REGUA
A DE L HOSPITALA
0, "
Symbole nieoznaczone: , 0Å"", " - ", 0", 1", 00, "0
0 "
Niech f , g " C1(a,b) , tzn. f i g są ciągłe razem z pierwszą pochodną na przedziale (a,b).
H
0 f (x) f '(x)
" lim = lim
xa xa
0 g(x) g'(x)
H H H
x - sin x 1- cos x sin x cos x 1
Przykład: lim = lim = lim = lim =
x0 x0
x3 x0 3x2 x0 6x 6 6
H
" f (x) f '(x)
" lim = lim
xa xa
" g(x) g'(x)
H
x2 H 2x 2
Przykład: lim = lim = lim = 0
x" x" x"
2x 2x Å" ln 2 2x Å" ln 2 Å" ln 2
f (x)
" 0 Å" " lim f (x) Å" g(x) = lim
xa xa 1
g(x)
g(x)
lub lim f (x) Å" g(x) = lim
xa xa 1
f (x)
0 "
Dalej korzystamy z reguły de l Hospitala dla nieoznaczoności typu lub
0 "
1
H
ln x x3 x2
x
PrzykÅ‚ad: lim x2 Å" ln x = lim = lim = lim - = lim - = 0
x0 x0 1 x0 2 x0 x0
2x 2
-
x2 x3
Arkadiusz Lisak 1
1 1
ëÅ‚ öÅ‚
-
ìÅ‚ ÷Å‚
1 1
g(x) f (x)
÷Å‚
" " - " lim( f (x) - g(x)) = limìÅ‚ - = lim
xa xaìÅ‚ 1 1 ÷Å‚ xa 1 1
Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
f (x) g(x) f (x) g(x)
íÅ‚ Å‚Å‚
0
Dalej korzystamy z reguły de l Hospitala dla nieoznaczoności typu
0
Przykład:
1
ln x + x - 1
H H
x 1 x Å" ln x - x + 1 ln x
öÅ‚
x
limëÅ‚ - ÷Å‚
= lim = lim = lim =
ìÅ‚
x1 x1 x1
1
x - 1 ln x (x - 1)ln x
íÅ‚ Å‚Å‚
ln x + (x - 1)1 x1 ln x + 1 -
x x
1 1
x2 x 1
x x
= lim = lim = lim = lim =
x1 x1 x1 x1
1 1 x + 1
x(1 + x) 1 + x 2
+
x
x2 x2
Przy nieoznaczonościach typu 0" , 1" , 00 , "0 stosujemy następujące
przekształcenie
g ( x)
f (x)g(x) = eln f (x) = eg(x) ln f (x) .
PrzechodzÄ…c z granica do wykÅ‚adnika otrzymujemy typ granicy " Å" " lub 0 Å" " .
Arkadiusz Lisak 2