BADANIE FUNKCJI.
1. Określić przedziały monotoniczności dla funkcji.
x3 8 x2 3
(a) f (x) x5 x3 x (b) f (x) 4x x2 (c) f (x) (d) f (x)
x 2
x2 4
(e) f (x) 1 2x2 1 x4 (f) f (x) x 1 ex (g) f (x) x 8 x2 (h)
f (x) 2x x2
4
2. Określić ekstrema funkcji
(a) f (x) 3x4 8x3 18x2 (b) f (x) 2x3 15x2 24 x 8
(c) f (x) x4 5x2 6 (d) f (x) x5 5x3 10 x
1
(e) f (x) 4x
x
3. Określić kształt wykresu (wklęsłość, wypukłość, punkty przegięcia)
x3
(a) f (x) x4 24 x2 4x (b) f (x) (c) f (x) x5 30 x3 4x
1 x2
2
(d) f (x) x4 5x2 (e) f (x) 5x (f) f (x) 2x6 25x4 120 x2 8x
x
4. Określić asymptoty dla funkcji.
1 4x x3 2x2 5 1 x
(a) f (x) (b) f (x) (c) f (x) 2x (d) f (x)
1 2x 1 x
x2 1 (x 3)2
1
x4 x 2
(e) f (x) (f) f (x) 2 ex (g) f (x) e (h) f (x) x2 1
2 x3
5. Znalez
ć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale domkniętym.
1
(a) f (x) x 2 x dla x 0,9 (b) f (x) x2 ln x dla x ,e
e
x
ln x
(c) f (x) dla x 1,e3 (d) f (x) x2e dla x 2,1
x
(e) f (x) 2sin x cos2x dla x 0,2
6. Zbadać funkcję i narysować wykres.
x2
ln x x2 3
(a) f (x) xex (b) f (x) (c) f (x) (d) f (x) xe
x
x 2
1
x
x 12
(e) f (x) xe (f) f (x) 2 (g) f (x) x2e
x2 4
Odpowiedzi.
1.(a) f '(x) 5x4 3x2 1, rośnie dla x R
(b) f '(x) 2(2 x) , rośnie dla x 2, maleje dla x 2
x(x 2)2(x 4)
(c) f '(x) , rośnie dla x 4 , 0 x 2 , x 2 ;
(x2 4)2
maleje dla 4 x 2 , 2 x 0
(x 1)(x 3)
(d) f '(x) , rośnie dla x 1, x 3; maleje dla 1 x 2 , 2 x 3
(x 2)2
(e) f '(x) x(2 x)(2 x) , rośnie dla x 2 , 0 x 2 ; maleje dla 2 x 0 , x 2
(f) f '(x) 1 ex , rośnie dla x 0, maleje dla x 0
2(x 2)(x 2)
(g) f '(x) , rośnie dla 2 x 2 ; maleje dla 2 2 x 2 , 2 x 2 2
8 x2
x 1
(h) f '(x) , rośnie dla x 0, maleje dla x 2
2
2x x
2.(a) f '(x) 12x(x 3)(x 1) , minimum dla x 3 , x 1, maksimum dla x 0
(b) f '(x) 6(x 1)(x 4) , minimum dla x 4 , maksimum dla x 1
5 5 5 5
(c) f '(x) 4x(x )(x ) , minimum dla x , x , maksimum dla x 0
2 2 2 2
(d) f '(x) 5(x 1)(x 1)(x 2)(x 2) , minimum dla x 1, x 2 ,
maksimum dla x 2 , x 1
1 1
4(x )(x )
2 2 1 1
(e) f '(x) , minimum dla x , maksimum dla x
2 2
x2
3.(a) f ''(x) 12(x 2)(x 2) , wklęsła: x 2 , x 2 , wypukła: 2 x 2 , p.p. x 2
2x(x2 3)(x 1)(x 1)
(b) f ''(x) , wklęsła: x 1`, 0 x 1,wypukła: 1 x 0 , x 1,
(1 x2)4
p.p. x 0
(c) f ''(x) 20x(x 3)(x 3) , wklęsła: x 3 , 0 x 3,wypukła: 3 x 0, x 3,
p.p. x 3 , x 0
(d) f ''(x) 2(6x2 5) , wklęsła: x R
4
(e) f ''(x) , wklęsła: x 0, wypukła: x 0, p.p. brak
x3
(f) f ''(x) 60(x 1)(x 1)(x 2)(x 2) , wklęsła: x 2 , 1 x 1, x 2 ,
wypukła: 2 x 1, 1 x 2 , p.p. x 2 , x 1
1
4.(a) x , y 2 (b) y x 2 (c) x 3, y 2x (d) x 1, prawostronna
2
3
(e) x 2 , y x (f) y 2, lewostronna (g) x 2 , prawostronna; y 1
(h) y x , lewostronna; y x , prawostronna
1 1
5.(a) f (1) 1, f (9) 3 (b) f ( ) , f (e) e2
2e
e
2
(c) f (1) 0 , f (e2 ) (d) f ( 2) 4e2 , f (0) 0
e
3
(e) f ( ) f (56 ) , f (32 ) 3
6 2
6. Rysunki na odwrocie.
 Zadanie 6.
- -2 -1 e e e
(a) (b)
y x 2
1 1
3 3
1 2 3
2 2 2 2
(c) (d)
y x 1
-1
2
2
-1
(e) (f)
2 2 2 2 2
(g)