Notacja mechaników
Symbol nabla może być przedstawiony w notacji wektorowej:
" " "
" = , , .
"x "y "z
Wtedy np. gradient jest formalnie pomnożeniem tego wektora przez funkcję (skalar) z prawej strony:
" " " "f "f "f
"f = , , f = , , .
"x "y "z "x "y "z
Dywergencja pola wektorowego v = (v1, v2, v3) to funkcja
"v1 "v2 "v3
div v = + + ,
"x "y "z
a jego rotacja to pole wektorowe
"v3 "v2 "v1 "v3 "v2 "v1
rot v = - , - , - .
"y "z "z "x "x "y
1. Udowodnić zależności
(a) " ć% v = div v (b) " × v = rot v
(c) div(rot f) = 0 (d) div("f) = (" ć% ")f = "f
(e) rot("f) = 0 (f) rot(rot v) = "(div v) - "v
[Rachunek wektorowy w R3] Stosujemy tzw. konwencjÄ™ sumacyjnÄ… Einsteina, tzn. nie piszemy znaku
sumy oraz sumujemy po wskaz
nikach, które się powtarzają:
3
aibi = aibi.
i=1
Ponadto, jeśli jeden ze wskaz
ników nie ma  pary , to traktujemy go tak jakby był sumowany z wersorami
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), tzn.
vk = vkek = (v1, v2, v3).
Zatem vk jest tak naprawdę wektorem (v1, v2, v3), a np. vkvk jest liczbą  długością tego wektora podniesioną
3
do kwadratu: vkvk = vkvk = |v|2.
k=1
Wprowadzamy deltÄ™ Kroneckera:
1, gdy i = j
´ij =
0, gdy i = j

Za pomocą tego symbolu możemy np.  wyłuskać k-tą wsółrzędną wektora v:
3
vk = vi´ik = vi´ik.
i=1
Pożyteczne jest także wprowadzenie symbolu Levi-Civita:
Å„Å‚
+1, gdy (i, j, k) " {(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)}
òÅ‚
µijk = -1, gdy (i, j, k) " {(1, 3, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 3)}
ół
0, w pozostałych przypadkach
Zauważmy, że µijk = 0 dokÅ‚adnie wtedy, gdy któreÅ› dwa z trzech wskaz
ników i, j, k są takie same. Ponadto
zachodzÄ… wzory µijk = µjki = µkij = -µikj.
Symbol Levi-Civita pozwala na zgrabne zapisanie wyznacznika:
a1 a2 a3
b1 b2 b3 = µijkaibjck.
c1 c2 c3
W szczególności, ponieważ iloczyn wektorowy jest specjalnego rodzaju wyznacznikiem, mamy wzór
e1 e2 e3
u × v = u1 u2 u3 = µijkuivjek = µijkuivj.
v1 v2 v3
Zachodzi ważny wzór, wiążący symbole Levi-Civita i Kroneckera:
µijkµmnk = ´im´jn - ´in´jm
(zgodnie z konwencją sumacyjną, po lewej stronie powyższej równości sumujemy po k, a pozostałe wskaz
niki
siÄ™ nie zmieniajÄ…).
2. Udowodnić:
(a) u ć% v = uivi (b) |u|2 = u ć% u
(c) u × u = 0 (d) u × v = -v × u
(e) (u × v) ć% u = 0 (f) u × (u × v) = (u ć% v)u - |u|2v
u1 u2 u3
(g) v1 v2 v3 = (u × v) ć% w. (h) u × (v × w) = (u ć% w) ć% v - (u ć% v) ć% w
w1 w2 w3
(i) (u × v) ć% (w × y) = (u ć% w)(v ć% y) - (v ć% w)(u ć% y)
(j) (u × v) × (w × y) = (u ć% (v × y))w - (u ć% (v × w))y
[ Notacja mechaników ] Podobnie jak dla wektorów, wprowadzimy uproszczoną notację dla pochodnych
cząstkowych. Niech f = f(x1, x2, x3) będzie funkcą trzech zmiennych. Pochodne cząstkowe będziemy pisali
po przecinku:
"f
f,i = ,
"xi
"f
czyli f,1 = itd. W szczególności, stosując konwencję sumacyjną, możemy zapisać gradient funkcji w
"x1
prostej postaci:
"f = f,kek = f,k.
Podobnie jeśli mamy do czynienia z polem wektorowym v = v(x1, x2, x3) = vk(x1, x2, x3)ek = vk(x1, x2, x3),
to możemy zastosować powyższą notację do każdej z jego składowych:
"vk
k
v,i = .
"xi
i
Dzięki konwencji sumacyjnej możemy np. w prosty sposób zapisać dywergencję pola v jako div v = v,i, a
i
także jego rotacjÄ™ jako rot v = µijkv,j.
3. Udowodnić wszystkie zależności z zad. 1, korzystając z powyższej notacji.