BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
1
f (x) = x2 +
x
1) Dziedzina funkcji
Mianowniki muszą być różne od zera, stąd:
x ą 0
(- Ą ; 0) (0 ; + Ą)
D= \{0}=
2) Punkty przecięcia z osiami.
x f (x) = 0
Punkt leży na osi , gdy:
1 x3 +1
2
Do wykresu funkcji należy punkt (-1 ; 0).
x + = 0 = 0 x = -1
x x
y
Punkt leży na osi , gdy: x = 0.
y
Liczba 0 nie należy do dziedziny, a zatem nie ma punktów na osi .
3) Parzystość i nieparzystość funkcji.
f (-x) f (x)
Funkcja jest parzysta, gdy =
1 1
2
f (-x) (- x) + = x2 - , czyli ą . Funkcja nie jest parzysta.
f (-x) f (x)
=
- x x
f (-x) - f (x)
Funkcja jest nieparzysta, gdy =
1 1
ć
2
- f (x) f (-x) - f (x)
- x2 + - x -
= = , czyli: ą . Funkcja nie jest nieparzysta.
x x
Ł ł
4) Granice na końcach przedziałów określoności funkcji.
1 1
ć ć
x2 + = x2 + =
lim Ą - 0 = Ą lim Ą + 0 = Ą
x - Ą x + Ą
x x
Ł ł Ł ł
5) Asymptoty.
a) Asymptota pionowa istnieje gdy w punktach nieokreśloności granica funkcji jest równa
Ą
ą .
1 1
ć ć
lim x2 + = - Ą lim x2 + = + Ą
0 - Ą = 0 + Ą =
x 0 - x x 0 + x
Ł ł Ł ł
Funkcja ma asymptotę pionową: x = 0.
y = a
b) Funkcja ma asymptotę poziomą gdy istnieje granica funkcji w nieskończoności.
1 1
ć ć
x2 + = x2 + =
lim Ą - 0 = Ą lim Ą + 0 = Ą
x - Ą x + Ą
x x
Ł ł Ł ł
Funkcja nie ma asymptoty poziomej..
f (x)
y = ax + b
c) Funkcja ma asymptotę ukośną: , gdy granica funkcji w nieskończoności
x
a
równa jest różna od zera i
f (x) - ax f (x) - ax
lim b lim b
( ) = ( ) =
x - Ą x + Ą
f (x) 1 1 1
ć ć
x2 + = x + = Ą
lim = lim lim
2
x ą Ą x ą Ą x ą Ą
x x x
x
Ł ł Ł ł
1
a
f (x) = x2 +
Funkcja nie ma asymptoty ukośnej, ponieważ liczba nie istnieje.
x
6) Pochodna funkcji.
'
1
f '(x) 2x -
= ć 1 (x2 + x-1)' = =
x2 + = 2x - x-2
x2
x
Ł ł
7) Przedziały monotoniczności
f '(x) > 0
Funkcja jest rosnąca w przedziale, jeżeli w tym przedziale.
f '(x) < 0
Funkcja jest malejąca w przedziale, jeżeli w tym przedziale.
1
2x - > 0
x2
2x3 -1
> 0
x2
> 0 Ł x ą 0
2x3 -1
1 1
3 3
3
2x > 1 x > x > 0,8
2 2
x (3 0,5 ; + Ą) funkcja jest rosnąca.
x (-Ą;0) (0 ;3 0,5) funkcja jest malejąca.
8) Ekstrema lokalne funkcji.
(x0; y0 )
Funkcja ma ekstremum lokalne lub punkt przegięcia w punkcie , jeżeli pochodna funkcji w
tym punkcie równa się zero.
1
2x3 -1 1
3
2x - = 0 x = 0,8
= 0 2x3 = 1
x2
x2 2
1
f (0,8) 0,82 + 0,64 +1,25 1,9
=
0,8
Funkcja ma ekstremum w punkcie (0,8 ;1,9)
9) Tabela i wykres funkcji.
- Ą
x + Ą
... -1 ... 0 ... 0,8 ...
f '(x)
- - - - # - 0 + +
+ Ą
+ Ą
f (x) 0 1,9
#
+ Ą
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wyklad 11 sII Badanie funkcji białek060 Tw de L Hospitala, badanie funkcjibadanie funkcji różniczkowalnycha6 badanie funkcjibadanie funkcjibadanie funkcjiWypukłość Badanie funkcji jednej zmiennejSprawozdanie z badania parametrów funkcjonalnych czujników odległości Godlewski, Sala, Sieradzki6 Zastosowanie pochodnych do badania własności funkcjiWójcik, Marcin Funkcjonalizm w geograficznych badaniach wsi (2013)badanie rpzebiegu zmiennosci funkcji analizabadanie zmiennosci przebiegu funkcji8 badanie przebiegu zmienności funkcjiGeneza i funkcjonowanie mitu arkadyjskiegoFundacje i Stowarzyszenia zasady funkcjonowania i opodatkowania ebookintegracja funkcjiwięcej podobnych podstron