Analiza matematyczna 1/Wykład 12: Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej - Studia Informatyczne

/**/






/**/











Analiza matematyczna 1/Wykład 12: Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej

From Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 1

Spis treści [schowaj]

1 Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej
2 Funkcje wypukłe
3 Elementarne własności funkcji wypukłych
4 Wypukłość funkcji a monotoniczność jej pochodnej
5 Nierówność Jensena
6 Badanie przebiegu zmienności funkcji

if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "pokaż"; var tocHideText = "schowaj"; showTocToggle(); }
[Edytuj]Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej
Definiujemy funkcje wypukłe i dowodzimy ich elementarnych
własności. Podajemy związek wypukłości funkcji z monotonicznością
jej pochodnej. Przedstawiamy nierówność Jensena, Minkowskiego,
H�śldera oraz klasyczną nierówność między średnią arytmetyczną,
geometryczną i harmoniczną. Schemat badania przebiegu zmienności
funkcji jednej zmiennej stanowi podsumowanie poprzednich czterech
modułów.

[Edytuj]Funkcje wypukłe


Zbiór wypukły



Nadwykres funkcji wypuklej

Pojęcie wypukłości jest nam znane z geometrii. Mówimy, że podzbiór przestrzeni wektorowej jest wypukły, jeśli dowolny odcinek o końcach należących do zbioru jest zawarty w tym zbiorze. Innymi słowy:



Zbiór



jest odcinkiem o końcach , . Punkty , uzyskamy, gdy w kombinacji liniowej parametr przyjmie odpowiednio wartość lub . Gdy , otrzymujemy punkt , który jest środkiem odcinka łączącego punkty oraz .
Zauważmy też, że zbiory



oraz


to - odpowiednio - półprosta o początku przechodząca przez punkt oraz półprosta o początku przechodząca przez punkt
Definicję funkcji wypukłej opieramy na intuicji geometrycznej.
Definicja 12.1.


Mówimy, że funkcja
jest wypukła w przedziale , jeśli jej nadwykres



jest zbiorem wypukłym, to znaczy



Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka ),
tzn.



to mówimy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale .
Z kolei, jeśli zachodzą nierówności przeciwne, tj.



oraz odpowiednio



to mówimy, że funkcja jest wklęsła w przedziale oraz - odpowiednio - ściśle wklęsła.


Zwróćmy uwagę, że jeśli funkcja nie jest wypukła w przedziale
, to nie oznacza to, że jest wklęsła w tym przedziale. Na
przykład funkcja Dirichleta


nie jest wypukła w żadnym przedziale , ale nie jest też wklęsła.
Zauważmy, że jeśli , to nierówność


za pomocą której określiliśmy wypukłość funkcji w przedziale , jest
równoważna nierówności


lub


którą możemy również zapisać w postaci łatwej do zapamiętania za
pomocą wyznacznika


Uwaga 12.2.

Funkcja jest wypukła (odpowiednio: ściśle wypukła, wklęsła, ściśle wklęsła) w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby wyznacznik (odpowiednio: , , ).
[Edytuj]Elementarne własności funkcji wypukłych
Sformułujmy parę uwag, które wynikają bezpośrednio z definicji
wypukłości funkcji.

Uwaga 12.3.

a) Jeśli jest wypukła w przedziale
, to jest również wypukła w dowolnym mniejszym przedziale
zawartym w
b) Funkcja jest wypukła (odpowiednio: ściśle
wypukła) w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja
jest wklęsła (odpowiednio: ściśle wklęsła) w tym
przedziale.
c) Jeśli jest stałą dodatnią, to funkcja
jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukła.
d) Jeśli jest dowolną stałą, to funkcja
jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukła.
e) Suma funkcji wypukłych jest funkcją wypukłą.


Kolejne elementarne własności funkcji wypukłych podaje


Twierdzenie 12.4.


a) Złożenie funkcji
wypukłych i jest funkcją wypukłą, jeśli jest funkcją
rosnącą.
b) Funkcja odwrotna do funkcji wypukłej rosnącej jest
wklęsła rosnąca.
c) Funkcja ściśle wypukła w przedziale nie osiąga maksimum
w żadnym punkcie tego przedziału.
d) Funkcja ściśle wklęsła w przedziale nie osiąga minimum
w żadnym punkcie tego przedziału.



Dowód 12.4.


a) Funkcja jest wypukła w , więc

dla dowolnych , . Mamy następnie nierówność
ponieważ funkcja jest rosnąca. Zuwagi na wypukłość mamy

czyli


dla dowolnych i . Stąd złożenie jest funkcją wypukłą.
b) Niech i niech , . Wówczas
oraz . Funkcja odwrotna do rosnącej jest
rosnąca, gdyż

Z wypukłości funkcji mamy
co jest równoważne nierównościom

czyli jest wklęsła.
c) Przypuśćmy wbrew tezie, że funkcja osiąga maksimum w pewnym
punkcie . Funkcja nie jest stała, istnieje więc
liczba taka, że oraz .
Wobec tego


co oznacza, że funkcja nie jest wypukła w przedziale . Sprzeczność.
d) Dowód przebiega podobnie do dowodu własności c).









Punkt jest punktem przegiecia funkcji



Punkt jest takze punktem przegiecia funkcji



Definicja 12.5.


Jeśli dla pewnej liczby funkcja
, określona w przedziale , jest

ściśle wypukła w przedziale i ściśle wklęsła w przedziale

albo na odwrót:

ściśle wklęsła w przedziale i ściśle wypukła w przedziale ,

to mówimy, że punkt jest punktem przegięcia (wykresu) funkcji .


Przykład 12.6.


a) Funkcja stała jest wypukła w przedziale ; nie jest ściśle wypukła.
b) Funkcja jest wypukła w każdym przedziale ; nie jest ściśle wypukła.
c) Funkcja jest ściśle wypukła w całym zbiorze liczb
rzeczywistych, gdy wykładnik jest dowolną parzystą liczbą
dodatnią. Gdy jest parzystą liczbą ujemną, to jest ściśle
wypukła w obu przedziałach oraz .
d) Gdy wykładnik jest nieparzystą liczbą dodatnią lub
ujemną, funkcja jest ściśle wypukła w przedziale
i jest ściśle wklęsła w przedziale .
Punkt jest więc punktem przegięcia funkcji ,
gdy wykładnik jest dowolną liczbą nieparzystą dodatnią. Gdy
wykładnik jest liczbą ujemną, liczba nie należy do
dziedziny funkcji , nie jest więc punktem przegięcia funkcji
.
e) Funkcja jest ściśle wypukła w każdym z
przedziałów i jest ściśle wklęsła w każdym
z przedziałów , . Stąd każdy punkt
, , jest punktem przegięcia tej funkcji.


[Edytuj]Wypukłość funkcji a monotoniczność jej pochodnej
Badanie wypukłości funkcji różniczkowalnej można sprowadzić
do badania monotoniczności jej pochodnej.


Twierdzenie 12.7


Niech będzie funkcją różniczkowalną w przedziale . Funkcja jest wypukła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest rosnąca.

Dowód 12.7.


Jeśli funkcja jest wypukła w przedziale , to dla dowolnych liczb ,
oraz dla dowolnego punktu zachodzi nierówność:


którą możemy zapisać w równoważnej postaci:


Gdy lub , wobec różniczkowalności , otrzymamy


oraz
Stąd , a więc pochodna jest rosnąca w
przedziale .
Załóżmy teraz z kolei, że pochodna jest funkcją rosnącą. Z
twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej istnieją punkty oraz takie, że


oraz
Pamiętamy, że . Skoro jest rosnąca w
przedziale ,
więc , czyli

co wobec dowolności wyboru punktów z przedziału oznacza, że funkcja jest wypukła.

Pamiętamy, że monotoniczność funkcji różniczkowalnej jest
ściśle związana ze znakiem jej pochodnej. Stąd monotoniczność
pochodnej jest związana ze znakiem drugiej pochodnej funkcji.
Wniosek 12.8.


Niech będzie funkcją dwukrotnie

różniczkowalną w przedziale . Jeśli w dowolnym punkcie druga pochodna (odpowiednio: ), to funkcja jest wypukła (odpowiednio: wklęsła) w tym przedziale.


Funkcja wykladnicza jest scisle wypukla w przedziale , gdy ,.



Punkt 0 jest punktem przegiecia funkcji

Przykład 12.9.


a) Funkcja wykładnicza jest ściśle wypukła w przedziale , gdy , ponieważ jej druga pochodna jest dodatnia w każdym punkcie . W przypadku, gdy , funkcja stała jest także wypukła, ale nie jest ściśle wypukła.
b) Funkcja logarytmiczna jest ściśle wypukła w przedziałach oraz , gdyż jej druga pochodna



jest dodatnia dla .
c) Jeśli jest funkcją wypukłą, to również jest funkcją wypukłą, gdyż jest złożeniem funkcji

wypukłej i rosnącej funkcji wypukłej .
Z twierdzenia o monotoniczności pochodnej funkcji wypukłej wynika
również warunek konieczny istnienia punktu przegięcia
funkcji dwukrotnie różniczkowalnej w przedziale .
Wniosek 12.10.


Niech będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale
. Jeśli jest punktem przegięcia funkcji ,
to .


Zwróćmy uwagę, że zerowanie drugiej pochodnej nie jest warunkiem
wystarczającym istnienia punktu przegięcia.
Przykład 12.11.


Każda z funkcji , gdy , ma zerową drugą pochodną w punkcie , jednak punkt ten nie jest dla żadnej z nich punktem przegięcia, gdyż każda z tych funkcji jest ściśle wypukła w przedziale .
Badając przebieg zmienności funkcji musimy również pamiętać, aby
skontrolować, czy funkcja nie ma punktów przegięcia, w których nie
istnieje druga pochodna.

Przykład 12.12.


Funkcja



jest ściśle wypukła w przedziale i ściśle wklęsła w przedziale . Jest określona w punkcie , ma więc punkt przegięcia , który nie jest miejscem zerowym drugiej pochodnej



która jest różna od zera w dowolnym punkcie swojej dziedziny, tj. gdy .


[Edytuj]Nierówność Jensena
Szereg ważnych nierówności, m.in. klasyczna nierówność między
średnią arymetyczną, geometryczną a harmoniczną liczb nieujemnych
, :



jest konsekwencją wypukłości pewnych funkcji. Można je
wyprowadzić z nierówności Jensena.


Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]


Jeśli funkcja
jest wypukła w przedziale , to zachodzi nierówność:



dla dowolnych liczb nieujemnych takich, że


oraz dla dowolnych z przedziału .



Dowód 12.13.


Gdy nierówność z tezy twierdzenia




gdy , wynika z definicji wypukłości. Następnie dowodzimy dla implikacji










(szczegóły zawarte są w ćwiczeniach do tego modułu). Stąd na mocy
zasady indukcji matematycznej wynika prawdziwość twierdzenia.



Warunek spełniają liczby postaci
, gdzie
są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Oznaczmy przez
sumę liczb i analogicznie przez
sumę iloczynów .
Nierówność Jensena możemy również sformułować następująco:
Wniosek 12.14.


Jeśli jest wypukła w przedziale
, to zachodzi nierówność


czyli


dla dowolnych liczb z przedziału i dla dowolnych liczb dodatnich .


Przykład 12.15.


Funkcja jest
wypukła, więc podstawiając w nierówności Jensena , gdzie są dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi oraz otrzymujemy



nierówność pomiędzy średnią geometryczną a średnią arytmetyczną liczb dodatnich .
Podstawiając z kolei w otrzymanej nierówności ,
otrzymamy


czyli


nierówność między średnią geometryczną a średnią harmoniczną liczb dodatnich .


Wykazaliśmy w ten sposób nierówność pomiędzy średnią harmoniczną, geometryczną i arytmetyczną.



Rysunek do uwagi 12.17.

Wniosek 12.16.


Dla dowolnych liczb rzeczywistych
dodatnich zachodzi nierówność



gdzie



są odpowiednio średnimi: harmoniczną, geometryczną i arytmetyczną
liczb dodatnich .




Uwaga 12.17.

W przypadku dwóch liczb dodatnich
otrzymana nierówność ma klarowną interpretację
geometryczną. Mając dane dwie proste prostopadłe , ,
przecinające się w punkcie , odkładamy na jednej z nich, np. na
prostej odcinki długości oraz tak, aby ,
i . Niech będzie środkiem odcinka
. Kreślimy okrąg o środku i promieniu .
Niech będzie punktem styczności stycznej poprowadzonej do
okręgu z punktu . Łatwo spostrzec, że
jest średnią arytmetyczną odcinków i . Nietrudno też
dowieść (stosując twierdzenie Pitagorasa do boków trójkąta
prostokątnego ), że odcinek stycznej
jest średnią geometryczną danych odcinków. Warto też dostrzec
podobieństwo trójkątów prostokątnych i , gdzie jest rzutem prostopadłym punktu na prostą .
Odcinek jest średnią harmoniczną
danych odcinków , . Z interpretacji tej jasno wynika, że w
przypadku, gdy w nierówności między średnimi mamy zawsze
nierówność ostrą:


Gdy punkt zmierza do (czyli, gdy zmierza do ),
promień i punkt zmierza do . W granicznym
przypadku, gdy , mamy oraz i rezultacie trzy
średnie: harmoniczna, geometryczna i arytmetyczna są równe.
Jeśli ustalimy , natomiast punkt zmierza do , to
, punkt zmierza do i w ten sposób średnia
geometryczna i średnia harmoniczna liczb , zmierzają do
zera, a średnia arytmetyczna do .
Jeśli ustalimy punkt , a punkt będzie oddalał się w prawo
po prostej do nieskończoności, to , punkt
będzie również oddalał się nieograniczenie od punktu i w
rezultacie trzy średnie będą zmierzały do nieskończoności.


Jako wniosek z nierówności Jensena w ramach ćwiczeń
dowodzimy nierówności H�śldera i nierówności Minkowskiego.


Twierdzenie 12.18. [nierówność H�śldera]


Jeśli ,
są liczbami dodatnimi spełniającymi równość
, to dla dowolnych liczb rzeczywistych
zachodzi nierówność

gdzie jest liczbą naturalną.



Twierdzenie 12.19. [nierówność Minkowskiego]


Jeśli jest dowolną liczbą rzeczywistą, to dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi nierówność


gdzie jest liczbą naturalną.

[Edytuj]Badanie przebiegu zmienności funkcji
Uwaga 12.20.

Klasyczny schemat badania przebiegu
zmienności funkcji jednej zmiennej obejmuje:
(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.
(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa,
parzysta, nieparzysta.
(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach
przedziałów, z których w sumie składa się dziedzina funkcji, z
wyszczególnieniem końców przedziałów, w których funkcja jest
ciągła.
(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych,
ukośnych.
(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych
wykresu funkcji, np. miejsc zerowych, wartości w zerze;
wyznaczenie zbioru, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie,
ujemne.
(6) Badanie pierwszej pochodnej:

określenie dziedziny pochodnej;

wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz zbioru, w którym pochodna jest dodatnia, ujemna.

(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.
(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.
(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:

określenie dziedziny drugiej pochodnej;

wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz zbioru, w którym druga pochodna jest dodatnia, ujemna.

(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punktów przegięcia funkcji.
(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.
(12) Sporządzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.


Powstaje oczywiste pytanie, na ile ten klasyczny schemat jest
aktualny i potrzebny dziś, gdy dysponujemy komputerami z
zainstalowanymi programami do obliczeń symbolicznych (np.
MATHEMATICA, MAPLE) i zamiast wykonywać żmudne rachunki wymienione
w punktach od (1) do (11) możemy od ręki obejrzeć wykres
interesującej nas funkcji, czyli zacząć i skończyć badanie funkcji
na punkcie (12).
Wszystkich, którzy podzielają pogląd, że klasyczny schemat badania
funkcji jest przeżytkiem, prosimy o skonstruowanie wykresu funkcji

np. za pomocą programu MATHEMATICA przez wypisanie w tym programie poleceń
f = (x+3)Exp[(x+1)/(x-1)]

oraz

Plot[f, x, -5.0, 5.0]

a następnie prosimy o odczytanie z otrzymanego rysunku
jakichkolwiek punktów charakterystycznych funkcji .



Rysunek do przykładu 12.21.



Rysunek do przykładu 12.21.



Rysunek do przykładu 12.21.



Rysunek do przykładu 12.21.



Rysunek do przykładu 12.21.



Rysunek do przykładu 12.21.



Rysunek do przykładu 12.21.

Wobec oczywistej porażki (z wykresu, który przedstawia fragment niemal pionowej linii w pobliżu punktu można jedynie odczytać, że w zaproponowanym przedziale funkcja przyjmuje duże
wartości) powstaje potrzeba co najmniej powierzchownej analizy, która
pozwoliłaby oszacować przedział, w którym funkcja może osiągać
ekstrema. Próba poszukiwania po omacku metodą wybierania przedziału argumentów na chybił trafił
być może po wielu próbach przyniosłaby zadawalający wynik w postaci
przybliżonej, jednak prosta analiza znaku pochodnej danej funkcji
znacznie szybciej prowadzi do
znalezienia wszystkich ekstremów i innych punktów charakterystycznych
danej funkcji i to w postaci dokładnej. Prześledźmy więc następujący
przykład:

Przykład 12.21.


Klasyczny schemat badania funkcji



Obliczenia możemy
wykonać samodzielnie, bądź wykorzystać procedury, które oferuje
program do obliczeń symbolicznych (MATHEMATICA, MAPLE lub inny).
(1) Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, na który
składa się suma przedziałów , w
których funkcja jest ciągła (będąc złożeniem funkcji ciągłych
w obu przedziałach) oraz punkt , w którym funkcja może
nie mieć granicy.
(2) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ani
okresowa.
(3) Wyznaczmy granice funkcji na końcach przedziałów
ciągłości


Funkcja nie ma granicy w punkcie , nie jest więc ciągła w tym
punkcie.
(4) Z punktu 3. wynika, że funkcja ma asymptotę pionową
prawostronną w punkcie i nie ma asymptot poziomych, co nie
wyklucza istnienia asymptot ukośnych.

Sprawdzamy, czy istnieje
granica ilorazu przy i przy
:

Wobec istnienia tych granic wyznaczamy granice różnic (zob.
przykład zastosowania reguły de l'Hospitala w poprzednim module):

Wynika stąd, że prosta jest asymptotą ukośną wykresu
funkcji zarówno przy jak i przy .
Funkcja w przedziale osiąga wartości w
przedziale .
Stąd ograniczenie zbioru wartości na
wykresie generowanym przez program MATHEMATICA do tego przedziału,
nieco poprawia wygląd wykresu funkcji .

Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -5, 5}, PlotRange -> {0,10 Exp[1]}]

(5) Funkcja ma dwa miejsca zerowe. Są to punkty
oraz . Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie
wartości dodatnie, więc czynnik jest
dodatni. Na znak funkcji ma wpływ jedynie czynnik . Wobec
tego funkcja

jest ujemna w przedziale ,

jest dodatnia w przedziałach oraz ,

przyjmuje wartość zero w punktach oraz .

Ponadto .
Z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą
na zbiorze zwartym wynika, że funkcja osiąga maksimum wewnątrz
przedziału . Ponieważ jest ciągła w przedziale i zmierza do nieskończoności, gdy oraz
, więc osiąga minimum lokalne w co najmniej jednym
punkcie .
(6) Badanie pierwszej pochodnej




Dziedziną pierwszej pochodnej jest suma przedziałów

Miejscami zerowymi pierwszej pochodnej są oraz .

Pochodna jest dodatnia w zbiorze


i jest ujemna w zbiorze


(7) W oparciu o dane z punktu (6) wnioskujemy, że
funkcja rośnie w przedziałach


i maleje w przedziałach


(8) Zbiór punktów krytycznych funkcji składa się z
trzech elementów:



to jest miejsc zerowych pochodnej , oraz punktu , który
należy do dziedziny funkcji i nie należy do dziedziny pochodnej. Z
punktu 7. wynika, że

w punkcie funkcja osiąga maksimum lokalne ,

w punkcie funkcja osiąga minimum lokalne ,

w punkcie funkcja osiąga minimum lokalne

Widzimy więc, że rysując wykres funkcji, musimy zadbać o to, aby
zbiór wartości funkcji na wykresie zawierał co najmniej wartości
oraz .
Można np. przyjąć oraz i
skorzystać z polecenia programu MATHEMATICA:

Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -6, 8}, PlotRange ->{-10, 50}]

które wygeneruje wykres funkcji i jej asymptoty ukośnej w zadanym obszarze płaszczyzny.
Dodatkowe polecenie

PlotPoints -> 1024

zwiększa rozdzielczość rysunku

PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.3], Dashing[{0.02,0.03}]}}

rysuje wykres funkcji
w kolorze zadanym przez Hue[0.95] o grubości Thickness[0.007] oraz
asymptotę ukośną tej funkcji kolorem Hue[0.95] linią przerywaną
zefiniowaną za pomocą Dashing[0.02,0.03] natomiast

AspectRatio -> 5/2

(stosunek wysokości do szerokości ) zmienia format rysunku. Ostatecznie:

Plot[{f, Exp[1]x+5Exp[1]}, {x, -6, 8},
PlotRange -> {-10,50},
PlotPoints -> 1024,
PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.3], Dashing[{0.02,0.03}]}},
AspectRatio -> 5/2]

(9) Druga pochodna funkcji



jest określona w zbiorze



Przyjmuje wartości dodatnie w zbiorze



a ujemne w zbiorze



Jedynym punktem, w którym zeruje się druga pochodna, jest
.
(10) W oparciu o dane (z punktu (9)) o znaku drugiej pochodnej wnioskujemy, że funkcja jest (ściśle) wypukła w przedziałach


i jest (ściśle) wklęsła w przedziale


Stąd punkt , w którym funkcja przyjmuje wartość



jest jedynym punktem przegięcia funkcji.
Program MATHEMATICA po wpisaniu polecenia

Plot[{f, y}, {x, -1, 1.5},
PlotRange -> {-1,3},
PlotPoints -> 1024,
PlotStyle -> {{Hue[0.95], Thickness[0.007]}, {Hue[0.5]}},
AspectRatio -> 1]

kreśli w przedziale wykres funkcji
i stycznej do wykresu o równaniu w
punkcie przegięcia .
(11) Zebranie wszystkich punktów charakterystycznych
funkcji (miejsca punkty nieciągłości, miejsca zerowe funkcji,
jej pierwszej i drugiej pochodnej, ekstrema, punkty przegięcia) w
jednej tabeli usprawnia przygotowanie starannego wykresu.
(12) Na wykresie staramy się przedstawić wszystkie punkty

charakterystyczne funkcji jak też jej asymptoty.



Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_12:_Wypuk%C5%82o%C5%9B%C4%87._Badanie_funkcji_jednej_zmiennej"







if (window.isMSIE55) fixalpha();

Nawigacja


Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT





Szukaj



 



Napisz do nas

[e-mail]






Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 13:19, 18 wrz 2006; Tę stronę obejrzano 15685 razy; O Wikipedii Disclaimers





_uacct = "UA-321791-4";
urchinTracker();