ELEMENTY PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Twierdzenie (warunek wystarczający monotoniczności funkcji)
Jeżeli dla każdego x0 ��(�a,b)� funkcja f spełnia warunek:
ó�
1. f (�x0)� =� 0 to f jest stała na (�a,b)�
ó�
2. f (�x0)�>� 0 to f jest rosnąca na (�a,b)�
ó�
3. f (�x0)�<� 0 to f jest malejąca na (�a,b)�
ó�
4. f (�x0)�ł� 0 to f jest niemalejąca na (�a,b)�
ó�
5. f (�x0)�Ł� 0 to f jest nierosnąca na (�a,b)�
Definicja
Funkcja f ma w punkcie x0 �� R minimum lokalne, jeżeli
$�0 "� f (�x)�ł� f (�x0)�
d� >� x��S(�x0 ,d� )�
Funkcja f ma w punkcie x0 �� R maksimum lokalne, jeżeli
$�0 "� f (�x)�Ł� f (�x0)�
d� >� x��S(�x0 ,d� )�
Funkcja f ma w punkcie x0 �� R minimum lokalne właściwe, jeżeli
$�0 "� f (�x)�>� f (�x0)�
d� >� x��S(�x0 ,d� )�
Funkcja f ma w punkcie x0 �� R maksimum lokalne właściwe, jeżeli
$�0 "� f (�x)�<� f (�x0)�
d� >� x��S(�x0 ,d� )�
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz ma w tym punkcie ekstremum lokalne
to
ó�
f (�x0)� =� 0
Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero
albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
/
1. f (x0 ) =� 0
-�
x �� S x0 ,d�
(� )�
ó�
f (�x)�>� 0
��
2. $�0�� dla każdego
+�
d� >�
ó�
f (�x)�<� 0
�� x �� S x0 ,d�
(� )�
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe.
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
/
1. f (x0 ) =� 0
-�
x �� S x0 ,d�
(� )�
ó�
f (�x)�<� 0
��
2. $�0�� dla każdego
+�
d� >�
ó�
f (�x)�>� 0
�� x �� S x0 ,d�
(� )�
to w punkcie x0 ma minimum lokalne właściwe.
 Definicja
Wykres funkcji nazywamy wypukłym, gdy każdy odcinek siecznej wykresu leży wyżej lub
pokrywa się z fragmentem wykresu położonym między punktami, przez które przechodzi
sieczna.
Wykres funkcji nazywamy wklęsłym, gdy każdy odcinek siecznej wykresu leży niżej lub
pokrywa się z fragmentem wykresu położonym między punktami, przez które przechodzi
sieczna.
Wykres funkcji nazywamy ściśle wypukłym, gdy każdy odcinek siecznej wykresu leży wyżej
niż fragment wykresu położony między punktami, przez które przechodzi sieczna.
Wykres funkcji nazywamy ściśle wklęsłym, gdy każdy odcinek siecznej wykresu leży niżej
niż fragment wykresu położony między punktami, przez które przechodzi sieczna.
Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości)
ó�ó�
Jeżeli f x >� 0 dla każdego x�� a,b , to wykres funkcji f jest ściśle wypukły na (a,b).
(� )� (� )�
ó�ó�
Jeżeli f x <� 0 dla każdego x�� a,b , to wykres funkcja f jest ściśle wklęsły na (a,b).
(� )� (� )�
Definicja
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu x0 oraz niech ma tam
pochodną. Punkt (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy gdy
wykres funkcji f jest ściśle wklęsły w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x0 i ściśle
wypukły w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu x0 albo na odwrót.
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie x0 oraz wykres funkcji f ma w tym
punkcie punkt przegięcia to
ó�ó�
f x0 =� 0
(� )�
Funkcja może mieć punkty przegięcia tylko w punktach, w których jej druga pochodna równa
się zero albo w punktach, w których jej druga pochodna nie istnieje.
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. w punkcie x0 ma pochodną właściwą albo niewłaściwą,
-�
x �� S x0 ,d�
(� )� (albo na odwrót)
ó�ó�
f (�x)�<� 0
��
2. $�0�� dla każdego
+�
d� >�
ó�ó�
f (�x)�>� 0
�� x �� S x0 ,d�
(� )�
to (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia jej wykresu.
Definicja
Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f, jeżeli
lim f (x) =� -�Ą� albo lim f (x) =�Ą�
x��a-� x��a-�
Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f, jeżeli
lim f (�x)�=� -�Ą� albo lim f (�x)�=� Ą�
x��a+� x��a+�
Prostą, która jest jednocześnie asymptotą lewostronną i prawostronną funkcji nazywamy
asymptotą pionową obustronną lub krótko asymptotą pionową tej funkcji.
31
Definicja
Prosta y =� a1x +� b1 jest asymptotą ukośną funkcji f w +Ą�, wtedy i tylko wtedy, gdy
lim[�f (�x)�-�(�a1x +� b1)�]�=� 0
x��Ą�
Prosta y =� a2x +� b2 jest asymptotą ukośną funkcji f w  Ą�, wtedy i tylko wtedy, gdy
lim [�f (�x)�-�(�a2x +� b2)�]�=� 0
x��-�Ą�
Jeżeli a1 =� 0 (albo a2 =� 0 ) w równaniu asymptoty, to asymptotę ukośną nazywamy poziomą
Twierdzenie (warunek istnienia asymptoty ukośnej)
Prosta y =� a1x +� b1 jest asymptotą ukośną funkcji f w +Ą�, wtedy i tylko wtedy, gdy
f (x)
a1 =� lim oraz b1 =� lim f (x) -� a1x
(� )�
x��Ą� x��Ą�
x
Prosta y =� a2x +� b2 jest asymptotą ukośną funkcji f w  Ą�, wtedy i tylko wtedy, gdy
f (�x)� oraz b2 =� lim (� f (�x)�-� a2x)�
a2 =� lim
x��-�Ą� x��-�Ą�
x
Twierdzenie (warunek istnienia asymptot poziomych)
Prosta y =� b1 jest asymptotą poziomą funkcji f w +Ą�, wtedy i tylko wtedy, gdy
lim f (x) =� b1
x��Ą�
Prosta y =� b2 jest asymptotą poziomą funkcji f w  Ą�, wtedy i tylko wtedy, gdy
lim f (�x)� =� b2
x��-�Ą�
Literatura
1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.
2. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania.
3. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część I.
32