Wydział WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
Różniczka funkcji
Zad.1 Wyznacz różniczki funkcji:
"

x2-1 1
1.1 f(x) = + arcsin 1.2 f(x) = ln e2x + 1 - 2 arctg ex
x x
x
1.3 f(x) = ( x2 + 9 ) arctg - 3x
3
Zad.2 Oblicz, korzystając z różniczki, przybliżoną wartość wyrażenia:
"
3
2.1 ln(1, 02) 2.2 8, 12 2.3 arctg (1, 01) 2.4 e-0,05
1
"
2.5 arcsin (0, 505) 2.6
8,99
Wzór Taylora
Zad.3 Napisz wzór Taylora rzędu n dla funkcji f(x) w otoczeniu punktu x0 :
3.1 f(x) = arcsin x n = 1, x0 = 0 3.2 f(x) = x cos x n = 3, x0 = 0
3.3 f(x) = x2x n = 1, x0 = 1 3.4 f(x) = ln(x2 + x - 2) n = 2, x0 = 2
Zad.4 Napisz wzór Maclaurina dla funkcji f(x) :
1
"
4.1 f(x) = 4 sin x cos x 4.2 f(x) = e3x 4.3 f(x) =
1-x
Zad.5 Napisz wzór Taylora dla funkcji f(x) w otoczeniu punktu x0 :
Ä„ 1
5.1 f(x) = cos x x0 = 5.2 f(x) = e2x x0 = 1 5.3 f(x) = x0 = -1
2 x
Zad.6 Wielomian f(x) = x4 - 5x3 + x2 - 3x + 4 przedstaw jako sumę potęg dwumianu x - 4 .
Zad.7 Oszacuj błędy wzorów przyblożonych:
x2 x3 x4
7.1 ex H" 1 + x + + + 0 x 1
2 6 24
x3
7.2 tg x H" x + |x| 0, 1
6
"
x x2 1
7.3 1 + x H" 1 + - |x|
2 8 4
Twierdzenie Rolle a i Lagrange a
Zad.8 Sprawdz
, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle a w podanych przedziałach:
Ä„ 5Ä„
8.1 f(x) = x3 + 4x2 - 7x - 10 - 1 x 2 8.2 f(x) = ln sin x x
6 6
Ä„
8.3 f(x) = - arctg |x| - 1 x 1
4
Zad.9 Nie znajdując pochodnej funkcji f(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 4)(x - 5) oblicz ilość pierwiastków równania
f (x) = 0 i podaj przedziały, w których one leżą.
Zad.10 Sprawdz
, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Lagrange a w podanych przedziałach:
10.1 f(x) = x - x2 - 2 x 1 10.2 f(x) = arctg x 0 x 1
"
Zad.11 Zastosuj twierdzenie Lagrange a do funkcji f(x) = arctg x na przedziale -1 , 3 . Wyznacz odpowiednie
punkty.
Twierdzenie de L Hospitala
Zad.12 Oblicz granice funkcji:
arctg 2x
1 x+1
12.1 lim 12.2 lim 12.3 lim
ex-1 ln x x2+3x
x0 x" x0
x-arctg x
e3x-3x-1
"ln x
12.4 lim 12.5 lim 12.6 lim
sin2 5x x3
x2-1
x0 x0 x"
"
1-x
1-cos x x2-1+ln x e -1
12.7 lim 12.8 lim 12.9 lim
2x2 ex-e
x0 x1
x1- sin(x-1)
cos x - sin x + 1 ln sin 2x ln ln x
12.10 lim 12.11 lim 12.12 lim
sin 2x
Ä„ - cos x x
x"
x x0+ ln sin 3x
2
ex-e-x-2x ex-1-e1-x-2x+2
12.13 lim 12.14 lim
x-sin x x-1-sin(x-1)
x0 x1


1 1 1 1 1 2
12.15 lim - 12.16 lim - 12.17 lim - ctg x
x ex-1 ln x x-1 x2
x0 x1 x0

"
1 1
12.18 lim - 12.19 lim ( x - ln x )
x2 sin2 x
x0 x"
"
1
x
12.20 lim x e 12.21 lim x ln x 12.22 lim tg x · ln x
x0+ x0+ x0+

1
2
Ä„
x2
12.23 lim tg x · e 12.24 lim x2 e-x 12.25 lim x - tg x
2
Ä„ +
x"
x0- x
2
12.26 lim x2 ln x 12.27 lim x ex 12.28 lim x arctg x
x-" x"
x0+
x
2
1
12.29 lim xx 12.30 lim 1 + 12.31 lim (tg x)tg 2x
x0
x0+ x0+ x
1
sin x 1
1 sin x
x x2
12.32 lim 12.33 lim (ln x) 12.34 lim
x
x" x0
x0+ x
1
1

1
x
arctg x (1+x) - e
x2
x
12.35 lim x 12.36 lim 12.37 lim
x x
x" x0 x0