

Dla zale

ż

no

ś

ci mi

ę

dzy elementami układu:

R

1

=mR, R

2

=R, C

1

=C, C

2

=nC,

otrzymujemy:

)

1

(

1

,

2

1

0

k

mn

m

mn

Q

mn

RC

f

−

+

+

=

=

π

2.

Dla zale

ż

no

ś

ci mi

ę

dzy elementami układu:

R

1

=mR, R

2

=R, C

1

=C, C

2

=nC, k=1

otrzymujemy:

1

,

2

1

0

+

=

=

m

mn

Q

mn

RC

f

π

3.

Dla zale

ż

no

ś

ci mi

ę

dzy elementami układu:

R

1

=mR, R

2

=R, C

1

=C

2

=C

otrzymujemy:

mk

m

m

Q

m

RC

f

−

+

=

=

2

1

,

2

1

0

π

lub R

1

=R

2

=R, C

1

=C, C

2

=nC,

)

1

(

2

,

2

1

0

k

n

n

Q

n

RC

f

−

+

=

=

π

4.

Dla zale

ż

no

ś

ci mi

ę

dzy elementami układu:

R

1

=R

2

=R, C

1

= C

2

=C

otrzymujemy:

k

Q

RC

f

−

=

=

3

1

,

2

1

0

π

Cechy charakterystyczne filtrów:

Zalety

Wady

Butterworth Maksymalnie płaska charakterystyka

cz

ę

stotliwo

ś

ciowa w pa

ś

mie przepustowym,

napi

ę

ciowa odpowiedz impulsowa o

mniejszym poziomie tłumienia ni

ż

dla

konfiguracji Chebyshev’a

Niewielkie dzwonienie i przerzut w
napi

ę

ciowej odpowiedzi impulsowej

Bessel

Pozbawiony efektu dzwonienia, brak przerzutu
w napi

ę

ciowej odpowiedzi na wymuszenie

impulsowe

Najmniejsze tłumienie poza pasmem
przepustowym, stosunkowo wolne
narastanie odpowiedzi na napi

ę

ciowe

wymuszenie impulsowe

Chebyshev Najwi

ę

ksze tłumienie poza pasmem

przepustowym

Charakterystyczne podbicie w pa

ś

mie

przepustowym w pobli

ż

u cz

ę

stotliwo

ś

ci

granicznej, du

ż

e oscylacje w odpowiedzi

impulsowej

Przykładowy kształt napi

ę

ciowych odpowiedzi filtrów na wymuszenie skokiem jednostkowym

1

(t)

przedstawia rysunek 3.

Laboratorium Elektroniczne WFiIS

Filtry aktywne RC

Strona 4 z 9

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x 10

-4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

czas [s]

n

a

p

ie

c

ie

[

V

]

Wejście

Chebyshev 0.5dB

Butterworth

Bessel

Rys. 3. Odpowiedz napi

ę

ciowa filtrów dolnoprzepustowych aktywnych drugiego rz

ę

du (przy zało

ż

eniu

ω

0

=const

) na wymuszenie skokiem jednostkowym

1

(t).

Filtr górnoprzepustowy

Schemat filtru górnoprzepustowego II rz

ę

du w konfiguracji Sallen-Key’a przedstawia rysunek 4.

Rys. 4. Górnoprzepustowy filtr aktywny w konfiguracji Sallen-Key’a

Operatorowa funkcja przenoszenia ma posta

ć

:

1

)

(

)

(

)

(

0

2

0

2

2

0

2

+

+

=

=

ω

ω

ω

Q

s

s

s

k

s

U

s

U

s

H

wej

wyj

[4]

gdzie: k – wzmocnienie układu aktywnego,

3

4

1

R

R

k

+

=

Laboratorium Elektroniczne WFiIS

Filtry aktywne RC

Strona 5 z 9

Q

– dobro

ć

filtru,

(

)

k

C

R

C

R

C

R

C

C

R

R

Q

−

+

+

=

1

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

,

[5]

ω

0

– cz

ę

sto

ść

graniczna,

2

1

2

1

2

0

1

C

C

R

R

=

ω

.

[6]

Parametrem charakterystycznym funkcji przenoszenia jest cz

ę

sto

ść

graniczna

ω

0

oraz dobro

ć

Q filtru.

Amplitudowe i fazowe charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe filtrów przedstawia rysunek 5.

10

2

10

3

10

4

10

5

-40

-30

-20

-10

0

f [Hz]

|H

(j

ω

)|

[

d

B

]

10

2

10

3

10

4

10

5

0

50

100

150

200

f [Hz]

∠

H

(j

ω

)

[

°

]

Butterworth Q=0.7071

Chebyshev 0.5dB Q=0.9487
Bessel Q=0.5

Rys. 5. Amplitudowa i fazowa charakterystyka cz

ę

stotliwo

ś

ciowa górnoprzepustowego filtru aktywnego

drugiego rz

ę

du (przy zało

ż

eniu

ω

0

=const

).

Celem uproszczenia projektu wprowadzi

ć

mo

ż

na nast

ę

puj

ą

ce zało

ż

enia:

5.

Dla zale

ż

no

ś

ci mi

ę

dzy elementami układu:

R

1

=mR, R

2

=R, C

1

=C, C

2

=nC,

otrzymujemy:

)

1

(

1

,

2

1

0

k

mn

n

mn

Q

mn

RC

f

−

+

+

=

=

π

6.

Dla zale

ż

no

ś

ci mi

ę

dzy elementami układu:

R

1

=mR, R

2

=R, C

1

=C, C

2

=nC, k=1

otrzymujemy:

1

,

2

1

0

+

=

=

n

mn

Q

mn

RC

f

π

7.

Dla zale

ż

no

ś

ci mi

ę

dzy elementami układu:

R

1

=mR, R

2

=R, C

1

=C

2

=C

Laboratorium Elektroniczne WFiIS

Filtry aktywne RC

Strona 6 z 9

otrzymujemy:

)

1

(

2

,

2

1

0

k

m

m

Q

m

RC

f

−

+

=

=

π

lub R

1

=R

2

=R, C

1

=C, C

2

=nC,

nk

n

n

Q

n

RC

f

−

+

=

=

2

1

,

2

1

0

π

8.

Dla zale

ż

no

ś

ci mi

ę

dzy elementami układu:

R

1

=R

2

=R, C

1

= C

2

=C

otrzymujemy:

k

Q

RC

f

−

=

=

3

1

,

2

1

0

π

4. Literatura

1)

Tietze, Schenk - "Układy półprzewodnikowe".

2)

Millman, Halkias - "Układy scalone analogowe i cyfrowe".

3)

Kulka, Nadachowski - "Analogowe układy scalone i ich zastosowanie".

4)

Hank Zumbahlen – “Linear Circuit Design Handbook”

5) “

Analysis of the Sallen-Key Architecture” -

http://www.ti.com/lit/an/sloa024b/sloa024b.pdf

5. Program ćwiczenia

1.

Filtr o tłumieniu krytycznym, rz

ę

du II

a)

Wyznaczy

ć

małosygnałow

ą

charakterystyk

ę

amplitudowo-cz

ę

stotliwo

ś

ciow

ą

)

(

)

(

f

f

U

U

j

K

in

out

=

=

ω

,

poda

ć

nachylenie asymptotyczne i cz

ę

stotliwo

ść

graniczn

ą

f

g

,

b)

przerysowa

ć

odpowied

ź

napi

ę

ciow

ą

filtru na skok napi

ę

cia u

wej

(t)=

1

(t)

. Poda

ć

czas narastania.

2.

Filtr dolnoprzepustowy Butterworth’a rz

ę

du II

a)

wyznaczy

ć

małosygnałow

ą

charakterystyk

ę

amplitudowo-cz

ę

stotliwo

ś

ciow

ą

)

(

)

(

f

f

U

U

j

K

in

out

=

=

ω

,

poda

ć

nachylenie asymptotyczne i cz

ę

stotliwo

ść

graniczn

ą

f

g

,

b)

przerysowa

ć

odpowied

ź

napi

ę

ciow

ą

filtru na skok napi

ę

cia u

wej

(t)=

1

(t)

. Poda

ć

czas narastania.

3.

Filtr dolnoprzepustowy Chebysheva 0.5dB rz

ę

du II

a)

wyznaczy

ć

małosygnałow

ą

charakterystyk

ę

amplitudowo-cz

ę

stotliwo

ś

ciow

ą

)

(

)

(

f

f

U

U

j

K

in

out

=

=

ω

,

poda

ć

nachylenie asymptotyczne i cz

ę

stotliwo

ść

graniczn

ą

f

g

,

b)

przerysowa

ć

odpowied

ź

napi

ę

ciow

ą

filtru na skok napi

ę

cia u

wej

(t)=

1

(t)

. Poda

ć

czas narastania i poziom przerzutu.

4.

Filtr dolnoprzepustowy Bessel’a rz

ę

du II

a)

wyznaczy

ć

małosygnałow

ą

charakterystyk

ę

amplitudowo-cz

ę

stotliwo

ś

ciow

ą

Laboratorium Elektroniczne WFiIS

Filtry aktywne RC

Strona 7 z 9

)

(

)

(

f

f

U

U

j

K

in

out

=

=

ω

,

poda

ć

nachylenie asymptotyczne i cz

ę

stotliwo

ść

graniczn

ą

f

g

,

b)

przerysowa

ć

odpowied

ź

napi

ę

ciow

ą

filtru na skok napi

ę

cia u

wej

(t)=

1

(t)

. Poda

ć

czas narastania.

Laboratorium Elektroniczne WFiIS

Filtry aktywne RC

Strona 8 z 9

6. Schemat zestawu do ćwiczenia (nowa płytka PCB)

Filtr dolnoprzepustowy:

Zestawienie elementów:

Symbol

Warto

ść

Symbol

Warto

ść

R

23

10k

Ω

R

31

10k

Ω

R

24

10k

Ω

R

32

10k

Ω

C

23

1.6nF

C

31

3.6nF

C

24

1.6nF

C

32

1.0nF

R

25

22k

Ω

R

33

22k

Ω

R

27

10k

Ω

R

35

10k

Ω

R

28

10k

Ω

R

36

10k

Ω

C

27

2.2nF

C

35

1.2nF

C

28

1.1nF

C

36

1.2nF

R

29

22k

Ω

R

37

22k

Ω

Laboratorium Elektroniczne WFiIS

Filtry aktywne RC

Strona 9 z 9

7. Schemat zestawu do ćwiczenia (nowa płytka PCB)

Filtr górnoprzepustowy:

Zestawienie elementów:

Symbol

Warto

ść

Symbol

Warto

ść

R

23

15.8k

Ω

R

31

6.98k

Ω

R

24

15.8k

Ω

R

32

25.11k

Ω

C

23

10nF

C

31

10nF

C

24

10nF

C

32

10nF

R

25

22k

Ω

R

33

22k

Ω

R

27

11.3k

Ω

R

35

21k

Ω

R

28

22.6k

Ω

R

36

21k

Ω

C

27

10nF

C

35

10nF

C

28

10nF

C

36

10nF

R

29

22k

Ω

R

37

22k

Ω