Lista 1
Badanie przebiegu zmienności funkcji.
TEORIA
Badanie zmienności funkcji należy przeprowadzać według następującego wzoru:
1. określamy dziedzinę funkcji,
2. badamy zachowanie funkcji w krańcach określoności,
3. znajdujemy miejsca zerowe,
4. określiamy zbiory, na których funkcja jest różniczkowalna (czy istnieje f , f itd.) ,
5. badamy granice pochodnej (i być może drugiej pochodnej) na krańcach jej dziedziny,
6. znajdujemy punkty krytyczne funkcji (miejsca zerowe pochodnej),
7. badamy monotoniczność funkcji (znak pierwszej pochodnej),
8. znajdujemy ekstrema lokalne, liczymy wartości jakie funkcja przyjmuje w tych punk-
tach,
9. badamy wypukłość funkcji i punkty przegięcia, liczymy wartości w punktach przegięcia,
10. badamy asymptotykę funkcji,
11. sporządzamy wykres funkcji.
(y
ródło: "Wykład analizy matematematycznej część 1", Wojciech Kryszewski)
ZADANIA
1. Wyznaczyć dziedzinę następujących funkcji:
a. y = 1 - logx,
"
b. y = 1 - 1 - x2,
1
c. y = ,
x2-1
1
x
"
d. y = ,
x2-3x+2
e. y = logx2,
"
f. y = arcsin 2x,
"
3
1
g. y = x + - log(2x - 3),
x-2
h. y = logsinx.
2. Znalez
ć ekstrema lokalne następujących funkcji:
a. y = x3 - 2ax2 + a2x, dla a > 0,
"
b. y = x + 1 - x,
c. y = x2e-x,
"1+3x
d. y = ,
4+5x2
e. y = x - ln(1 + x),
f. y = 2x - ln(2x + 3),
g. y = sin3x,
h. y = 4arctgx - lnx,
"
5
i. y = x2 - x,
x
j. y = .
lnx
3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji:
a. y = (x - 2)5(2x + 1)4,
"
b. y = (x - 6) x,
1-x+x2
c. y = ,
1+x+x2
10
d. y = ,
4x3-9x2+6x
e. y = x - 2sinx, dla 0 x 2Ą,
"
f. y = ln(x + 1 + x2),
"
3
g. y = x - 3 x,
x
2
h. y = xe ,
i. y = ln2x + lnx,
j. y = 2sinx + cos2x, dla 0 x 2Ą.
4. Znalez
ć największe i najmniejsze wartości danych funkcji:
a. y = x4 - 2x2 + 5 w przedziale [-2, 2],
"
b. y = x + 2 x w przedziale [0, 4],
1-x+x2
c. y = w przedziale [0, 1],
1+x-x2
2
d. y = (x - 2)2x2 w przedziale [-2, 3,
1
e. y = w przedziale [-2, 1],
x2+1
f. y = x2ex w przedziale [-3, 1],
1
x
g. y = (x + 2)e w przedziale [-2, -1],
2
"
h. y = x - x w przedziale [0, 4],
Ą
i. y = sin2x - x w przedziale [-Ą; ].
2 2
5. Zbadać przedziały wypukłości/wklęsłości następujących funkcji:
a. y = x3,
b. y = xlnx,
lnx
"
c. y = ,
x
d. y = ln(1 + x2),
e. y = x4 - 6x2,
f. y = (x2 + 1)ex,
g. y = xe-4x,
2
h. y = arcsin(1-x ).
1+x2
6. Znalez
ć równania asymptot danych krzywych:
x 2
a. y = + ,
2 x
x2-3x+2
b. y = ,
x2+3x+2
1
c. y = (x + )arcctgx,
x+2
lnx
d. y = x + ,
x
1
e. y = ,
e2x-1
1
x
f. y = e - x,
"
g. y = x2 - 4x,
h. y = xarctg1
x
Ą
i. y = 4x - tgx w przedziale (-Ą, ).
2 2
7. Zbadać przebieg zmienności i narysować wykresy następującuch funkcji:
(a) y = x3 + x2 - 16x - 16,
5
(b) y = ,
2
(2
"x+1)
3
(c) y = x2ex,
x2-x-4
(d) y = ,
x-1
"
(e) y = x + 2 -x,
3
2 2
3 3
(f) y = (x + 2) - (x - 2) ,
(g) y = xe-2x,
2-x
(h) y = x ,
2+x
"
(i) y = x -x2 + 8x + 14,
"
(j) y = x2 36 - x2,
(k) y = cos2x + 2sin2x,
(l) y = sin2xcosx,
"
(m) y = 1 - cosx,
(x-3)2
(n) y = ,
4(x-1)
x3
(o) y = ,
x-2
x(x2-4)
1
(p) y = ,
2 2
(q) y = lncosx,
4x+4
(r) y = - 2,
x2
2
(s) y = e-x ,
12
(t) y = ,
x
1+3e- 2
(u) y = e-xsinx.
4