Dr in\
. Iwona Staniec
Dr in\
. Iwona Staniec
Lodex p. 333
Lodex p. 333
Środa 10:00-12:00
Środa 10:00-12:00
htpp://oizet.p.lodz.pl/istan
htpp://oizet.p.lodz.pl/istan
Badanie zmienności popytu
Badanie zmienności popytu
Teoretyczne rozkłady
Teoretyczne rozkłady
skokowe
skokowe
Rozkład równomierny
Rozkład równomierny
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona
Rozkład równomierny
Rozkład równomierny
Zmienna losowa ma rozkład
Zmienna losowa ma rozkład
równomierny je\
eli ma skończoną liczbę
równomierny je\
eli ma skończoną liczbę
skoków i prawdopodobieństwo
skoków i prawdopodobieństwo
wystąpienia ka\
dego ze skoków jest
wystąpienia ka\
dego ze skoków jest
identyczne.
identyczne.
Rozkład dwumianowy
Rozkład dwumianowy
Rozkład dwumianowy występuje wówczas,
Rozkład dwumianowy występuje wówczas,
gdy przeprowadzamy n jednakowych
gdy przeprowadzamy n jednakowych
doświadczeń, z których ka\
de mo\
e
doświadczeń, z których ka\
de mo\
e
zakończyć się jednym z dwóch wyników:
zakończyć się jednym z dwóch wyników:
 sukcesem z prawdopodobieństwem p lub
 sukcesem z prawdopodobieństwem p lub
 pora\
ką z prawdopodobieństwem 1-p.
 pora\
ką z prawdopodobieństwem 1-p.
Zmienną losową X w tym eksperymencie jest
Zmienną losową X w tym eksperymencie jest
liczba sukcesów w n próbach. A
atwo
liczba sukcesów w n próbach. A
atwo
zauwa\
yć, \
e mo\
e ona przyjmować wartości
zauwa\
yć, \
e mo\
e ona przyjmować wartości
z przedziału <0,n>.
z przedziału <0,n>.
Funkcja prawdopodobieństwa
Funkcja prawdopodobieństwa
w rozkładzie Bernoulliego jest
w rozkładzie Bernoulliego jest
określona wzorem:
określona wzorem:
n!
P(X = k) = pk (1- p)n-k dla k = 0,1,2,...,n
k!(n - k)!
E(X ) = np
D2 (X ) = np(1 - p)
Przykład
Przykład
Pewien akwizytor prowadzący sprzeda\

Pewien akwizytor prowadzący sprzeda\

kalkulatorów kontaktuje się z 10
kalkulatorów kontaktuje się z 10
klientami dziennie. Z doświadczenia
klientami dziennie. Z doświadczenia
wiadomo, \
e prawdopodobieństwo
wiadomo, \
e prawdopodobieństwo
zakupu kalkulatora przez klienta wynosi
zakupu kalkulatora przez klienta wynosi
0,2. Jaki jest rozkład
0,2. Jaki jest rozkład
prawdopodobieństwa liczby
prawdopodobieństwa liczby
sprzedanych kalkulatorów? Obliczyć
sprzedanych kalkulatorów? Obliczyć
jego parametry
jego parametry
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Liczba sukcesów (sprzedanych sztuk)
Prawdopodobieństwo
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona jest rozkładem zmiennej
Rozkład Poissona jest rozkładem zmiennej
losowej skokowej, z którym mamy do
losowej skokowej, z którym mamy do
czynienia w przypadku określania
czynienia w przypadku określania
prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń
prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń
stosunkowo rzadkich, takich jak liczba
stosunkowo rzadkich, takich jak liczba
usterek w produkowanej partii materiału,
usterek w produkowanej partii materiału,
liczba zgłoszeń szkód, liczba cząsteczek
liczba zgłoszeń szkód, liczba cząsteczek
radioaktywnych emitowanych przez
radioaktywnych emitowanych przez
substancję w krótkim okresie itp.
substancję w krótkim okresie itp.
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona
k
P(X = k) = e- dla k = 0,1,2,...
k!
E(X ) = D2 (X ) = 
Przykład
Przykład
W zakładzie wytwarzającym \
arówki
W zakładzie wytwarzającym \
arówki
wadliwość produkcji wynosi 4%. śarówki
wadliwość produkcji wynosi 4%. śarówki
pakowane są w paczki po 50 sztuk.
pakowane są w paczki po 50 sztuk.
Wyznaczyć rozkład liczby wadliwych
Wyznaczyć rozkład liczby wadliwych
\
arówek w paczce.
\
arówek w paczce.
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Liczba w adliw ych \
arów ek w paczce
Prawdopodobieńswo
Rozkład wykładniczy
Rozkład wykładniczy
O zmiennej losowej X mówimy, \
e ma
O zmiennej losowej X mówimy, \
e ma
rozkład wykładniczy z parametrem
rozkład wykładniczy z parametrem
>0, je\
eli jej funkcję gęstości mo\
na
 >0, je\
eli jej funkcję gęstości mo\
na
przedstawić jako:
przedstawić jako:
0, x " (-",0)
ńł
f (x,) =
�łe , x " 0,+ ")
-x
ół
 Jest to rozkład charakteryzujący często
Jest to rozkład charakteryzujący często
rozkład ilości czasu oczekiwania na
rozkład ilości czasu oczekiwania na
zdarzenie, które teoretycznie mo\
e zajść w
zdarzenie, które teoretycznie mo\
e zajść w
dowolnej chwili (ale równie\
czas ten mo\
e
dowolnej chwili (ale równie\
czas ten mo\
e
być dowolnie długi) lub rozkład czasu
być dowolnie długi) lub rozkład czasu
pomiędzy dwoma kolejnymi zajściami
pomiędzy dwoma kolejnymi zajściami
pewnego zdarzenia, np. czas bezawaryjnej
pewnego zdarzenia, np. czas bezawaryjnej
pracy między dwoma kolejnymi awariami.
pracy między dwoma kolejnymi awariami.
Prawdopodobieństwa coraz większych
Prawdopodobieństwa coraz większych
wartości (przedziałów) tej zmiennej są coraz
wartości (przedziałów) tej zmiennej są coraz
mniejsze.
mniejsze.
Wykres funkcji gęstości zmiennej
Wykres funkcji gęstości zmiennej
losowej o rozkładzie
losowej o rozkładzie
wykładniczym.
wykładniczym.

Dystrybuanta zmiennej losowej o
Dystrybuanta zmiennej losowej o
rozkładzie wykładniczym wyra\
a
rozkładzie wykładniczym wyra\
a
się wzorem:
się wzorem:
0 dla x < 0
ńł
F(x) =
�ł1- e-x dla x e" 0
ół
Wartość oczekiwana i wariancja
Wartość oczekiwana i wariancja
zmiennej
zmiennej
+"
1
E(X ) = xf (x) =
+"

-"
1
D2 (X ) =
2
Rozkład normalny
Rozkład normalny
Najczęściej spotykanym w naturze
Najczęściej spotykanym w naturze
rozkładem zmiennej losowej ciągłej jest
rozkładem zmiennej losowej ciągłej jest
rozkład normalny, zwany rozkładem
rozkład normalny, zwany rozkładem
Gaussa-Laplace'a. Ciągła zmienna
Gaussa-Laplace'a. Ciągła zmienna
losowa X ma rozkład normalny (co
losowa X ma rozkład normalny (co
oznaczamy ), jeśli jej funkcja gęstości - :
oznaczamy ), jeśli jej funkcja gęstości - :
�ł
(x-� )2 �ł
�ł �ł
-
2
�ł �ł
1
f (x) = e�ł 2� łł
� 2Ą
0,5
N(0,1)
N(3,1)
N(0,2)
N(3,2)
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Funkcja ma następujące
Funkcja ma następujące
własności:
własności:
własność symetryczności - jest
własność symetryczności - jest
symetryczna względem prostej x=�, co
symetryczna względem prostej x=�, co
oznacza, \
e spełniona jest zale\
ność:
oznacza, \
e spełniona jest zale\
ność:
P(X > �)= P(X < �)= 0.5
własność jednomodalności - w punkcie
własność jednomodalności - w punkcie
x=� osiąga wartość maksymalną, która
x=� osiąga wartość maksymalną, która
wynosi:
wynosi:
1
f (x) =
� 2Ą
własność zmienności - ramiona f(x) mają
własność zmienności - ramiona f(x) mają
punkty przegięcia dla . Własność ta
punkty przegięcia dla . Własność ta
wią\
e się z tzw. regułą trzech sigm, wg
wią\
e się z tzw. regułą trzech sigm, wg
której przyjmuje się, \
e realizacje
której przyjmuje się, \
e realizacje
zmiennej losowej ciągłej X nie będą się
zmiennej losowej ciągłej X nie będą się
ró\
niły (in plus, in minus) od wartości
ró\
niły (in plus, in minus) od wartości
oczekiwanej więcej ni\
o trzy odchylenia
oczekiwanej więcej ni\
o trzy odchylenia
standardowe wynosi w przybli\
eniu 1,
standardowe wynosi w przybli\
eniu 1,
czyli:
czyli:
{ }
P � - 3� < X < � + 3� = 0.9973 H" 1
68%
- 5� - 4� - 3� - 2� - � � � 2� 3� 4� 5�
Rys. 1.10 Ilustracja graficzna reguły trzech sigm
95%
- 5� - 4� - 3� - 2� - � � � 2� 3� 4� 5�
Rys. 1.10 Ilustracja graficzna reguły trzech sigm
99%
- 5� - 4� - 3� - 2� - � � � 2� 3� 4� 5�
Rys. 1.10 Ilustracja graficzna reguły trzech sigm
własność określoności - kształt funkcji
własność określoności - kształt funkcji
gęstości zale\
y od wartości dwóch
gęstości zale\
y od wartości dwóch
�
parametrów: � i . Parametr �
parametrów: � i . Parametr �
decyduje o przesunięciu krzywej,
decyduje o przesunięciu krzywej,
�
natomiast parametr decyduje o
natomiast parametr decyduje o
 smukłości krzywej.
 smukłości krzywej.
Przy wykorzystaniu krzywej normalnej w
Przy wykorzystaniu krzywej normalnej w
procedurze wnioskowania statystycznego
procedurze wnioskowania statystycznego
celowe jest takie przekształcenie jej
celowe jest takie przekształcenie jej
równania, aby była ona niezale\
na od
równania, aby była ona niezale\
na od
parametrów. Nale\
y więc przyjąć, \
e zamiast
parametrów. Nale\
y więc przyjąć, \
e zamiast
obserwowanej zmiennej losowej ciągłej X
obserwowanej zmiennej losowej ciągłej X
wprowadzamy tzw. zmienną
wprowadzamy tzw. zmienną
standaryzowaną
standaryzowaną U ~ N(0,1)
, która jest zdefiniowana jako:
, która jest zdefiniowana jako:
x - �
u =
�
Weryfikacja hipotez
Weryfikacja hipotez
W procesie weryfikacji hipotez statystycznych mo\
na
W procesie weryfikacji hipotez statystycznych mo\
na
wyró\
nić kilka etapów:
wyró\
nić kilka etapów:
sformułowanie hipotezy zerowej (H0) oraz hipotezy
sformułowanie hipotezy zerowej (H0) oraz hipotezy
alternatywnej (H1),
alternatywnej (H1),
wybór testu statystycznego słu\
ącego do weryfikacji
wybór testu statystycznego słu\
ącego do weryfikacji
hipotezy zerowej,
hipotezy zerowej,
wyznaczenie wartości sprawdzianu testu,
wyznaczenie wartości sprawdzianu testu,
ustalenie poziomu istotności (ą) oraz wyznaczenie
ustalenie poziomu istotności (ą) oraz wyznaczenie
obszaru odrzucenia hipotezy zerowej lub minimalnej
obszaru odrzucenia hipotezy zerowej lub minimalnej
wartości prawdopodobieństwa p,
wartości prawdopodobieństwa p,
podjęcie decyzji z określonym
podjęcie decyzji z określonym
prawdopodobieństwem błędu, je\
eli p< ą odrzucamy
prawdopodobieństwem błędu, je\
eli p< ą odrzucamy
H0.
H0.
2
Test zgodności rozkładu �
Test zgodności rozkładu
H0 : F(x)=F0(x), czyli \
e rozkład
H0 : F(x)=F0(x), czyli \
e rozkład
empiryczny badanej populacji F(x)
empiryczny badanej populacji F(x)
pokrywa się z pewnym rozkładem
pokrywa się z pewnym rozkładem
teoretycznym F0(x),
teoretycznym F0(x),
wobec hipotezy alternatywnej
wobec hipotezy alternatywnej
H1 : F(x)`"F0(x), czyli \
e rozkład
H1 : F(x)`"F0(x), czyli \
e rozkład
empiryczny badanej populacji F(x) jest
empiryczny badanej populacji F(x) jest
ró\
ny od rozkładu teoretycznego F0(x),
ró\
ny od rozkładu teoretycznego F0(x),
Celem sprawdzenia hipotezy
Celem sprawdzenia hipotezy
zerowej H0 nale\
y
zerowej H0 nale\
y
podzielić wyniki próby na r rozłącznych klas o liczebnościach ni
podzielić wyniki próby na r rozłącznych klas o liczebnościach ni
(i=1,2,3,..,r) w ka\
dej klasie, przy czym ,
(i=1,2,3,..,r) w ka\
dej klasie, przy czym ,
obliczyć prawdopodobieństwo pi tego, \
e zmienna losowa
obliczyć prawdopodobieństwo pi tego, \
e zmienna losowa
o dystrybuancie F0(x) przyjmie wartości nale\
ące do i -tej klasy
o dystrybuancie F0(x) przyjmie wartości nale\
ące do i -tej klasy
(i =1,2,...r), gdzie:
(i =1,2,...r), gdzie:
p1 + p2 +...+ pr = 1
obliczyć statystykę
obliczyć statystykę
2
r
ni
( - npi
)
2
� =
"
npi
i=1
2
�
Je\
eli weryfikowana hipoteza jest prawdziwa, to statystyka
Je\
eli weryfikowana hipoteza jest prawdziwa, to statystyka
ma przy n rozkład o (r-s-1) stopniach swobody, gdzie s jest
ma przy n rozkład o (r-s-1) stopniach swobody, gdzie s jest
liczbą szacowanych parametrów rozkładu z próby.
liczbą szacowanych parametrów rozkładu z próby.