Próbny arkusz maturalny z matematyki – Poziom rozszerzony

Arkusz nr 2

Zadanie 1 (5 pkt.)

Wukres funkcji homograficznej

można otrzymać przesuwając wykres funkcji

, a dziedzina funkcji jest tym samym zbiorem co zbiór jej wartości. Wyznacz

współczynniki

i

Zadanie 2 (4 pkt.)

Długości boków prostokąta ABCD spełniają warunki:

|| || i || . Na boku

CD wybrano punkty E i F w ten sposób że

|| || ||. Punkt G jest takim

punktem odcinka AE, że

||: || : . Oblicz długość boku AD prostokąta, dla której

pole trójkąta FGB jest największe.

Zadanie 3 (5 pkt.)

Rozwiąż równanie:

√

w przedziale ∈ !, " #.

Zadanie 4 (5 pkt.)

W trójkącie równoramiennym ABC, gdzie

|$| |$|, podstawa ma długość 6. Punkt P

jest punktem przecięcia wysokości trójkąta wychodzących z wierzchołków A i B. Oblicz
pole tego trójkąta, jeżeli

|%| &

Zadanie 5 (6 pkt.)

Ciągi

, , i ' , ' , ' są ciągami geometrycznymi o wyrazach dodatnich, a

ciąg

, , jest ciągiem arytmetycznym. Wyznacz liczby. , , .

Zadanie 6 (4 pkt.)

Udowodnij, że suma długości wysokości ścian bocznych ostrosłupa pięciokątnego jest nie
większa niż suma długości jego krawędzi bocznych.

Zadanie 7 (6 pkt.)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
&

&

&(

&( ) ! ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek:

&

&

&

&

&

'

*

(.

Zadanie 8 (5 pkt.)

O zdarzeniach losowych A i B wiadomo, że

% ∪ $ !, ,, % ∩ $ !, ,

% ∪ $

.

!, ). Oblicz %

.

∪ $.

Zadanie 9 (5 pkt.)

Punkt

/, √0 jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC. Bok BC zawarty jest

w prostej o równaniu

1 √ ' √. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C trójkąta.

Zadanie 10 (5 pkt.)

Trzy wychodzące z jednego wierzchołka krawędzie równoległościanu są równe a, b i c.
Krawędzie a i b są prostopadłe, a krawędź c tworzy z każdą z nich kąt ostry α. Oblicz
objętość równoległościanu.

Zad.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Max. 5

4

5

5

6

4

6

5

5

5

Pkt.

SUMA: ____/50 pkt. = ______%

Zadania

Zadania

Zadania

Zadania pochodzą z portalu

pochodzą z portalu

pochodzą z portalu

pochodzą z portalu

www.zadania.info

www.zadania.info

www.zadania.info

www.zadania.info