Reguła de l'Hospitala http://www.math.edu.pl/drukuj.html
Reguła de l'Hospitala
Reguła została odkryta przez Johanna Bernoulliego, opublikowana zaś przez jego ucznia
Guillaume Francois Antoine de l'Hospital. W 1696 G. de l'Hospital wydał podręcznik
rachunku różniczkowego i całkowego l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des
Lignes Courbes, w którym twierdzenie zawarł.
Jeżeli funkcje f i g są określone w pewnym sąsiedztwie S punktu x0 oraz spełnione są
warunki:
lim f (x) = lim g(x) = 0,
x x0 x x0
istnieją pochodne f '(x) i g'(x) dla każdego x"S,
g'(x) `" 0 dla każdego x"S
f 2 (x)
istnieje granica lim (właściwa lub niewłaściwa),
x x0
g2 (x)
f (x)
to istnieje granica lim (odpowiednio właściwa lub niewłaściwa), przy czym
x x0
g(x)
f (x) f 2 (x)
lim = lim .
x x0 x x0
g(x) g2 (x)
Twierdzenie prawdziwe jest także dla lim f (x) = lim g(x) = " (-")
x x0 x x0
Twierdzenie pozostaje w mocy dla granic jednostronnych oraz dla granic funkcji, gdy x"
(x-"). Należy wtedy sąsiedztwo S punktu x0 zastąpić odpowiednio sąsiedztwem
lewostronnym, sąsiedztwem prawostronnym, przedziałem nieskończonym (-", a) bąd%3ń (a,
"), gdzie a jest dowolnÄ…, ale ustalonÄ… liczbÄ… rzeczywistÄ….
Z reguÅ‚y de l'Hospitala korzystamy przy obliczaniu granic wyrażeÅ„ nieoznaczonych typu: 0 ·
", " - ", 00, "0, 1", które w łatwy sposób dają się doprowadzić do wyrażeń nieoznaczonych
"
typu 0 i .
0 "
Dla nieoznaczonoÅ›ci typu 0 · " korzystamy z tożsamoÅ›ci
0 · "
(x) g(x)
"
f(x)g(x) = (g(f = [0], [ ].
x))-1 (f (x))-1 0 "
Dla nieoznaczoności typu " - " korzystamy z tożsamości
" - "
(g(x))-1 -(f (x))-1
f(x) - g(x) = [0].
0
(f (x)g(x))-1
Dla nieoznaczoności typu 00, "0, 1" korzystamy ze wzorów
(f(x))g(x) = eg(x)lnf(x) (f(x) > 0)
lim Ć(x)
lim eĆ(x) = ex x0 ,
x x0
1 z 2 2013-05-02 12:30
Reguła de l'Hospitala http://www.math.edu.pl/drukuj.html
a następnie przy obliczaniu granicy, jeżeli zajdzie potrzeba korzystamy z dwóch poprzednich
tożsamości.
2 z 2 2013-05-02 12:30