Twierdzenie (reguła de L Hospitala)
Założenia
f , g : (a,b)\ {x0} R
f , g " D((a,b)\ {x0})
x0 "[a,b]
, x0  punkt skupienia zbioru (a,b), tzn.
2
g (x) `" 0
x "(a,b)\ {x0}
lim f (x) = lim g(x) = 0
xx0 xx0
lub
lim f (x) = lim g(x) = Ä…"
xx0 xx0
Teza
2
f (x) f (x) f (x)
" lim = c Ò! " lim '" lim = c
xx0 xx0 xx0
2
g (x) g(x) g(x)
Dowód
lim f (x) = lim g(x) = 0
Tylko przypadek:
xx0 xx0
f g (a,b)*"{x0}
Rozszerzmy funkcje i na przedział
f (x0 ):= 0
g(x0 ):= 0
f (x)
lim
Do udowodnienia istnienia wykorzystamy definicjÄ™ Heinego granicy funkcji.
xx0
g(x)
(xn `" x0 )
çÅ‚
çÅ‚
xn "(a,b) xn çÅ‚n" x0
Niech i .
?
f (xn )
lim
Pytanie:
n+"
g(xn )=c
2
f (xn ) f (cn )
Ò! "cn "(x0 , xn ) cn "(xn, x0):
Z twierdzenia Cauchy ego lub =
2
g(xn ) g (cn )
xn çÅ‚n" x0 Ò! cn çÅ‚n" x0
çÅ‚ çÅ‚
çÅ‚ çÅ‚
0 < cn - x0 = ¸n(xn - x0) < xn - x0
(na postawie twierdzenia o trzech ciągach, ponieważ )
1
2
f (x)
lim = c
Z istnienia granicy wynika, że
xx0
2
g (x)
2
f (cn)
" lim = c
n+"
2
g (cn)
2
f (xn)
2
f (xn ) f (cn )
" lim = c
z czego na postawie równości = wynika
n+"
2
g (xn)
2
g(xn ) g (cn )
Uwaga
2
f (x)
f (x)
lim
lim
Z istnienia wynika istnienie , ale nie na odwrót.
xx0 xx0
2
g (x) g(x)
Przykład
1
f (x) = x2 sin
g(x) = sin x x "(0,1)
x0 = 0
Niech , dla oraz niech .
x
Wtedy
1 1 1
öÅ‚
1 1
2x Å"sin + x2 Å"cos Å"ëÅ‚- ÷Å‚
ìÅ‚
2x Å"sin - cos
2 2
f (x) f (x)
x x x2 Å‚Å‚ = lim
íÅ‚
x x
lim = lim Ò!~ " lim
x0+ x0+ x0+ x0+
2 2
g (x) cos x cos x g (x)
f (x)
lim
lecz stąd nie możemy wnioskować o nie istnieniu , ponieważ
x0+
g(x)
1
x2 sin
f (x) x 1 f (x)
x
lim = lim == lim x sin = 0 Ò! " lim
x0+ x0+ x0+ x0+
g(x) sin x sin x x g(x)
Uzupełnienie
Ć
x0 " R
f , g " D(R)
Regułę de L Hospitala można rozszerzyć na funkcje i .
Symbole nieoznaczone:
0 "
, ,0 Å" "," - ",00 ,"0 ,1"
0 "
2
Przykłady
n " N
H H
xn " nxn-1 H n!Å"x n!
îÅ‚ Å‚Å‚
lim xn Å" e-x = [" Å" 0]= lim = = lim =& = lim = lim = 0
x+" x+" x+"
ex ïÅ‚"śł x+" ex ex x+" ex
ðÅ‚ ûÅ‚
H H
lnk x " k Å"lnk-1 x " k(k -1)Å"lnk-2 x k!
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
lim = = lim = = lim = & = lim = 0
ïÅ‚"śł ïÅ‚"śł
x+" x+" x+" x+"
x x x x
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
opracował Paweł Sztur
3