WYKA
AD XI
Reguła de l Hospitala
0 "
, , " Å"0, " - ", "0, 00,1"
Symbole nieoznaczone:
0 "
0
1. Symbol nieoznaczony
0
f (x)
Mówimy, że iloraz funkcji w otoczeniu punktu
g(x)
0
x=a jest wyrażeniem nieoznaczonym postaci , jeżeli
0
lim f (x)= 0 oraz lim g(x)= 0
xa xa
1
Reguła de l Hospitala mówi, że
f (x)
Granica ilorazu dwóch funkcji dążących do zera
g(x)
przy xa i majÄ…cych pierwsze pochodne w otoczeniu
punktu x=a jest równa granicy ilorazu pochodnych tych
funkcji przy xa, jeśli granica ta istnieje, tzn.
2
f (x) f (x)
lim = lim
xa xa
2
g(x) g (x)
2
Przykład 1.
sin x sin2 x
lim lim
Obliczyć granice funkcji: i
x0 x0
x 2x2
Ponieważ liczniki i mianowniki obydwu funkcji dążą do
zera przy x0, do obliczenia granicy wykorzystamy
regułę de l Hospitala:
0
0
sin x cos x 1
lim = lim = = 1
x0 x0
x 1 1
0 0
0 0
sin2 x 2sin x cos x sin 2x 2cos 2x 1
lim = lim = lim = lim =
x0 x0 x0 x0
2x2 4x 4x 4 2
3
"
2. Symbol nieoznaczony
"
f (x)
Mówimy, że iloraz funkcji w otoczeniu punktu
g(x)
"
x=a jest wyrażeniem nieoznaczonym postaci , jeżeli
"
lim f (x)= " oraz lim g(x)= "
xa xa
Reguła de l Hospitala mówi, że:
f (x)
Granica ilorazu dwóch funkcji dążących do
g(x)
nieskończoności przy xa i mających pierwsze pochodne
w otoczeniu punktu x=a jest równa granicy ilorazu
pochodnych tych funkcji przy xa, jeśli granica ta istnieje,
"
tzn.
"
2
f (x) f (x)
lim = lim
4
xa xa
2
g(x) g (x)
Przykład 2.
ln x
lim
Obliczyć granicę funkcji:
x0+
ctgx
Ponieważ licznik i mianownik funkcji dążą do
nieskończoności przy x0+, do obliczenia granicy
wykorzystamy regułę de l Hospitala:
1
" 0
" 0
ln x sin2 x 2sin x cos x
x
lim = lim = - lim =- lim = 0
x0+ x0+ 1 x0+ x0+
ctgx x 1
-
sin2 x
5
" Å"0
3. Symbol nieoznaczony
Niech dane będą dwie funkcje f(x) i g(x) określone w
pewnym otoczeniu punktu x=a. Iloczyn f(x)g(x) nazywamy
wyrażeniem nieoznaczonym postaci "·0 w punkcie x=a,
lim f (x)= -"
jeżeli lim f (x)= +" lub lim g(x)= 0
oraz
xa xa xa
Wówczas granica iloczynu dwóch funkcji f(x)g(x)
przy xa może być przedstawiona w postaci granicy
ilorazu:
"Å"0 "Å"0
f (x) " g(x) 0
lim f (x)g(x) = lim = lim f (x)g(x) = lim =
albo
xa xa xa xa
1 1
" 0
g(x) f (x)
6
Przykład 3.
Obliczyć granicę funkcji: lim x3 ln x
x0+
Aby wykorzystać regułę de l Hospitala należy iloczyn
x3lnx zapisać w postaci ilorazu:
1 1
"
0Å""
"
ln x 1
x x
lim x3 ln x = lim = lim = lim = - lim x3 = 0
x0+ x0+ 1 x0+ x0+ 3 x0+
3
(x-3)2
-
x3 x4
7
4. Symbol nieoznaczony " - "
Niech dane będą dwie funkcje f(x) i g(x) określone w
pewnym otoczeniu punktu x=a. Granicę różnicy f(x)-g(x)
nazywamy wyrażeniem nieoznaczonym postaci "-" w
lim g(x)= "
punkcie x=a, jeżeli lim f (x)= +" oraz
xa
xa
Granicę różnicy dwóch funkcji f(x)-g(x) możemy
przedstawić w postaci granicy ilorazu:
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-
ïÅ‚ śł ïÅ‚
1 1 0
g(x) f (x)śł
lim[f (x)- g(x)]= lim - śł = lim śł =
ïÅ‚ ïÅ‚
xa xa xa
1 1 1
0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
f (x) g(x)ûÅ‚ f (x)g(x)
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
8
"0, 00,1"
5. Symbole nieoznaczone:
Niech dane będą dwie funkcje f(x) i g(x) określone w
pewnym otoczeniu punktu x=a, przy czym g(x)>0, oraz
g(x)
h(x)= f (x)
posiadające pochodne. Rozważmy wyrażenie:
Granica funkcji h(x)=f(x)g(x) przy xa może być jednym z
symboli nieoznaczonych typu: "0, 00, 1".
W celu obliczenia granicy funkcji h(x)=f(x)g(x) przy xa,
przedstawimy funkcjÄ™ h(x) w postaci:
(x )
h(x)= eln h(x) = eln f (x)g = eg(x)ln f (x)
Wówczas
ln f (x)
lim
1
xa
lim ln h(x) lim ln f (x)g (x ) lim g(x)ln f (x)
g(x)
xa xa xa
lim h(x)= e = e = e = e
9
xa
Przykład 4.
x
1
öÅ‚
Obliczyć granice funkcji: lim xx oraz
limëÅ‚1+
ìÅ‚ ÷Å‚
x"
x0+
x
íÅ‚ Å‚Å‚
lim ln xx lim xln x
x0+ x0+
lim xx = e = e = eg
x0+
1
"
"
ln x
x
g = lim x ln x = lim = lim = - lim x = 0
x"
x0+ 1 x0+ 1 x0+
-
x x2
Ostatecznie
lim xx = eg = e0 = 1
x0+
10
x 1 1
öÅ‚ öÅ‚
xlnëÅ‚1+ lim xlnëÅ‚1+
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1
öÅ‚
x"
x x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
limëÅ‚1+ = lim e = e = eg
ìÅ‚ ÷Å‚
x" x"
x
íÅ‚ Å‚Å‚
2
1 1
öÅ‚
Å"ëÅ‚1+
ìÅ‚ ÷Å‚
1
öÅ‚
1
0
x
íÅ‚ Å‚Å‚
lnëÅ‚1+
ìÅ‚ ÷Å‚
1+
0
1
öÅ‚ x
íÅ‚ Å‚Å‚
x
g = lim x lnëÅ‚1+ = lim = lim
ìÅ‚ ÷Å‚
x" x" x"
1 1
x
íÅ‚ Å‚Å‚
-
x x2
x 1 x
öÅ‚
= - lim x2 Å" Å"ëÅ‚- = lim = 1
ìÅ‚ ÷Å‚
x"
x +1 x2 Å‚Å‚ x" x +1
íÅ‚
x
1
Ostatecznie öÅ‚
limëÅ‚1+ = e1 = e
ìÅ‚ ÷Å‚
x"
x
íÅ‚ Å‚Å‚
11
Przykłady na ćwiczenia
Wykorzystując regułę de l Hospitala obliczyć następujące
granice:
1
1 1
öÅ‚
ex - e- x
x
4) limëÅ‚ -
7) lim(e2x + x)
ìÅ‚ ÷Å‚
1) lim
x0
x0
x0
x sin x
íÅ‚ Å‚Å‚
x
sin x
1 x 1
sin 5x öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
5) limëÅ‚ - 8) lim
2) lim ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x1
x0 x0+
ln x ln x x
2x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1
x - sin x
x
3) lim
6) lim(1- e2x)ctgx
9) lim x
x0
x0
x"
x2
12