Politechnika Warszawska SzNTiS w Płocku
WYKA
AD 9 - ZASTOSOWANIE POCHODNEJ FUNKCJI
1. Pochodne funkcji wyższego rzędu
Jeżeli pochodna y' = f ' (x) jest różniczkowalna dla x z przedziału (a,b) to jej pochodą nazywamy pochodą
rzędu drugiego (drugą pochodą) i zapisujemy f ' ' (x) = (f '(x))' lub
d2 f(x) df(x)
(2) (1) (0)
gdzie
f (x) =� f (x) = f''(x) =� f (x) = f(x)
dx
dx2
'
dn f(x)
(n) (n-�1)
��f ł�
pochodna rzędu n
f (x) = (x) =
�� ��
dxn
n
ć�n��
Wzór Leibniza
(f��g)(n)��(x) =
��k����f (n-�k)(x)��g(k)(x)
��
Ł� ł�
k =� 0
2. Reguła de L' Hospitala
f(x) 0 Ą�
a ) jest symbolem typu lub
jeżeli lim
g(x) 0
Ą�
x �� x0
f''(x) f(x) f''(x)
b ) istnieje granica to
lim lim = lim
g'(x) g(x) g'(x)
x �� x0 x �� x0 x �� x0
3. Twierdzenie Rolle' a i twierdzenie Lagrange' a
4. Twierdzenia o monotoniczności funkcji Jeżeli dla każdego x z przedziału (a,b)
1) f '(x) = 0, to funkcja f(x) jest stała na przedzale (a,b)
2) f '(x) > 0, to funkcja f(x) jest rosnąca na przedzale (a,b)
3) f '(x) < 0, to funkcja f(x) jest malejąca na przedzale (a,b)
5. Twierdzenie o ekstremach f : ( a , b ) �� R Funkcja f(x) jest różniczkowlna w (a,b) oraz
dla ��(�a,b)� oraz w punkcie następuje zmiana znaku pochodnej
f'' = 0 x0 x0
(�x )�
0
1) Z "+" na "-" to w x0 funkcja f(x) osiąga maksimum
2) Z "-" na "+" to w x0 funkcja f(x) osiąga minimum
6. Twierdzenie II o ekstremach f : ( a , b ) �� R Funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowlna w (a,b)
dla ��(�a,b)� oraz
f'' = 0 x0
(�x )�
0
1) f ' '(x0) > 0 to w x0 funkcja f(x) osiąga minimum
2) f ' '(x0) < 0 to w x0 funkcja f(x) osiąga maksimum
7. Twierdzenie o wklęsłości i wypukłości oraz punktach przegięcia Jeżeli dla każdego ��(�a,b)�
x
1) f ' '(x) > 0, to funkcja f(x) na przedziale (a,b) jest wypukła
2) f ' '(x) < 0, to funkcja f(x) na przedziale (a,b) jest wklęsła
3) dla x0 z przedziału (a,b) f ' ' (x0) = 0 i f ' ' (x) zmienia znak w punkcie x0 to punkt (x0,f(x0))
jest punktem przegięcia wykresu funkcji f(x)
8. Wielomian Taylora i Maclaurina Dla funkcji f(x), która w punkcie x0 ma pochodne rzędu k
(1) (2) (k)
f �� f �� f ��
(�x )� (�x )� (�x )�
0 0 0
wielomian Taylora
f(x) = f +� �� -� x0 +� �� -� x0 2 +� .... +� �� -� x0 k +� Rn(x)
(�x )� (�x )� (�x )� (�x )�
0
1!� 2!� k!�
(1) (2) (k)
f ��(0) f ��(0) f ��(0)
wielomian Maclaurina
f(x) = f(0) +� ��x +� ��x2 +� .... +� ��xk +� Rn(x)
1!� 2!� k!�
Konspekt do wykładu 9 IB + IS sem I (stacjonarne) oprac. A. Pankowski