Chemia - Zestaw nr 6. Własności funkcji różniczkowalnych.
Twierdzenie de L Hospitala. Badanie funkcji.
" Twierdzenie Rolle a.
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale a, b i istnieje f (x) na przedziale (a, b) oraz f(a) = f(b),
to istnieje taki punkt c " (a, b), że f (c) = 0.
" Twierdzenie Lagrange a.
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym o końcach x0 i x oraz ma pierwszą pochodną
wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący między x0 i x, że
f(x) - f(x0) = f (c)(x - x0).
" Twierdzenie i wzór Taylora.
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do rzędu (n - 1) włącznie na przedziale domkniętym o końcach
x0 i x oraz pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący w przedziale
otwartym o końcach x0 i x (tzn. c = x0 + Ń(x - x0) dla pewnego Ń " (0; 1)), że
n-1

f(k)(x0) f(n)(c)
f(x) = (x - x0)k + (x - x0)n.
k! n!
k=0
" Twierdzenie de L Hospitala. Jeżeli
f(x) f (x)
1. funkcje i są określone w pewnym sąsiedztwie punktu x0 (x0 może być ą");
g(x) g (x)
2. lim f(x) = lim g(x) = 0 albo lim f(x) = lim g(x) = " (-" lub +")
xx0 xx0 xx0 xx0
f (x)
3. istnieje lim (skończona lub nieskończona),
xx0
g (x)
f(x) f(x) f (x)
to istnieje także lim , przy czym lim = lim . (Uwaga: Granica po lewej stronie tej
xx0 xx0 xx0
g(x) g(x) g (x)
równości może istnieć nawet wtedy, gdy granica po prawej stronie nie istnieje.)
" Prosta y = mx + n jest asymptotą ukośną lewostronną (odpowiednio prawostronną) krzywej
f(x)
y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice lim = m i lim [f(x) - mx] = n
x-" x-"
x
f(x)
(odpowiednio lim = m i lim [f(x) - mx] = n)
x+" x+"
x
1) Wiadomo, że f jest ciągła w a, b i różniczkowalna w (a, b) oraz że f jest ciągła i różniczkowalna w
(a, b). Ponadto istnieje punkt x0 " (a, b), taki że f(a) = f(x0) = f(b). Wykazać, że wtedy istnieje punkt
c " (a, b), taki że f (c) = 0.
2) Policzyć, stosując twierdzenie de L Hospitala, granice funkcji:
ln(1 + x) + (1 + x) sin x + cos x - 2x - 1 ex - e-x + 3x ln sin x
a0) lim ; a) lim ; b) lim ;
x0 x0 x0+
x3 x ln sin 2x
(x-2)
1 1 1
c) lim - ; d) lim (x - 1) ln(x - 1); e) lim (x - 1)(x-1); f) lim ln ;
x0 x1+ x1+ x2+ - 2
x ex - 1 x

2
g) lim (tg x)tg 2x; h) lim (Ą/2 - arc tg x)1/ln x; i) lim (x + 2)e1/x - x ; j) lim xx ;
x" x" x0+
xĄ/4
x x
1 - cos x2 2 1
k) lim ; l) lim [ln(x + 1)]x; m) lim arc tg x ; n) lim ln (zob. f));
x0 x0 x" x0+
x2 sin x2 Ą x
"
1/x2
arc sin x x + ln( 1 + x2 - x)
o) lim ln x ln(1 - x); p) lim ; q) lim .
x1- x0 x0
x x3
1
3) Znalez
ć asymptoty wykresów funkcji:

1 1 1 x2 - x + 4
x
a) f(x) = xe ; b) f(x) = x ln e + ; c) f(x) = ; d) f(x) = .
x ex - 1 2x + 2
4) Znalez
ć przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji:
1 ln x
"
a) f(x) = xe-x; b) f(x) = c) f(x) = ; d) f(x) = ;
1 - x2 x
2
= x - x3 - 4 ln |x|;
3
x3
e) f(x) = earc tg x; f) f(x) = ln (1 + x2); g) f(x) = ; h) f(x) = x2 ln x.
x2 + 12
5) Zbadać przebieg zmienności funkcji:
"
x 2x3
3
a) f(x) = 2x2 - x3; b) f(x) = " ; c) f(x) = |x|1/x; d) f(x) =
3
x2 - 4
x2 - 1
1

2
-
"
2 - x e1/(1-x )
x + 1
e) f(x) = ; f) f(x) = 8x2 - x4; g) f(x) = ; h) f(x) = xe .
1 + x 1 + x2
Uwaga: w podpunktach g) i h) badać tylko pierwszą pochodną.

sin x
dla x = 0

6) Dla chętnych: dla funkcji f, danej wzorem f(x) = zbadać: a) ciągłość w
x
1 dla x = 0
punkcie 0; b) istnienie pochodnej w punkcie 0; c) ciągłość tej pochodnej w punkcie 0. (Stosować tw. de
L Hospitala.)
2