Wydział WILiŚ, Budownicto i Transport, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
Przebieg zmienności funkcji
Zad.1 Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji:
x2+2 x4 ex
1.1 f(x) = 1.2 f(x) = 1.3 f(x) =
x x3-x x+1
1
1.4 f(x) = x e-x 1.5 f(x) = ln (4 - x2) 1.6 f(x) = arctg
x2
1
1
x
1.7 f(x) = x e 1.8 f(x) = ln (1 + ex) 1.9 f(x) = arcsin
x
2
x 1
1.10 f(x) = (x2 + 2) e-x 1.11 f(x) = 1.12 f(x) = x arctg
ln x x
"
ln (3-x)
1.13 f(x) = 1 + x2 + 2x 1.14 f(x) = 1.15 f(x) = (x + 1) arctg x
x-2
x2
sin 2x x-1
x2-1
1.16 f(x) = e 1.17 f(x) = 1.18 f(x) = arccos
x 2x-1
Zad.2 Wykaz, że funkcja f(x) jest stała, oblicz tą stałą:
x Ą Ą
"
2.1 f(x) = arctg x - arcsin 2.2 f(x) = cos2 x + cos2 (x + ) - cos x cos (x + )
3 3
x2+1
Zad.3 Zbadaj monotoniczność i wyznacz ekstrema funkcji:
2
x2+2
3.1 f(x) = 3.2 f(x) = x e-x 3.3 f(x) = x ln x
x
"
3
2
3.4 f(x) = arctg x - ln (1 + x2) 3.5 f(x) = x2 3.6 f(x) =
1+cos2 x
3.7 f(x) = ln2 x + ln x 3.8 f(x) = x2 e-x 3.9 f(x) = log4 (x2 - 1)
"
2+ln x
3.10 f(x) = 3.11 f(x) = x 4x - x2 3.12 f(x) = xx
x
"
1
3
2 x
x-2
3.13 f(x) = + 3 ln 3.14 f(x) = (x - 2) e 3.15 f(x) = 2x2 - x3
x x+2
Zad.4 Zbadaj, czy funkcja f(x) = sin 2x + 4 sin x + 2x ma ekstremum w punkcie x = Ą ?
Zad.5 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji na zadanym przedziale:

"
3
5.1 f(x) = x3 - 3x + 3 x " -3, 5.2 f(x) = x - 2 x x " [0, 4]
2

1 1
5.3 f(x) = x + x " , 2 5.4 f(x) = 3|x| - x2 x " [-2, 2]
x 2
Zad.6 Wyznacz przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji:
1
x2+2
x
6.1 f(x) = 6.2 f(x) = x e 6.3 f(x) = ln(1 + x2)
x
"
3
6.4 f(x) = x arctg x 6.5 f(x) = x5 6.6 f(x) = earctg x
6.7 f(x) = ln2 x + 2 ln x 6.8 f(x) = x2 e-x 6.9 f(x) = ln (x2 - 1)
2+ln x
6.10 f(x) = 6.11 f(x) = ln2 x + x 6.12 f(x) = x2 e-x
x

"
1
3
x-2
6.13 f(x) = 4 (x - 1)5 + 20 (x - 1)3 6.14 f(x) = (x - 2) e 6.15 f(x) = (x + 2) x - 1
Zad.7 Dla jakich wartości a i b punkt A(1, 3) jest punktem przegięcia krzywej y = ax3 + bx2 ?
"
1
Zad.8 Narysuj wykres funkcji y = x ln x w otoczeniu o promieniu punktu przegięcia.
2