Matematyka, GiK PW Semestr letni 2011/12
5. Wzór Taylora
1. Sprawdzić, czy dana funkcja spełnia równanie różniczkowe:
1
(a) y = ln , xy + 1 = ex,
1+x
arcsin x
"
(b) y = , (1 - x2)y - xy - 1 = 0.
1-x2
2. Wyprowadzić wzory na pochodną funkcji odwrotnej dla funkcji: arccos x,
arsinh x, artgh x, loga x.
3. Znalez
ć asymptoty wykresu funkcji (jeśli istnieją):
2-x
(a) f(x) = x ,
2+x
8
(b) f(x) = 2x - ,
x2
ln x
(c) f(x) = ,
x
1
x
(d) f(x) = xe ,
(e) f(x) = x arctg x,
1
(f) f(x) = x ln e + ,
x
x
(g) f(x) = 2x + arctg ,
2
x3
(h) f(x) = , a > 0.
x-a
4. Wielomian w(x) = x3 + 3x2 - 2x + 4 rozłożyć ze wzoru Taylora według potęg
dwumianu (x + 2).
5. Przedstawić za pomocą wzoru Taylora funkcję:
"
(a) f(x) = x, x0 = 4,
(b) f(x) = cos x, x0 = 0,
(c) f(x) = x2ex, x0 = 0.
6. Udowodnić, że:
x3
(a) x - < sin x dla x > 0,
6
x2
(b) cosh x e" 1 + .
2
x2 x3 x4
7. Posługując się wzorem przybliżonym ln(1 + x) H" x - + - , znalez
ć
3 3 4
3
ln i ocenić błąd przybliżenia.
2
Matematyka, GiK PW Semestr letni 2011/12
x3
8. Wyjaśnić pochodzenie wzoru przybliżonego arcsin x H" x - i ocenić jego
6
1
dokładnośc dla x " 0, .
2
"
3
9. Obliczyć za pomocą różniczki rzędu 1 przybliżenia: 8, 04, arcsin(0, 54),
sin 31ć%. Za pomocą wzoru Taylora oszacować błąd tego przybliżenia.
"
x x2
10. Wykazać, że" |x| < 0, 5 wzór przybliżony 1 + x H" 1 + - daje
dla
2 8
1
przybliżenie 1 + x z błędem nie większym niż |x|3.
2