BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
1
f (x) =� x2 +�
x
1) Dziedzina funkcji
Mianowniki muszą być różne od zera, stąd:
x ą� 0
(�-� Ą� ; 0)��� (0 ; +� Ą�)
D=�� \{0}=
2) Punkty przecięcia z osiami.
x f (x) =� 0
Punkt leży na osi , gdy:
1 x3 +�1
2
��
Do wykresu funkcji należy punkt (-1 ; 0).
x +� =� 0 �� =� 0 �� x =� -�1
x x
y
Punkt leży na osi , gdy: x =� 0.
y
Liczba 0 nie należy do dziedziny, a zatem nie ma punktów na osi .
3) Parzystość i nieparzystość funkcji.
f (-�x) f (x)
Funkcja jest parzysta, gdy =
1 1
2
f (-�x) (�-� x)� +� =� x2 -� , czyli ą� . Funkcja nie jest parzysta.
f (-�x) f (x)
=
-� x x
f (-�x) -� f (x)
Funkcja jest nieparzysta, gdy =
1 1
ć� ��
2
-� f (x) f (-�x) -� f (x)
-� x2 +� -� x -�
= �� �� = , czyli: ą� . Funkcja nie jest nieparzysta.
x x
Ł� ł�
4) Granice na końcach przedziałów określoności funkcji.
1 1
ć� �� ć� ��
x2 +� =� x2 +� =�
lim �� �� Ą� -� 0 =� Ą� lim �� �� Ą� +� 0 =� Ą�
x �� -� Ą� x �� +� Ą�
x x
Ł� ł� Ł� ł�
5) Asymptoty.
a) Asymptota pionowa istnieje gdy w punktach nieokreśloności granica funkcji jest równa
Ą�
ą� .
1 1
ć� �� ć� ��
lim x2 +� =� -� Ą� lim x2 +� =� +� Ą�
�� �� 0 -� Ą� = �� �� 0 +� Ą� =�
x �� 0 -� x x �� 0 +� x
Ł� ł� Ł� ł�
Funkcja ma asymptotę pionową: x =� 0.
y =� a
b) Funkcja ma asymptotę poziomą gdy istnieje granica funkcji w nieskończoności.
1 1
ć� �� ć� ��
x2 +� =� x2 +� =�
lim �� �� Ą� -� 0 =� Ą� lim �� �� Ą� +� 0 =� Ą�
x �� -� Ą� x �� +� Ą�
x x
Ł� ł� Ł� ł�
Funkcja nie ma asymptoty poziomej..
f (x)
y =� ax +� b
c) Funkcja ma asymptotę ukośną: , gdy granica funkcji w nieskończoności
x
a
równa jest różna od zera i
f (x) -� ax f (x) -� ax
lim b �� lim b
( ) = ( ) =
x �� -� Ą� x �� +� Ą�
f (x) 1 1 1
ć� �� ć� ��
x2 +� =� x +� =� Ą�
lim =� lim �� �� lim �� ��
2
x �� ą� Ą� x �� ą� Ą� x �� ą� Ą�
x x x
x
Ł� ł� Ł� ł�
1
a
f (x) =� x2 +�
Funkcja nie ma asymptoty ukośnej, ponieważ liczba nie istnieje.
x
6) Pochodna funkcji.
'
1
f '(x) 2x -�
= ć� 1 �� (x2 +� x-�1)' = =
x2 +� =� 2x -� x-�2
�� ��
x2
x
Ł� ł�
7) Przedziały monotoniczności
f '(x) >� 0
Funkcja jest rosnąca w przedziale, jeżeli w tym przedziale.
f '(x) <� 0
Funkcja jest malejąca w przedziale, jeżeli w tym przedziale.
1
2x -� > 0
x2
2x3 -�1
>� 0
x2
> 0 Ł� x ą� 0
2x3 -�1
��
1 1
3 3
3
2x >� 1�� x >� �� x >� � 0,8
2 2
��
x �� (3 0,5 ; +� Ą�) funkcja jest rosnąca.
��
x �� (-�Ą�;0) �� (0 ;3 0,5) funkcja jest malejąca.
8) Ekstrema lokalne funkcji.
(x0; y0 )
Funkcja ma ekstremum lokalne lub punkt przegięcia w punkcie , jeżeli pochodna funkcji w
tym punkcie równa się zero.
1
2x3 -�1 1
3
�� �� ��
2x -� = 0 x =� � 0,8
=� 0 2x3 =� 1
x2
x2 2
1
f (0,8) 0,82 +� � 0,64 +�1,25 � 1,9
=
0,8
Funkcja ma ekstremum w punkcie (0,8 ;1,9)
9) Tabela i wykres funkcji.
-� Ą�
x +� Ą�
... -1 ... 0 ... 0,8 ...
f '(x)
- - - - # - 0 + +
+� Ą�
+� Ą�
f (x) 0 1,9
#
+� Ą�