Temat nr: Nazwisko i imię: Grupa (spec.): Uwagi: Ocena:
6 Dawid Bodo K
Akademia Górniczo-Hutnicza
im. Stanisława Staszica w Krakowie
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Katedra Mechaniki i Wibroakustyki
Mechanika analityczna i drgania
Projekt
Spis treści:
1. Schemat układu, dane projektowe& & & & & & & & & & & & & & & ..& ..& .2
2. Wyprowadzenie równań ruchu metodą Lagrange a II rodzaju& & & & ..& ....2-4
3. Przebiegi czasowe we współrzędnych wyjściowych& & & & & & & & ....& 5-12
4. Częstości drgań własnych& & & & & & & & & & & & & & & & & & ..& .13-14
5. Obliczenie amplitud drgań nietłumionych& & & & & & & & & & & & .& .14-15
6. Charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe drgań nietłumionych....& 16-18
7. Częstości drgań tłumionych& & & & & & & & & & & & & & & & & & & 19-20
8. Obliczenie amplitud drgań tłumionych& & & & & & & & & & & & & & ...21-22
9. Charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe drgań tłumionych& & ..& 22-25
10. Przebiegi czasowe dla innych wartości współczynnika tłumienia& & & & ..25-27
11. Przebiegi czasowe dla częstości rezonansowych& & & & & & & & & & & 27-29
12. Przebiegi czasowe dla częstości antyrezonansowej& & & & & & & & & & 29-30
13. Obserwacje i wnioski& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ....30
14. Załączniki
1
1. Schemat układu, dane projektowe.
2. Wyprowadzenie równań ruchu metodą Lagrange a II rodzaju.
a) określenie współrzędnych wyjściowych oraz równań więzów
Zakładając, że bryła o masie M nie może się obracać względem swojego środka
ciężkości przyjmuję następujące współrzędne wyjściowe: x1 , x2 , x3 .
Brak równań więzów dla określonych powyżej współrzędnych wyjściowych.
b) określenie liczby stopni swobody (s) oraz współrzędnych uogólnionych (q)
s=w-n=3-0=3
s- liczba stopni swobody
w- liczba współrzędnych wyjściowych
n  liczba równań więzów
Przyjmuję współrzędne uogólnione:
q1=x1 , q2=x2 , q3=x3
2
c) energia kinetyczna, potencjalna, dyssypacji energii zapisana we współrzędnych
uogólnionych
Energia kinetyczna:
Określenie odkształcenia sprężyny k3:
Energia potencjalna:
Pomijając pierwsze 3 składniki otrzymuję:
Dyssypacja energii:
d) praca wirtualna sił niepotencjalnych, siły uogólnione
3
e) pochodne cząstkowe
f) układ różniczkowych równań ruchu
4
3. Przebiegi czasowe we współrzędnych wyjściowych.
Dokonując następujących podstawień:
Zapisuję układ równań w postaci macierzowej:
Wyznaczenie wektora Z polega na obliczeniu równania:
Równanie to wyznaczam za pomocą programu Matlab przy użyciu funkcji ode45.
5
6
7
8
9
10
11
12
4. Częstości drgań własnych.
Spodziewane rozwiązanie w postaci:
Podstawiając do równań otrzymuję:
Zauważam, iż dla czynnik:
Stąd po uproszczeniu oraz skróceniu otrzymuję:
Po uporządkowaniu:
13
Układ posiada rozwiązanie, gdy wyznacznik macierzy = 0.
Obliczam wyznacznik macierzy:
Za pomocą programu Matlab oraz funkcji root() obliczam pierwiastki powyższego równania:
-758.5901
-707.1068
758.5901
707.1068
-55.1457
55.1457
Po odrzuceniu wartości ujemnych otrzymuję następujące częstości drgań własnych:
5. Obliczenie amplitudy drgań nietłumionych.
14
Obliczam amplitudy:
Częstość antyrezonansowa:
Wniosek: Układ posiada 2 częstości przy których wpada w rezonans: i
15
6. Charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe drgań nietłumionych.
16
17
18
7. Częstości drgań tłumionych.
Spodziewane rozwiązanie w postaci:
Podstawiając do równań otrzymuję:
Zauważam, iż dla czynnik:
Stąd po uproszczeniu oraz skróceniu otrzymuję:
Po uporządkowaniu:
19
Układ posiada rozwiązanie, gdy wyznacznik macierzy = 0.
Obliczam wyznacznik macierzy:
Dokonuje podstawienia:
Za pomocą programu Mathcad otrzymuje następujące wyniki:
-�758.58979402 0.13182429i
+�
ć� ��
�� ��
-�707.10677805
�� ��
-�55.13891256 0.86817575i
+�
�� ��
polyroots (v) =�
�� ��
55.13891169 0.86817566i
+�
�� ��
707.10678467
�� ��
758.58978827 0.1318243i
+�
Ł� ł�
Układ posiada następujące częstości drgań tłumionych:
20
8. Obliczenie amplitud drgań tłumionych.
Obliczam amplitudy drgań tłumionych:
21
9. Charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe drgań tłumionych.
22
23
24
10. Przebiegi czasowe dla innych wielkości współczynnika tłumienia.
b=0 [Ns/m]
25
b=100 [Ns/m]
26
11. Przebiegi czasowe dla częstości rezonansowych.
27
28
12. Przebiegi czasowe dla częstości antyrezonansowej.
29
13. Obserwacje i wnioski:
Badany układ posiada dwie częstości przy których wpada w rezonans oraz jedną częstość
antyrezonansową przy której amplituda drgań masy M dąży do zera. Dla zadanych wartości
częstości wymuszeń oraz wartości współczynników sprężystości sprężyn oraz współczynnika
tłumienia ruch układu ustala się już po 3 sekundach i drga z amplitudami nie
przekraczającymi 15 cm.
Wartość współczynnika tłumienia ma wpływ na postać ruchu wszystkich mas. Dla
współczynnika tłumienia b=40 [Ns/m] masy drgają sinusoidalnie po 3 sekundach, natomiast
dla współczynnika tłumienia b=0 drgania te nie mają postaci czystej sinusoidy.
30
Załączniki: (funkcja ode45)
function dx=funodebodzio(t,x)
%dane
M=20; m=1; k1=70000; k2=1000000; k3=2000; b=10;
Fo=1000; l=1; w=10;
%definiowanie macierzy zmiennych
v1=x(1);
v2=x(2);
v3=x(3);
x1=x(4);
x2=x(5);
x3=x(6);
% definicja macierzy M
Ma=[M,0,0,0,0,0;
0,2*m,0,0,0,0;
0,0,m,0,0,0;
0,0,0,1,0,0;
0,0,0,0,1,0;
0,0,0,0,0,1];
% difinicja macierzy
Q=[Fo*sin(w*t)-k1*x1+k2*(x2-x1)+(k2/2)*(x3-x1)-b*v1;
-k2*(x2-x1)-k3*(x2-x3)*(1-(l/sqrt(l^2+(x2-x3)^2)));
-(k2/2)*(x3-x1)+k3*(x2-x3)*(1-(l/sqrt(l^2+(x2-x3)^2)));
v1;
v2;
v3];
dx=inv(Ma)*Q;
clc;clear all;
czas=0:0.0001:20;
[T,Y]=ode45('funodebodzio',czas,[0,0,0,0,0,0]);
%wykresy
V1=figure;
plot(T,Y(:,1))
xlabel('czas [s]');
ylabel('v1 [m/s]');
V2=figure;
plot(T,Y(:,2))
xlabel('czas [s]');
ylabel('v2 [m/s]');
V3=figure;
plot(T,Y(:,3))
xlabel('czas [s]');
ylabel('v3 [m/s)');
X=figure;
subplot(3,1,1)
plot(T,Y(:,4))
xlabel('czas [s]');
ylabel('x1 [m]');
subplot(3,1,2)
plot(T,Y(:,5))
xlabel('czas [s]');
ylabel('x2 [m]');
subplot(3,1,3)
plot(T,Y(:,6))
xlabel('czas [s]');
ylabel('x3 [m]');
31