Laboratorium Elektroniczne WFiIS
A-4. Filtry aktywne RC
A-4. Filtry aktywne RC
wersja 04’2014
1. Wstęp
Filtry aktywne II rzędu RC
Filtry aktywne RC to układy liniowe, stacjonarne realizowane za pomocą elementu aktywnego jakim
jest wzmacniacz, na który załoŜono sprzęŜenie zwrotne zbudowane z elementów biernych
rezystancyjno-pojemnościowych RC. Elementem aktywnym najczęściej jest wzmacniacz operacyjny.
Elementy bierne sprzęŜenia zwrotnego kształtują charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową
całego układu filtru. SprzęŜenie zwrotne odpowiedzialne jest za kształt całkowitej charakterystyki
amplitudowo-częstotliwościowej, a moŜe być zarówno dodatnie jak i ujemne. W tym pierwszym
przypadku dodatniemu sprzęŜeniu musi towarzyszyć dodatkowo sprzęŜenie ujemne dla zachowania
stabilności całego układu. W przypadku drugim stosuje się wielokrotną pętlę sprzęŜenia ujemnego.
W ćwiczeniu, do budowania filtrów wykorzystano człony kwadratowe (tzn. posiadające biegun drugiego
rzędu) zrealizowane w konfiguracji z dodatnim sprzęŜeniem zwrotnym.
2. Zakres ćwiczenia
Zbadać następujące układy:
1) Filtr dolnoprzepustowy rzędu II o tłumieniu krytycznym.
2) Filtr dolnoprzepustowy Butterworth’a rzędu II.
3) Filtr dolnoprzepustowy Chebysheva 0.5dB rzędu II.
4) Filtr dolnoprzepustowy Bessel’a rzędu II.
Ewentualnie:
5) Filtr górnoprzepustowy rzędu II o tłumieniu krytycznym.
6) Filtr górnoprzepustowy Butterworth’a rzędu II.
7) Filtr górnoprzepustowy Chebysheva 0.5dB rzędu II.
8) Filtr górnoprzepustowy Bessel’a rzędu II.
3. Realizacja filtrów
Filtr dolnoprzepustowy
Do realizacji powyŜszych filtrów aktywnych wybrano konfigurację układową Sallen-Key’a.
Schemat filtru dolnoprzepustowego przedstawia rysunek 1.
Rys. 1. Dolnoprzepustowy filtr aktywny w konfiguracji Sallen-Key’a.
Laboratorium Elektroniczne WFiIS
Filtry aktywne RC
Strona 2 z 9
Operatorowa funkcja przenoszenia ma postać:
1
)
(
)
(
)
(
0
2
0
2
+
+
=
=
ω
ω
Q
s
s
k
s
U
s
U
s
H
wej
wyj
[1]
gdzie: k – wzmocnienie układu aktywnego,
3
4
1
R
R
k
+
=
,
Q
– dobro
ć
filtru,
(
)
k
C
R
C
R
C
R
C
C
R
R
Q
−
+
+
=
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
,
[2]
ω
0
– cz
ę
sto
ść
graniczna,
2
1
2
1
2
0
1
C
C
R
R
=
ω
.
[3]
Parametrem charakterystycznym funkcji przenoszenia jest cz
ę
sto
ść
graniczna
ω
0
oraz dobro
ć
Q filtru. W
zale
Ŝ
no
ś
ci od zmiennej Q rozró
Ŝ
niamy nast
ę
puj
ą
ce typy filtrów aktywnych drugiego rz
ę
du:
-
Q = 0.7071 - filtr Butterworth’a,
-
Q = 0.9487 - filtr Chebysheva 0.5dB,
-
Q = 0.5 - filtr o tłumieniu krytycznym Bessel’a.
Amplitudowe i fazowe charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowe filtrów przedstawia rysunek 2.
10
2
10
3
10
4
10
5
-40
-30
-20
-10
0
f [Hz]
|H
(j
ω
)|
[
d
B
]
10
2
10
3
10
4
10
5
-200
-150
-100
-50
0
f [Hz]
∠
H
(j
ω
)
[
°
]
Butterworth Q=0.7071
Chebyshev 0.5dB Q=0.9487
Bessel Q=0.5
Rys. 2. Amplitudowa i fazowa charakterystyka cz
ę
stotliwo
ś
ciowa dolnoprzepustowego filtru aktywnego
drugiego rz
ę
du (przy zało
Ŝ
eniu
ω
0
=const
).
Laboratorium Elektroniczne WFiIS
Filtry aktywne RC
Strona 3 z 9
Celem uproszczenia projektu wprowadzi
ć
mo
Ŝ
na nast
ę
puj
ą
ce zało
Ŝ
enia:
1.
Dla zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy elementami układu:
R
1
=mR, R
2
=R, C
1
=C, C
2
=nC,
otrzymujemy:
)
1
(
1
,
2
1
0
k
mn
m
mn
Q
mn
RC
f
−
+
+
=
=
π
2.
Dla zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy elementami układu:
R
1
=mR, R
2
=R, C
1
=C, C
2
=nC, k=1
otrzymujemy:
1
,
2
1
0
+
=
=
m
mn
Q
mn
RC
f
π
3.
Dla zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy elementami układu:
R
1
=mR, R
2
=R, C
1
=C
2
=C
otrzymujemy:
mk
m
m
Q
m
RC
f
−
+
=
=
2
1
,
2
1
0
π
lub R
1
=R
2
=R, C
1
=C, C
2
=nC,
)
1
(
2
,
2
1
0
k
n
n
Q
n
RC
f
−
+
=
=
π
4.
Dla zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy elementami układu:
R
1
=R
2
=R, C
1
= C
2
=C
otrzymujemy:
k
Q
RC
f
−
=
=
3
1
,
2
1
0
π
Cechy charakterystyczne filtrów:
Zalety
Wady
Butterworth Maksymalnie płaska charakterystyka
cz
ę
stotliwo
ś
ciowa w pa
ś
mie przepustowym,
napi
ę
ciowa odpowiedz impulsowa o
mniejszym poziomie tłumienia ni
Ŝ
dla
konfiguracji Chebyshev’a
Niewielkie dzwonienie i przerzut w
napi
ę
ciowej odpowiedzi impulsowej
Bessel
Pozbawiony efektu dzwonienia, brak przerzutu
w napi
ę
ciowej odpowiedzi na wymuszenie
impulsowe
Najmniejsze tłumienie poza pasmem
przepustowym, stosunkowo wolne
narastanie odpowiedzi na napi
ę
ciowe
wymuszenie impulsowe
Chebyshev Najwi
ę
ksze tłumienie poza pasmem
przepustowym
Charakterystyczne podbicie w pa
ś
mie
przepustowym w pobli
Ŝ
u cz
ę
stotliwo
ś
ci
granicznej, du
Ŝ
e oscylacje w odpowiedzi
impulsowej
Przykładowy kształt napi
ę
ciowych odpowiedzi filtrów na wymuszenie skokiem jednostkowym
1
(t)
przedstawia rysunek 3.
Laboratorium Elektroniczne WFiIS
Filtry aktywne RC
Strona 4 z 9
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x 10
-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
czas [s]
n
a
p
ie
c
ie
[
V
]
Wejście
Chebyshev 0.5dB
Butterworth
Bessel
Rys. 3. Odpowiedz napi
ę
ciowa filtrów dolnoprzepustowych aktywnych drugiego rz
ę
du (przy zało
Ŝ
eniu
ω
0
=const
) na wymuszenie skokiem jednostkowym
1
(t).
Filtr górnoprzepustowy
Schemat filtru górnoprzepustowego II rz
ę
du w konfiguracji Sallen-Key’a przedstawia rysunek 4.
Rys. 4. Górnoprzepustowy filtr aktywny w konfiguracji Sallen-Key’a
Operatorowa funkcja przenoszenia ma posta
ć
:
1
)
(
)
(
)
(
0
2
0
2
2
0
2
+
+
=
=
ω
ω
ω
Q
s
s
s
k
s
U
s
U
s
H
wej
wyj
[4]
gdzie: k – wzmocnienie układu aktywnego,
3
4
1
R
R
k
+
=
Laboratorium Elektroniczne WFiIS
Filtry aktywne RC
Strona 5 z 9
Q
– dobro
ć
filtru,
(
)
k
C
R
C
R
C
R
C
C
R
R
Q
−
+
+
=
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
,
[5]
ω
0
– cz
ę
sto
ść
graniczna,
2
1
2
1
2
0
1
C
C
R
R
=
ω
.
[6]
Parametrem charakterystycznym funkcji przenoszenia jest cz
ę
sto
ść
graniczna
ω
0
oraz dobro
ć
Q filtru.
Amplitudowe i fazowe charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowe filtrów przedstawia rysunek 5.
10
2
10
3
10
4
10
5
-40
-30
-20
-10
0
f [Hz]
|H
(j
ω
)|
[
d
B
]
10
2
10
3
10
4
10
5
0
50
100
150
200
f [Hz]
∠
H
(j
ω
)
[
°
]
Butterworth Q=0.7071
Chebyshev 0.5dB Q=0.9487
Bessel Q=0.5
Rys. 5. Amplitudowa i fazowa charakterystyka cz
ę
stotliwo
ś
ciowa górnoprzepustowego filtru aktywnego
drugiego rz
ę
du (przy zało
Ŝ
eniu
ω
0
=const
).
Celem uproszczenia projektu wprowadzi
ć
mo
Ŝ
na nast
ę
puj
ą
ce zało
Ŝ
enia:
5.
Dla zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy elementami układu:
R
1
=mR, R
2
=R, C
1
=C, C
2
=nC,
otrzymujemy:
)
1
(
1
,
2
1
0
k
mn
n
mn
Q
mn
RC
f
−
+
+
=
=
π
6.
Dla zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy elementami układu:
R
1
=mR, R
2
=R, C
1
=C, C
2
=nC, k=1
otrzymujemy:
1
,
2
1
0
+
=
=
n
mn
Q
mn
RC
f
π
7.
Dla zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy elementami układu:
R
1
=mR, R
2
=R, C
1
=C
2
=C
Laboratorium Elektroniczne WFiIS
Filtry aktywne RC
Strona 6 z 9
otrzymujemy:
)
1
(
2
,
2
1
0
k
m
m
Q
m
RC
f
−
+
=
=
π
lub R
1
=R
2
=R, C
1
=C, C
2
=nC,
nk
n
n
Q
n
RC
f
−
+
=
=
2
1
,
2
1
0
π
8.
Dla zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy elementami układu:
R
1
=R
2
=R, C
1
= C
2
=C
otrzymujemy:
k
Q
RC
f
−
=
=
3
1
,
2
1
0
π
4. Literatura
1)
Tietze, Schenk - "Układy półprzewodnikowe".
2)
Millman, Halkias - "Układy scalone analogowe i cyfrowe".
3)
Kulka, Nadachowski - "Analogowe układy scalone i ich zastosowanie".
4)
Hank Zumbahlen – “Linear Circuit Design Handbook”
5) “
Analysis of the Sallen-Key Architecture” -
http://www.ti.com/lit/an/sloa024b/sloa024b.pdf
5. Program ćwiczenia
1.
Filtr o tłumieniu krytycznym, rz
ę
du II
a)
Wyznaczy
ć
małosygnałow
ą
charakterystyk
ę
amplitudowo-cz
ę
stotliwo
ś
ciow
ą
)
(
)
(
f
f
U
U
j
K
in
out
=
=
ω
,
poda
ć
nachylenie asymptotyczne i cz
ę
stotliwo
ść
graniczn
ą
f
g
,
b)
przerysowa
ć
odpowied
ź
napi
ę
ciow
ą
filtru na skok napi
ę
cia u
wej
(t)=
1
(t)
. Poda
ć
czas narastania.
2.
Filtr dolnoprzepustowy Butterworth’a rz
ę
du II
a)
wyznaczy
ć
małosygnałow
ą
charakterystyk
ę
amplitudowo-cz
ę
stotliwo
ś
ciow
ą
)
(
)
(
f
f
U
U
j
K
in
out
=
=
ω
,
poda
ć
nachylenie asymptotyczne i cz
ę
stotliwo
ść
graniczn
ą
f
g
,
b)
przerysowa
ć
odpowied
ź
napi
ę
ciow
ą
filtru na skok napi
ę
cia u
wej
(t)=
1
(t)
. Poda
ć
czas narastania.
3.
Filtr dolnoprzepustowy Chebysheva 0.5dB rz
ę
du II
a)
wyznaczy
ć
małosygnałow
ą
charakterystyk
ę
amplitudowo-cz
ę
stotliwo
ś
ciow
ą
)
(
)
(
f
f
U
U
j
K
in
out
=
=
ω
,
poda
ć
nachylenie asymptotyczne i cz
ę
stotliwo
ść
graniczn
ą
f
g
,
b)
przerysowa
ć
odpowied
ź
napi
ę
ciow
ą
filtru na skok napi
ę
cia u
wej
(t)=
1
(t)
. Poda
ć
czas narastania i poziom przerzutu.
4.
Filtr dolnoprzepustowy Bessel’a rz
ę
du II
a)
wyznaczy
ć
małosygnałow
ą
charakterystyk
ę
amplitudowo-cz
ę
stotliwo
ś
ciow
ą
Laboratorium Elektroniczne WFiIS
Filtry aktywne RC
Strona 7 z 9
)
(
)
(
f
f
U
U
j
K
in
out
=
=
ω
,
poda
ć
nachylenie asymptotyczne i cz
ę
stotliwo
ść
graniczn
ą
f
g
,
b)
przerysowa
ć
odpowied
ź
napi
ę
ciow
ą
filtru na skok napi
ę
cia u
wej
(t)=
1
(t)
. Poda
ć
czas narastania.
Laboratorium Elektroniczne WFiIS
Filtry aktywne RC
Strona 8 z 9
6. Schemat zestawu do ćwiczenia (nowa płytka PCB)
Filtr dolnoprzepustowy:
Zestawienie elementów:
Symbol
Warto
ść
Symbol
Warto
ść
R
23
10k
Ω
R
31
10k
Ω
R
24
10k
Ω
R
32
10k
Ω
C
23
1.6nF
C
31
3.6nF
C
24
1.6nF
C
32
1.0nF
R
25
22k
Ω
R
33
22k
Ω
R
27
10k
Ω
R
35
10k
Ω
R
28
10k
Ω
R
36
10k
Ω
C
27
2.2nF
C
35
1.2nF
C
28
1.1nF
C
36
1.2nF
R
29
22k
Ω
R
37
22k
Ω
Laboratorium Elektroniczne WFiIS
Filtry aktywne RC
Strona 9 z 9
7. Schemat zestawu do ćwiczenia (nowa płytka PCB)
Filtr górnoprzepustowy:
Zestawienie elementów:
Symbol
Warto
ść
Symbol
Warto
ść
R
23
15.8k
Ω
R
31
6.98k
Ω
R
24
15.8k
Ω
R
32
25.11k
Ω
C
23
10nF
C
31
10nF
C
24
10nF
C
32
10nF
R
25
22k
Ω
R
33
22k
Ω
R
27
11.3k
Ω
R
35
21k
Ω
R
28
22.6k
Ω
R
36
21k
Ω
C
27
10nF
C
35
10nF
C
28
10nF
C
36
10nF
R
29
22k
Ω
R
37
22k
Ω