Reguła de l'Hospitala  Wikipedia, wolna encyklopedia http://pl.wikipedia.org/wiki/Reguła_de_l'Hospitala
Reguła de l'Hospitala [edytuj]
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
ReguÅ‚a de l'Hospitala lub de l'Hôpitala (twierdzenie de l'Hospitala lub de l'Hôpitala) 
twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego pozwalające wyznaczać granice tzw. wyrażeń
nieokreślonych.
Reguła ta została odkryta przez Jana Bernoulliego, zaś opublikowana przez jego ucznia
Guillaume'a François Antoine'a markiza de l'Hospital[1]. W 1696 Guillaume de l'Hospital wydaÅ‚
pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego l'Analyse des Infiniment Petits pour
l'Intelligence des Lignes Courbes, w którym dyskutowane tu twierdzenie było zawarte. De
l'Hospital nigdy nie twierdził, że jest on autorem tego twierdzenia, niemniej jednak nazwa
Reguła de l'Hospitala jest powszechnie przyjęta.
Spis treści
1 Reguła l'Hospitala
1.1 Wersja podstawowa
1.2 Wersja dla granic niewłaściwych
1.3 Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych
2 Zastosowania
3 Zobacz też
4 Bibliografia
5 Przypisy
Reguła l'Hospitala [edytuj]
Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:
Jeżeli funkcje i są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt oraz
1. ,
2. ,
lub
1. ,
2. ,
oraz istnieją (skończone) pochodne i , przy czym , wówczas
1 z 4 2013-05-02 12:31
Reguła de l'Hospitala  Wikipedia, wolna encyklopedia http://pl.wikipedia.org/wiki/Reguła_de_l'Hospitala
.
Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji. Dla przykładu
.
Często zdarza się jednak, że funkcje i nie są określone w punkcie jednak ich iloraz ma w
tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie zwane regułą
l'Hospitala:
Wersja podstawowa [edytuj]
Niech funkcje i będą określone w przedziale oraz
1. ,
2. ,
lub
1. ,
2. ,
oraz istnieją (skończone) pochodne i w przedziale , przy czym dla
. Wówczas, jeśli istnieje granica
,
to wtedy również
.
Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.
Wersja dla granic niewłaściwych [edytuj]
Niech funkcje i będą określone w przedziale oraz
1. ,
2. ,
lub
2 z 4 2013-05-02 12:31
Reguła de l'Hospitala  Wikipedia, wolna encyklopedia http://pl.wikipedia.org/wiki/Reguła_de_l'Hospitala
1. ,
2. ,
oraz istnieją (skończone) pochodne i w przedziale , przy czym dla
. Wówczas, jeśli istnieje granica
,
to wtedy również
.
Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy .
Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych [edytuj]
Jeżeli funkcje i są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt oraz
1. w przedziale istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do włącznie funkcji
i ,
2. , , oraz
,
3. dla ,
wówczas
.
Zastosowania [edytuj]
Dla niektórych funkcji próba znalezienia ich granicy w pewnym punkcie stosując
podstawienie wartości x powoduje, że dochodzimy do wyrażenia nieoznaczonego:
W takim przypadku stosujemy regułę de l'Hospitala zamieniając licznik oraz mianownik
wyrażenia na ich pochodne:
Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy obliczaniu granic funkcji. Może się jednak
3 z 4 2013-05-02 12:31
Reguła de l'Hospitala  Wikipedia, wolna encyklopedia http://pl.wikipedia.org/wiki/Reguła_de_l'Hospitala
zdarzyć, że granica ilorazu pochodnych nie istnieje, a mimo to istnieje granica ilorazu
funkcji.
Niekiedy należy obliczyć granice ilorazu kilku kolejnych pochodnych, aby uzyskać wynik.
Zobacz też [edytuj]
granica funkcji
pochodna funkcji
symbol nieoznaczony
twierdzenie Stolza
Bibliografia [edytuj]
Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1. Warszawa:
PWN, 1966.
Przypisy
1. Ze wzglÄ™du na zmiany pisowni francuskiej nazwisko de l'Hospital można również pisać "l'Hôpital" bez
(niemego)  s , za to z charakterystycznym haczykiem zwanym cirkumfleksem
y
ródło  http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Reguła_de_l%27Hospitala&oldid=35075051
Kategorie: Pochodne Granice
Tekst udostępniany na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych
warunkach (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.pl), z możliwością
obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o warunkach
korzystania (http://wikimediafoundation.org/wiki/Warunki_korzystania).
4 z 4 2013-05-02 12:31