Przebieg
zmiennosci
funkcji


mgr
Zofia
Makara
20
maja
2004


1
Przebieg
zmiennosci
funkcji
-krótkie
wprowadzenie


Aby
zbadać
przebieg
zmiennosci
funkcji
wyznacza
się
się
miedzy
innymi
(jeli
to
wykonalne):


1.
Dziedzinę
fukcji;
2.
Miejsca
zerowe
funkcji;
3.
Granice
lewo-i
prawo-stronne
w
punktach
wyłaczonych
z
dziedziny
oraz
w
+.
oraz
-1;
4.
Asymptoty
funkcji;
5.
Dziedzinę
pierwszej
pochodnej;
6.
Ekstremum;
7.
Przedziały
monotonicznosci;
8.
Dziedzinę
drugiej
pochodnej;
9.
Punkty
przegiecia;
10.
Przedziały
wypukłosci
i
wklesłosci;
Wszystkie
wyznaczone
dane
mozna
wpisać
w
jedną
tabelę
(zaznaczajec,
w
niej
odpowiednio:
dziedzinę
(funkcji,
pierwszej
pochodnej
funkcji,
drugiej
pochodnej
funkcji),
przedziały
monotonicnosci
(z
wyróznieniem
ekstremum),
przedziały
wypukłosci
i
wkleslosci
(z
wyróznieniem
punktów
przegiecia)).
Na
podstawie
tak
zebranych
danych
mozna
naszkicować
wykres
funkcji.


1



1.1
Asymptoty
Asymtota
pozioma
funkcji
f(x)
jest
postaci
y
=
b,
gdzie:
b
=
lim
f(x)


x!.


lub
b
=
lim
f(x)


x!-.


Asymptota
ukosna
funkcji
f(x)
jest
postaci
y
=
ax
+
b,
gdzie:
f(x)


a
=
lim
b
=
lim
(f(x)
-
ax)


x!.
x!1

x


lub


f(x)


a
=
lim
b
=
lim
(f(x)
-
ax)


x!-.
x
x!-1
Asymptota
pionowa
lewostonna
funkcji
f(x)
jest
postaci
x
=
a,
gdzie
a
jest
punktem
wyłaczonym
z
dziedziny,
jesli:


lim
-
f(x)=
-.
lub
lim
-
f(x)=
.


x!ax!a

Asymptota
pionowa
prawostonna
funkcji
f(x)
jest
postaci
x
=
a,
gdzie
a
jest
punktem
wyłaczonym
z
dziedziny,
jesli:


lim
+
f(x)=
-.
lub
lim
+
f(x)=
.


x!ax!a

Asymptota
pionowa
obustonna
funkcji
f(x)
jest
postaci
x
=
a,
gdzie
a
jest
punktem
wyłaczonym
z
dziedziny,
jesli:


lim
f(x)=
-.
lub
lim
f(x)=
.


x!ax!a


1.2
Ekstremum
-minimum
i
makasimum
lokalne
Funkcja
f
ma
w
punkcie
x0
.
Df
minimum
lokalne,
jezeli:


9>08x2S(x0,)f(x)
.
f(x0),
Funkcja
f
ma
w
punkcie
x0
.
Df
minimum
lokalne
własciwe,
jezeli:
9>08x2S(x0,)f(x)
>f(x0),
Funkcja
f
ma
w
punkcie
x0
.
Df
maksimum
lokalne,
jezeli:


9>08x2S(x0,)f(x)
.
f(x0),
Funkcja
f
ma
w
punkcie
x0
.
Df
maksimum
lokalne
własciwe,
jezeli:
9>08x2S(x0,)f(x)
gdzie
S(x0,)=(x0
-
,
x0)
.
(x0,x0
+
)
jest
sasiedztwem
punktu
x0
w
promieniu
.


2



Twierdzenie
1
(Fermata
-warunek
konieczny
istnienia
ekstremum)


Jesli
funkcja
f
posiada
pochodną
w
punkcie
f0(x0),
x0
.
(a,
b)
oraz
posiada
ekstremum
lokalne
w
(x0,f(x0))
to:


f0(x0)
=
0;


Twierdzenie
2
(I
warunek
dodtateczny
istnienia
ekstremum)
Jezeli
Jesli
funkcja
f
posiada
pochodną
w
punkcie
f0(x0)=0,
x0
.
(a,
b),
zaś
dla


8af0(x)
<
0;


oraz


8x0f0(x)
>
0;
to
ma
w
punkcie
(x0,f(x0)
minimum
lokalne.
Twierdzenie
3
(I
warunek
dodtateczny
istnienia
ekstremum)
Jezeli
Jesli
funkcja
f
posiada
pochodną
w
punkcie
f0(x0)=0,
x0
.
(a,
b),
zaś
dla


8af0(x)
>
0;


oraz


8x0f0(x)
<
0;


to
ma
w
punkcie
(x0,f(x0)
maksimum
lokalne.


Twierdzenie
4
(II
warunek
dodtateczny
istnienia
ekstremum)
Jezeli
funkcja
f
posiada
pierwszą
i
drugą
pochodną
w
punkcie
x0
.
(a,
b)
oraz
f0(x0)=0,
zaś


f00(x0)
<
0;


to
funkcja
f
ma
w
punkcie
(x0,f(x0)
maksimum
lokalne.


Twierdzenie
5
(II
warunek
dodtateczny
istnienia
ekstremum)
Jezeli
funkcja
f
posiada
pierwszą
i
drugą
pochodną
w
punkcie
x0
.
(a,
b)
oraz
f0(x0)=0,
zaś


f00(x0)
>
0;
to
funkcja
f
ma
w
punkcie
(x0,f(x0)
minimum
lokalne.


Definicja
1
(Maksimum
globalne)
Jesli
x0
.
Df
,
y0
=
f(x0)
oraz


8x2Df
f(x)
.
y0
to
funkcja
f
ma
w
punkcie
(x0,f(x0)
maksimum
globalne.


Definicja
2
(Minimum
globalne)
Jesli
x0
.
Df
,
y0
=
f(x0)
oraz


8x2Df
f(x)
.
y0
to
funkcja
f
ma
w
punkcie
(x0,f(x0)
minimum
globalne.


3



1.3
Przedziały
monotonicznosci
Funkcje
nazywamy
monotonicznymi
jesli
są
rosnace,
malejace
(scisle
monotoniczne)
lub
niemalejace
i
nierosnace
(słabo
monotoniczne).
Funkcja
f
jest
rosnaca
na
zbiorze
D
.
Df
,
jezeli:


8x1,x22D
[(x1
.
(f(x1)
lub


8x1,x22D
[(x1
>x2)
.
(f(x1)
>f(x2))]
Funkcja
f
jest
malejaca
na
zbiorze
D
.
Df
,
jezeli:


8x1,x22D
[(x1
>x2)
.
(f(x1)
lub


8x1,x22D
[(x1
>x2)
.
(f(x1)
Funkcja
f
jest
niemalejaca
na
zbiorze
D
.
Df
,
jezeli:


8x1,x22D
[(x1
.
(f(x1)
.
f(x2))]
lub


8x1,x22D
[(x1
>x2)
.
(f(x1)
.
f(x2))]
Funkcja
f
jest
nierosnaca
na
zbiorze
D
.
Df
,
jezeli:


8x1,x22D
[(x1
.
(f(x1)
.
f(x2))]


lub
8x1,x22D
[(x1
>x2)
.
(f(x1)
.
f(x2))]


Twierdzenie
6
Jezeli
pierwsza
pochodna
funkcji
w
przedziale
(a,
b)
przyjmuje
wartosci
dodatnie,
to
jest:


8x2(a,b)
f0(x)
>
0


to
funkcja
jest
rosnaca
w
tym
przedziale.


Twierdzenie
7
Jezeli
pierwsza
pochodna
funkcji
w
przedziale
(a,
b)
przyjmuje
wartosci
ujemne,
to
jest:


8x2(a,b)
f0(x)
<
0


to
funkcja
jest
malejaca
w
tym
przedziale.


Twierdzenie
8
Jezeli
pierwsza
pochodna
funkcji
w
przedziale
(a,
b)
przyjmuje
wartosci
równe
zero,
to
jest:


8x2(a,b)
f0(x)=0


to
funkcja
jest
stała
w
tym
przedziale.


4



1.4
Punkty
przegiecia
Niech
funkcja
f
bedzie
okreslona
i
rózniczkowalna
na
(a,
b).
Funkcja
f
ma
w
punkcie
x0
.
Df
punkt
przegiecia,
jezeli:
-f
jest
scisle
wypukła
na
S(x0,)
oraz
scisle
wklesła
na
S(,
x0);
lub
-f
jest
scisle
wklesła
na
S(x0,)
oraz
scisle
wypukła
na
S(,
x0);
gdzie
istnieje
>
0.


Twierdzenie
9
(warunek
konieczny
istnienia
punktu
przegiecia)
Jesli
funkcja
f
posiada
drugą
pochodną
w
punkcie
f00(x0),
x0
.
(a,
b)
oraz
posiada
punkt
przegiecia
(x0,f(x0))
to:


f00(x0)
=
0;


Twierdzenie
10
(warunek
dodtateczny
istnienia
punktu
przegiecia)


Jezeli
Jesli
funkcja
f
posiada
pochodną
w
punkcie
f00(x0)=0,
x0
.
(a,
b),
zaś
dla


f00(x)
<
0;

8a

oraz


f00(x)
>
0;

8x0

to
ma
w
punkcie
(x0,f(x0)
punkt
przegiecia.
Twierdzenie
11
(warunek
dodtateczny
istnienia
ekstremum)
Jezeli
Jesli
funkcja
f
posiada
pochodną
w
punkcie
f0(x0)=0,
x0
.
(a,
b),
zaś
dla
f00(x)
>
0;

8a

oraz


f00(x)
<
0;

8x0

to
ma
w
punkcie
(x0,f(x0)
punkt
przegiecia.


1.5
Przedziały
wklesłosci
i
wypukłosci
Funkcja
f
jest
wypukła
na
przedziale
(a,
b),
jesli:
8x1,x12(a,b)82(0,1)
f(x1
+
(1
-
)x2)
.
f(x1)
+
(1
-
)f(x2);
Funkcja
f
jest
scisle
wypukła
na
przedziale
(a,
b),
jesli:
8x1,x12(a,b)82(0,1)
f(x1
+
(1
-
)x2)
<
f(x1)
+
(1
-
)f(x2);
Funkcja
f
jest
wklesła
na
przedziale
(a,
b),
jesli:
8x1,x12(a,b)82(0,1)
f(x1
+
(1
-
)x2)
.
f(x1)
+
(1
-
)f(x2);
Funkcja
f
jest
scisle
wklesła
na
przedziale
(a,
b),
jesli:
8x1,x12(a,b)82(0,1)
f(x1
+
(1
-
)x2)
>
f(x1)
+
(1
-
)f(x2);
Niech
funkcja
f
bedie
podwójnie
rózniczkowalna:


5



Twierdzenie
12
Jezeli
druga
pochodna
funkcji
w
przedziale
(a,
b)
przyjmuje
wartosci
dodatnie,
to
jest:


f00(x)
>
0

8

x2(a,b)


to
funkcja
jest
wypukła
w
tym
przedziale.


Twierdzenie
13
Jezeli
druga
pochodna
funkcji
w
przedziale
(a,
b)
przyjmuje
wartosci
ujemne,
to
jest:


f00(x)
<
0

8

x2(a,b)


to
funkcja
jest
wklesła
w
tym
przedziale.


Zadania


1.
Zbadaj
istnienie
asymptot
dla
podanych
funkcji.
Jesli
asymtoty
istnieją
-wskaż
je:
(a)
f(x)
=
sin
x;


(b)
f(x)=
e
x
-
5;


(c)
ex
-
2


f(x)=
;


ex
+5

(d)
2x
-
2


f(x)=
;


x2
-
1


(e)
2x
-
2


f(x)=
.
;
x2
-
1

(f)
7


f(x)=2
x
;


(g)
f(x)
=
ln
x
+
2;


6



(h)
ln
x
+2


f(x)=
;


x
+2


(i)
x
+2


f(x)=
;


x
-
1

(j)
2


f(x)=
x
ln
e
+;


x


(k)
f(x)=
x2
-
3x
-
10;


2.
Przedziały
monotonicznosci
i
ekstremum
funkcji:
(a)
f(x)=
x
3
+
12x
-
3;


(b)
x


f(x)=
;


x2
-
9

(c)
1


f(x)=
x
+;


x


(d)
f(x)=
xx2
-
5x
+
6;


(e)
2x
-
1


f(x)=
;


x2
+3


(f)
f(x)=
x2
+
12;


(g)
2x
-
5


f(x)=
;

3x
-
12

7



(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
f(x)
=
sin
x;


f(x)
=
3sin2x;


f(x)
=
cos
x;


f(x)
=
tg
x;


f(x)
=
sin3x
+
1;


f(x)
=
3sin
x
-
2+2x;


3.
Zbadaj
punkty
przegiecia
i
przedziały
wypukłosci
funkcji:
(a)
.
f(x)
=
x2
+
9;
(b)
f(x)
=
2x
-
7
x
-
2
;
(c)
f(x)
=
sin
2x
+
x
2;
(d)
f(x)
=
3x
+
sin
2x;
(e)
f(x)
=
9
-
cos
x;
(f)
f(x)
=
tg
x
-
6;
8



(g)
f(x)
=
sin3x
+
;


(h)
.


f(x)
=
3cos
x
-
+2x;

2


4.
Zbadaj
przebieg
zmiennosci
funkcji:
(a)
y
=
x3
+2x
+
2;
1
(b)
y
=
3
x3
-
2x
-
25;
x

(c)
y
=
x+2
;
2x-1


(d)
y
=
2-1
;
x

(e)
y
=
2+x
x-5
;
x2+x


(f)
y
=
2-4
;
x

4

x

(g)
y
=
2-4
;
x

(h)
y
=
x+1
;
x2+4


.


(i)
y
=2xx2
+
x;
(j)
y
=
x2
sin
x;
sin
x
(k)
y
=
x-5
;


9