przygotowa Joanna Grabowska na podstawie Szymański, Dróbka  Ma-
la
tematyka w szkole średniej. Powtórzenie i zbiór zadań oraz Leksiński, Na-
bia Żakowski  Matematyka, definicje, twierdzenia, przyk zadania
lek, lady,
1 Badanie przebiegu zmienności funckji
1.1 Algorytm badania wykresu funkcji
1) Wyznaczamy dziedzine funkcji f;
2) wyznaczamy granice funkcji na końcach przedzia ów, z których sk sie
l lada
dziedzina;
3) znajdujemy miejsca zerowe funkcji f i punkt, w którym wykres przecina
oÅ› y;
4) wyznaczamy pochodna funkcji f i znajdujemy miejsca zerowe pochodnej;
5) znajdujemy przedzia monotoniczności funkcji i jej ekstrema (jeśli ist-
ly
nieja);
6) badamy, czy istnieja asymptoty wykresu funkcji i znajdujemy ich rónania;
7) wykorzystujac dane zebrane w pkt 1-6 budujemy tabele zmienności i szki-
cujemy wykresy funkcji f
1.2 Asymptoty wykresu funkcji
Jeśli funkcja f jest określona w przedziale (ą, +") i istnieje skończone gra-
nica limx+f(x) = b, to prosta o równianiu y = b nazywamy asymp-
tota pozioma wykresu funkcji f w plus nieskończoności. Podobnie jeśli
funkcja f jest określona w przedzxiale (-", ą) i istnieje skończona gra-
nica limx-f(x) = b to prosta o równaniu y = b nazywamy asymptota
pozioma funkcji f w minus nieskończoności. Jeśli prosta o równaniu y = b
jest asymptota pozioma wykresu funkcji f zarówno w plus, jak i w minus
niekończoności, to nazywamy ja asymptota pozioma obustronna. Jeśli pro-
sta o równaniu y = b jest asymptota pionowa wykresu funkcji f, to wykres
funkcji zbiliża sie do tej prostej, gdy x daży do nieskończoności.
Jeśli funkcja f jest określona w przedziale (ą, +") i istnieje skończone
granica limxa+f(x) = b, lub limxa+f(x) = -" to prosta o równianiu
x = a nazywamy asymptota prawostronna pionowa wykresu funkcji f w plus
nieskończoności. Podobnie określamy asymptote lewostronna. Jeśli prosta
jest jednocześnie asymptota pionowaprawo i lewostronnato jest asymptota
pionowa obustronna.
1.3 Monotoniczność funkcji
Jeśli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) i przy tym
jest funkcja rosnaca w tym przedziale, to jej pochodna f jest w każdym
1
punkcie przedzia (a,b) nieujemna.
lu
Jeśli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) i przy
tym jest funkcja malejaca w tym przedziale, to jej pochodna f jest w każdym
punkcie przedzia (a,b) niedodatnia.
lu
Jeśli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b), a jej
pochodna f przyjmuje co najwyżej skończonej liczbie punktów przedzia
lu
wartość zero, a we wszystkich pozosta punktach przedzia jest dodat-
lych lu
nia, to funkcja f jest w przedziale (a,b) rosnaca.
Jeśli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b), a jej
pochodna f przyjmuje co najwyżej skończonej liczbie punktów przedzia
lu
wartość zero, a we wszystkich pozosta punktach przedzia jest ujemna,
lych lu
to funkcja f jest w przedziale (a,b) malejaca.
1.4 Ekstremum funkcji
Za óżmy, że funkcja f jest określona w przedziale (a, b) i x0 " (a, b). Mówimy,
l
że funkcja f osiaga w punkcie x0 maksimum, jeśli istnieje taki przedzia
l
(a1, b) ‚" (a, b) o Å›rodku w punkcie x0 to dla każdego x " (a1, b)ix = x0 za-

chodzi nierówność f(x) < f(x0). Analogicznie określamy minimum funkcji.
Ekstrema funkcji to minimum lub maksimum funkcji.
2 Przyk badania zmienności funkcji
lad
2.1 Zadanie 1
x3+4
Zbadamy przebieg zmiennościo funkcji f określanej wzorem f(x) =
x2
3
4
1) df = (-", 0) i (0, +") 2) limx+"(x +4) = limx+"(x+ ) = +"
x2 x2
3
limx-"(x +4) = -"
x2
3 3
4
limx0+(x +4) limx0-(x +4) = limx+"(x + ) = +"
x2 x2 x2
"
3
3) f(x) = 0 Ô! x3 + 4 = 0 i X2 = 0 Ô! x = - 4, a ponieważ 0 " Df,
/
wiec wykres funkcji nei przecina osi y;
(x3+4)2 x2-(x3+4)(x2)2
x4-8x
4) f2 (x) = =
x4 x4
f2 (x) = 0 Ô! x4 - 8x = 0 i x4 = 0 Ô! x = 2

5) przedzia monotoniczności funkcji f:
ly
2
f2 (x) > 0 Ô! x(x - 2) > 2 i x = 0

f2 (x) < 0 Ô! x(x - 2) < 2 i x = 0

stad otrzymujemy:
f2 (x) > 0 Ô! x " (-", 0) i x " (2, ")
f2 (x) < 0 Ô! x " (0, 2)
Zatem funkcja rośnie w przedzia (-", 0) i (2, ") i maleje w prze-
lach
dziale (0, 2). W takim razie wynika,że f osiaga maksimum w punkcie x0 = 2
i fmin = 3
6) Poniewqaż nie istnieje skończona granica funkcji w nieskończoności ani
granica w minus nieskończoności, to nie istnieje pozioma asymptota wykresu
funkcji f.
Istnieje natomiast asymptota pionowa, jest nia prosta o równaniu x = 0.
Aby zbadać istnienie asymptoty pochy najpierw badamy istnbienie
lej,
granicy limx-" f(x), czyli limx-" f(x3+4). Granica ta istnieje i wynosi
x x3
1. Znaczy to, że wspó
lczynnik kierunkowy ewentualnej asymptoty jest równy
3
1. Teraz badamy istnienie granicy limx-"(f(x +4) - x). Granica ta wy-
x2
nosi zero. W takim razie asymptota pochy jest prosta o równianiu x=y.
la
7) Wykorzystujac zebrane o funkcji wiadomości, budujemy tabele zmienności
funkcji, a nastepnie szkicujemy wykres.
|x (-", 0) 0 (0, 2) 2 (2, ")
f2 (x) (+) x (-) 0 (+)
f2 (x) (Ä™!) x (“!) 3 (Ä™!)
2.2 Zadanie 2
1
x-1
Zbadać funkcje: y = ex
x
Rozwiazanie: Dziedzina funkcji: Df = (-", 0) i (0.") Mamy nastepnie
y 1, gdy x -" lub x ", y -", gdy x 0- oraz
1
limx0+y = limx0+ x-1ex
x
limu" 1-u =H limu" -1 = 0
eu eu
1
, gdzie u =
x
Z przeprowadzonych obliczeń granic wynika, że wykres funkcji ma lewo-
stronna asymptote pionowa o równaniu x= 0, oraz obustronna asymptote
pozioma y = 1. Wynika stad, że nie istnieje żadna asymptota ukośna.
1
2x-1
Obliczamy pierwsza pochodna y2 = e- x
. Ponieważ Df2 = Df,
x3
1
y2 = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = oraz pochodna zmienia znak w punkcie
2
1
x = z ujemnego na dodatni, wiec funkcja w tym punkcie ma ekstremum,
2
3
-1
minimum; ymin = y(1) = . Ponieważ y2 > 0 na przedziale (-", 0) i na
2 e2
przedziale (1, "), wiec funkcja jest na tych przedzia rosnaca. Ponieważ
lach
2
1
y2 < 0 na przedziale (0, ), wiec funkcja jest malejaca na tym przedziale.
2
na podstawie uzyskanych informacji sporzadzamy tabelke zmienności
funkcjii sporzadzamy wykres.
1
|x (-", 0) 0 (0, ) (1) (1, ")
2 2 2
f2 (x) (+) x (-) 0 (+)
f2 (x) (Ä™!) x (“!) (-1) (Ä™!)
e2
4