Analiza matematyczna 1/Wykład 11: Reguła de l'Hospitala. Równość asymptotyczna - Studia Informatyczne

/**/






/**/











Analiza matematyczna 1/Wykład 11: Reguła de l'Hospitala. Równość asymptotyczna

From Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 1

Spis treści [schowaj]

1 Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna
2 Reguła de l'Hospitala
3 Równość asymptotyczna
4 Uwagi o efektywnym stosowaniu reguły de l'Hospitala

if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "pokaż"; var tocHideText = "schowaj"; showTocToggle(); }
[Edytuj]Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna
Dowodzimy reguły de l'Hospitala pozwalającej efektywnie
wyznaczać granice funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu
lub . Definiujemy także
symbole Landaua małe i duże. Porównujemy asymptotyczne
zachowanie wybranych funkcji (m.in. logarytmu, funkcji
wykładniczej, wielomianów) w zerze i w nieskończoności.

[Edytuj]Reguła de l'Hospitala
Efektywne wyznaczanie granic funkcji w przypadku symboli nieoznaczonych typu , często zdecydowanie upraszcza zastosowanie twierdzenia, które nazywamy regułą de l'Hospitala.


Twierdzenie 11.1.


Niech będą
funkcjami różniczkowalnymi w przedziale , przy czym
. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu
pochodnych i
jest równa . Jeśli istnieją granice funkcji


to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa
granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.




Dowód 11.1.


(szkic) Twierdzenie wykażemy w przypadku, gdy granica ilorazu
pochodnych jest skończona. Załóżmy również dodatkowo
(aby uprościć dowód), że . Niech będzie dowolną
liczbą taką, że . Z twierdzenia Cauchy'ego wynika, że dla
pewnej liczby zachodzi równość:


czyli

gdyż
Wartość zależy od wyboru . Jeśli punkt zmierza do
, punkt pośredni również będzie zmierzał do . Wobec
tego w granicy przy dostajemy równość:


Stąd jeśli istnieje granica ilorazu pochodnych w punkcie , to istnieje również granica ilorazu funkcji w tym punkcie i są one równe.


Uwaga 11.2.

Zastosowanie wzoru z tezy reguły de l'Hospitala jest możliwe po sprawdzeniu, czy licznik i mianownik ułamka spełniają wszystkie założenia podanego twierdzenia, tj.
- czy obie funkcje są różniczkowalne w sąsiedztwie punktu ,
- czy istnieje granica ilorazu pochodnych
w punkcie ,
- czy obie funkcje oraz zmierzają do zera w punkcie
.
Jeśli którekolwiek z tych założeń nie jest spełnione, nie należy
stosować reguły de l'Hospitala, gdyż nie ma żadnej gwarancji, czy
granica ilorazu pochodnych ma jakikolwiek związek z istnieniem i
wartością granicy ilorazu funkcji. Pamiętajmy także, że zapis (którego
w ramach wykładu będziemy unikać, a który jest powszechny w większości
zbiorów zadań i w podręcznikach)

należy
rozumieć w ten sposób, że uprzednio sprawdzono, iż spełnione są
założenia reguły de l'Hospitala i - wobec tego - wnioskujemy o
istnieniu granicy ilorazu funkcji i o równości tej granicy z granicą
ilorazu pochodnych.
W wersji podanej powyżej reguła de l'Hospitala stanowi narzędzie
do badania istnienia granic ilorazu w przypadku
nieoznaczoności typu . Prawdziwe jest również
następujące twierdzenie


Twierdzenie 11.3.


Niech będą
funkcjami różniczkowalnymi w przedziale , przy czym
. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu
pochodnych i
jest równa . Jeśli istnieją granice funkcji


to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa
granicy ilorazu pochodnych w tym punkcie, tj.




Dowód tego twierdzenia pomijamy. Zwróćmy jednak uwagę, że mając
narzędzie do badania istnienia granicy ilorazu funkcji
w przypadku nieoznaczoności typu ,
możemy go także użyć w przypadku nieoznaczoności typu
. Wystarczy bowiem iloraz
zastąpić odwrotnością ilorazu odwrotności funkcji , , tj.


gdyż iloraz jest symbolem typu , gdy jest symbolem nieoznaczonym typu .
Przykład 11.4.


Dla dowolnej liczby naturalnej
istnieje granica


Niech . Iloraz spełnia założenia
reguły de l'Hospitala, gdyż obie funkcje są różniczkowalne w
, iloraz stanowi symbol nieoznaczony przy i istnieje granica ilorazu pochodnych

Stąd istnieje
Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej prawdziwa jest implikacja

Skoro istnieje , to
istnieje granica ilorazu pochodnych funkcji i
, gdyż

gdy
Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje
Na mocy zasady
indukcji matematycznej granica istnieje dla dowolnej
liczby naturalnej .


Wniosek 11.5.


Jeśli jest dowolnym wielomianem,
to . Innymi
słowy: funkcja wykładnicza zmierza do nieskończoności
szybciej niż jakikolwiek wielomian.


Dowód 11.5.


Każdy wielomian jest sumą skończonej liczby jednomianów
. Skoro iloraz dowolnego jednomianu
i funkcji wykładniczej zmierza do zera, to na podstawie
twierdzenia o granicy sumy wnioskujemy, że suma ilorazów


także zmierza do zera, gdy .




Rysunek do dowodu 11.6.

Wniosek 11.6.


Dla dowolnej liczby rzeczywistej
istnieje .


Dowód 11.6.


Dla dowolnej liczby potrafimy znaleźć liczbę naturalną większą od . Wówczas dla mamy



Skoro , gdy , to na podstawie twierdzenia o trzech ciągach istnieje .
W poprzednim module rozważaliśmy funkcję



i pozostawiliśmy bez dowodu stwierdzenie, że

Uwaga 11.7.

Funkcja ma w punkcie pochodne dowolnie wysokiego rzędu równe zeru.
Dowód 11.7.


Dla iloraz różnicowy
. Z kolei dla mamy

,gdzie .
Zauważmy, że , gdy . Ponieważ istnieje granica , więc istnieje również
granica Stąd istnieje . Dla wyznaczamy pochodną, korzystając z twierdzenia o
pochodnej złożenia funkcji i dostajemy (po uwzględnieniu istnienia pochodnej w zerze)


Rozważmy następnie iloraz różnicowy .
Dla mamy ,
natomiast gdy zachodzi równość

gdzie
Podobnie jak poprzednio, ponieważ istnieje granica , więc istnieje również granica
Stąd istnieje . Wobec tego, że dla mamy , a dla dodatnich - na mocy twierdzeń o pochodnej iloczynu oraz złożenia funkcji - zachodzi równość


Wobec tego druga pochodna istnieje w każdym punkcie i wyraża się wzorem

Kontynuując rozumowanie spostrzegamy, że dla dowolnej liczby naturalnej pochodna rzędu funkcji wyraża się wzorem
gdzie jest pewnym wielomianem zmiennej (podstawiamy ). Wobec tego iloraz różnicowy w zerze pochodnej rzędu funkcji jest postaci
gdzie jest także pewnym wielomianem. Po podstawieniu za , wobec istnienia
granicy wnioskujemy o istnieniu granicy . W oczywisty sposób istnieje także granica ilorazu różnicowego przy , więc istnieje . Na mocy zasady indukcji matematycznej istnieje więc dla dowolnej liczby naturalnej .


Porównajmy zachowanie w sąsiedztwie zera oraz nieskończoności
funkcji logarytmicznej i funkcji , gdy .
Wykażemy, że

Uwaga 11.8.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej
istnieją granice


Dowód 11.8.


Obie funkcje oraz są
różniczkowalne w prawostronnym sąsiedztwie zera i istnieją
granice oraz
. Ponadto iloraz
pochodnych tych funkcji


zmierza do zera, gdy dla dowolnej liczby . Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje


Z kolei przy mamy , dla . Iloraz pochodnych tych funkcji


zmierza do zera przy dla dowolnej liczby . Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje także

Uwagę można podsumować krótko stwierdzeniem, że funkcja logarytmiczna zmierza do nieskończoności wolniej niż jakakolwiek
potęga zmiennej
o dodatnim wykładniku. W sąsiedztwie zera z kolei funkcja logarytmiczna
zmierza tak wolno do minus nieskończoności, że pomnożenie jej przez
jakąkolwiek potęgę zmiennej o dodatnim wykładniku stanowi wyrażenie zbieżne do zera.
Reguła de
l'Hospitala pozwala łatwo wykazać istnienie szeregu ważnych
granic.


Twierdzenie 11.9.


Istnieją granice
a) ,
b) ,
c) ,
d) , dla dowolnej liczby .



Dowód 11.9.


a) Funkcje i są różniczkowalne,
zmierzają do zera, gdy argument zmierza do zera i istnieje
granica ilorazu ich pochodnych , gdy . Stąd na mocy
reguły de l'Hospitala istnieje .
b) Funkcje i są różniczkowalne,
zmierzają do zera, gdy argument zmierza do zera i istnieje
granica ilorazu ich pochodnych na mocy punktu a). Stąd istnieje także .
c) Podobnie jak w obu poprzednich punktach i
są różniczkowalne, zmierzają do zera, gdy argument
zmierza do zera i istnieje granica ilorazu ich pochodnych
, gdy
. Stąd istnieje .
d) Wyrażenie stanowi przy symbol nieoznaczony typu . Przekształćmy je


Zauważmy, że wykładnik

gdyż na mocy poprzedniego punktu iloraz zmierza do jedynki, gdy zmierza do zera. Stąd wobec ciągłości funkcji wykładniczej
istnieje granica

Zwróćmy uwagę, że z faktu istnienia granicy ciągu , nie można wyciągnąć bezpośrednio wniosku o istnieniu granicy funkcji przy , stąd dowód punktu d) uwagi jest konieczny, aby stwierdzić, że granica ta istnieje.

[Edytuj]Równość asymptotyczna
Niech . Zauważmy, że istnienie skończonej granicy
ilorazu oznacza,
że w pewnym sąsiedztwie punktu funkcje oraz są w
przybliżeniu równe, gdyż zgodnie z definicją granicy funkcji w
punkcie dla dowolnej liczby istnieje

taka, że o ile
co jest równoważne nierówności


czy też


w pobliżu punktu . Podobnie, gdy , istnienie skończonej granicy oznacza, że dla dużych wartości argumentu obie funkcje oraz są w przybliżeniu równe w tym sensie, że dla potrafimy wskazać taką liczbę , że na prawo od niej, tj. w przedziale iloraz różni się od stałej o nie więcej niż . Innymi słowy dla mamy nierówność .
Niech będą funkcjami określonymi w prawo- lub lewostronnym
sąsiedztwie punktu (tj. w przedziale postaci lub
, dla pewnego , gdy jest liczbą skończoną, bądź
też w przedziale postaci , , gdy
lub ).
Definicja 11.10.


Mówimy, że funkcja jest rzędu
w punkcie , jeśli istnieje granica (prawo- lub
lewostronna) ilorazu w punkcie i jest
równa zeru.
Jeśli iloraz jest ograniczony w
pewnym prawo- lub lewostronnym sąsiedztwie punktu , to mówimy,
że funkcja jest rzędu w punkcie .
Symbole oraz nazywamy symbolami Landaua.
Czytamy je o małe oraz O duże od
.


Zauważmy, że jeśli w punkcie , to
w tym punkcie, ale nie na odwrót.

Uwaga 11.11.

Z twierdzenia o granicy sumy i granicy ilorazu dwóch funkcji wynikają natychmiast wzory stanowiące
arytmetykę symboli małe i duże.


Często spotyka się symbole małe i duże w
następujących przypadkach:


co oznacza, że iloraz zmierza
do zera przy

lub
gdy iloraz jest
ograniczony przy .

W szczególności zapis oznacza po prostu, że

zaś


piszemy, gdy różnica jest ograniczona przy .
Definicja 11.12.


Jeśli istnieją stałe takie, że
, przy (lub ), to prostą
o równaniu nazywamy asymptotą ukośną funkcji
przy zmierzających do (lub ). W szczególnym
przypadku, gdy mówimy, że funkcja ma asymptotę poziomą o równaniu .


Przypomnijmy także, że jeśli w pewnym punkcie istnieje
granica nieskończona (lub ), to mówimy, że funkcja ma w punkcie
asymptotę pionową prawostronną (odpowiednio: asymptotę pionową lewostronną) . Jeśli prosta jest zarówno
prawo- i lewostronną asymptotą pionową funkcji (czyli obie
granice jednostronne oraz istnieją i są nieskończone), to mówimy krótko, że funkcja
ma asymptotę pionową .

Uwaga 11.13.

Jeśli funkcja ma asymptotę ukośną w nieskończoności (odpowiednio: ma asymptotę ukośną w minus nieskończoności), to
i odpowiednio:
Dowód 11.13.


Jeśli , to , gdy . Stąd .

Skoro , to , przy . W przypadku asymptoty ukośnej w minus nieskończoności rozumowanie jest identyczne.




Rysunek do przykładu 11.14.(a)



Rysunek do przykładu 11.14.(b)


Przykład 11.14.


a) Funkcja ma asymptotę
poziomą przy , czyli , gdy . Nie ma asymptoty przy .
b) Funkcja ma przy asymptotę poziomą
, a przy asymptotę poziomą
. Możemy to też zapisać w postaci przy oraz przy .
c) Funkcja ma przy asymptotę
ukośną , a przy asymptotę ukośną ,
czyli przy oraz

przy .




Rysunek do przykładu 11.14.(c)



Rysunek do przykładu 11.14.(d)


d) Funkcja ma przy oraz przy
asymptotę poziomą , czyli przy .
e) Zauważmy także, że przy
oraz przy
.





Rysunek do przykładu 11.14.(e)



Rysunek do przykładu 11.14.(f)


f) Podobnie przy
oraz przy .

Z powyższych przykładów wynika, że

Uwaga 11.15.

Funkcja może mieć mieć asymptotę ukośną (lub poziomą) w
plus nieskończoności daną innym równaniem niż asymptota ukośna w
minus nieskończoności. Może też na przykład mieć wyłącznie
asymptotę w minus nieskończoności i nie mieć asymptoty w plus
nieskończoności. Stąd istnieje konieczność wyznaczenia granicy
ilorazu osobno przy i

.
Przykład 11.16.


Wykazaliśmy już, że , co można też zapisać , przy . Można też wykazać, że



Ogólnie z twierdzenia Taylora (które wykazaliśmy w poprzednim
module) wynika, że

Uwaga 11.17.

Jeśli jest funkcją razy różniczkowalną w otoczeniu punktu , to

[Edytuj]Uwagi o efektywnym stosowaniu reguły de l'Hospitala
Zwróciliśmy już uwagę na fakt, że reguła de l'Hospitala --
podobnie jak każde twierdzenie -- wymaga przed zastosowaniem tezy
sprawdzenia, czy spełnione są założenia twierdzenia. Jednak nawet
w przypadku, gdy są spełnione założenia, nie ma gwarancji, czy
rachunki w oparciu o wzór z tezy prowadzą krótką drogą do celu,
jakim jest stwierdzenie czy istnieje oraz ile wynosi granica
ilorazu dwóch funkcji.
Rozważmy następujący
Przykład 11.18.


Sprawdźmy, czy istnieje granica

Zauważamy, że iloraz funkcji oraz stanowi w punkcie symbol nieoznaczony . Obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu, więc pozostaje zbadanie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych w punkcie .
Próba wyznaczenia ilorazu pochodnych prowadzi do otrzymania ułamków
piętrowych, które nie zachęcają do dalszych przekształceń. Zauważmy
jednak, że podstawienie sprowadza zadanie do zbadania, czy istnieje granica




ilorazu dwóch wielomianów oraz
w punkcie , ponieważ
, gdy . Iloraz
stanowi symbol nieoznaczony w
punkcie . Sprawdzenie, czy istnieje granica ilorazu
pochodnych tych wielomianów jest bardzo proste

gdy
Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje granica i jest równa .


Przykład 11.19.


Zbadajmy, czy funkcja
ma asymptotę ukośną.
Stwierdzamy, że iloraz , gdy .
Następnie stajemy przed zadaniem wyznaczenia granicy różnicy
przy . Wyrażenie to stanowi symbol
nieoznaczony typu . Przekształćmy je:


Ułamek o liczniku oraz
mianowniku stanowi symbol nieoznaczony typu
przy . Licznik i mianownik są funkcjami
różniczkowalnymi w sąsiedztwie nieskończoności, tj. w przedziale
typu , dla pewnego . Jednak już próba policzenia i
uproszczenia pochodnej licznika jest dość nieprzyjemnym zadaniem.
Zauważmy jednak, że podstawienie za nowej
zmiennej, znacznie uprości rachunki. Mamy bowiem


Stwierdzenie, czy istnieje granica ilorazu przy
(ponieważ , gdy ) jest prostym zadaniem. Iloraz funkcji oraz stanowi symbol nieoznaczony typu w punkcie ; obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu. Wyznaczamy iloraz pochodnych i potrzebną granicę
gdy Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje granica ilorazu i jest równa . Stąd ostatecznie wnioskujemy, że prosta jest asymptotą ukośną funkcji przy . Podobne obliczenia pozwalają stwierdzić, że ta sama prosta jest także asymptotą funkcji przy .




Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_11:_Regu%C5%82a_de_l%27Hospitala._R%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_asymptotyczna"







if (window.isMSIE55) fixalpha();

Nawigacja


Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT





Szukaj



 



Napisz do nas

[e-mail]






Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 20:29, 15 wrz 2006; Tę stronę obejrzano 13382 razy; O Wikipedii Disclaimers





_uacct = "UA-321791-4";
urchinTracker();