3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
1
Zadanie 1.
: XUQLH ]QDMGXMH VL SRF]WNRZR NXO ELDá\FK L NXO F]DUQ\FK
'RZLDGF]HQLH SROHJD QD NROHMQ\P NURWQ\P ORVRZDQLX EH] ]ZUDFDQLD SR MHGQHM
NXOL 5R]ZD*P\ ]GDU]HQLD ORVRZH
2
1
, A
A
oraz
3
A
RNUHORQH Z WDNL VSRVyE
1
A
ÄZ SLHUZV]\FK FK ORVRZDQLDFK SRMDZL VL NXOH ELDáH L F]DUQH´
2
A
ÄZ SLHUZV]\FK FLX ORVRZDQLDFK SRMDZL VL NXOH ELDáH L F]DUQH´
3
A
ÄZ RVWDWQLFK FK ORVRZDQLDFK SRMDZL VL NXOH ELDáH L F]DUQH´
.WyUH ] SRQL*V]\FK ]GD MHVW SUDZG]LZH"
(A)
(
) (
) (
)
2
3
2
1
2
3
1
Pr
Pr
Pr
A
A
A
A
A
A
A
⋅
=
∩
(B)
(
) (
) (
)
1
3
1
2
1
3
2
Pr
Pr
Pr
A
A
A
A
A
A
A
⋅
=
∩
(C)
(
)
1
2
1
2
3
2
4
20
2
10
6
20
3
10
Pr
−
−
⋅
⋅
⋅
=
∩
A
A
(D)
(
) (
)
1
3
2
1
3
Pr
Pr
A
A
A
A
A
=
∩
(E)
( )
( )
2
3
Pr
Pr
A
A
=
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
2
Zadanie 2. Niech
,
,
,
,
1
0
n
X
X
X
EG QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R
UR]NáDG]LH MHGQRVWDMQ\P QD SU]HG]LDOH
( )
1
,
0
. Zmienna losowa N oznacza numer
pierwszej ze zmiennych
,
,
,
1
n
X
X
NWyUD MHVW ZLNV]D QL*
0
X :
{
}
{
}
0
,
3
,
2
,
1
:
inf
X
X
oraz
k
k
N
k
>
∈
=
.
(
)
0
X
X
E
N
−
wynosi:
(A)
1
1
+
N
(B)
2
1
(C)
2
1
0
X
−
(D)
4
1
(E)
3
1
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
3
Zadanie 3. Zmienne losowe U oraz V
PDM áF]Q JVWRü SUDZGRSRGRELHVWZD
( )
≤
+
≥
≥
=
przypadku
przeciwnym
w
v
u
i
v
u
dla
v
u
f
0
1
0
,
0
4
,
2
2
π
Niech
2
2
2
V
U
U
X
+
=
. Zmienna losowa X
PD UR]NáDG
A)
beta
(
)
5
.
0
,
5
.
0
Be
(B)
R JVWRFL
( )
x
x
g
2
=
dla
1
0
≤
≤
x
(C)
beta
( )
2
,
2
Be
(D)
R JVWRFL
( ) ( )
(
)
1
2
1
2
−
+
⋅
=
x
x
g
π
dla
0
≥
x
(D)
jednostajny na przedziale
( )
1
,
0
Uwaga
UR]NáDG EHWD
(
)
β
α
,
Be
PD ] GHILQLFML JVWRü
( )
(
)
( ) ( )
(
)
1
1
1
−
−
−
⋅
⋅
Γ
⋅
Γ
+
Γ
=
β
α
β
α
β
α
x
x
x
g
dla
1
0
≤
≤
x
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
4
Zadanie 4. Wykonano n
GRZLDGF]H ]JRGQLH ]H VFKHPDWHP Bernoulli’ego, z
SUDZGRSRGRELHVWZHP VXNFHVX
3
1
=
p
. Liczba n
GRZLDGF]H MHVW QLH]QDQ\P
SDUDPHWUHP 2ND]DáR VL *H OLF]ED SRUD*HN MHVW R ZLNV]D QL* OLF]ED VXNFHVyZ
:DUWRü HVW\PDWRUD QDMZLNV]HM ZLDU\JRGQRFL nˆ parametru n Z\QLRVáD
(A)
12
(B)
8
(C)
7
(D)
6
(E)
4
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
5
Zadanie 5.
:LDGRPR *H
n
X
X
X
,
,
,
2
1
MHVW SURVW SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX
normalnego
(
)
1
,
θ
µ −
N
]D
n
Y
Y
Y
,
,
,
2
1
MHVW QLH]DOH*Q SUyE ] UR]NáDGX
(
)
1
,
θ
µ +
N
. Liczby
µ
i
θ
V QLH]QDQ\PL SDUDPHWUDPL 5R]SDWUXMHP\ ]DGDQLH
testowania hipotezy:
0
:
0
=
θ
H
przeciw alternatywie:
2
1
:
1
=
θ
H
.
Dla jakich n
PR*QD VNRQVWUXRZDü WHVW QD SR]LRPLH LVWRWQRFL R PRF\ SU]\QDMPQLHM
0.95?
(A)
Wtedy i tylko wtedy, gdy
22
11
≤
≤
n
(B)
Wtedy i tylko wtedy, gdy
11
≥
n
(C)
Wtedy i tylko wtedy, gdy
22
≥
n
(D)
Wtedy i tylko wtedy, gdy
6
≥
n
(E)
Wtedy i tylko wtedy, gdy
100
≥
n
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
6
Zadanie 6.
=DNáDGDP\ *H
5
4
3
2
1
,
,
,
,
X
X
X
X
X
MHVW SURVW SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX R
JVWRFL
( )
≤
≤
⋅
=
−
przypadku
przeciwnym
w
x
dla
x
x
f
0
1
0
1
θ
θ
θ
gdzie
0
>
θ
jest nieznanym parametrem.
&KFHP\ VNRQVWUXRZDü SU]HG]LDá XIQRFL
[ ]
θ
θ
,
dla parametru
θ
(na poziomie
90
.
0
1
=
−
α
WDN *HE\
(
)
(
)
θ
θ
θ
θ
θ
θ
>
=
=
<
Pr
05
.
0
Pr
.
.WyU\ ] SRGDQ\FK SRQL*HM SU]HG]LDáyZ PD *GDQH ZáDVQRFL"
Uwaga: stosujemy oznaczenie
( )
∑
=
−
=
5
1
ln
i
i
X
S
(A)
S
S
31
.
18
,
94
.
3
(B)
⋅
⋅
S
S
2
07
.
11
,
2
15
.
1
(C)
⋅
⋅
S
S
2
31
.
18
,
2
94
.
3
(D)
S
S
07
.
11
,
15
.
1
(E)
[
]
S
S
⋅
⋅
31
.
18
,
94
.
3
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
7
Zadanie 7.
=DNáDGDP\ *H
20
2
1
,
,
,
X
X
X
V QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R
UR]NáDG]LH QRUPDOQ\P
(
)
2
,
σ
µ
N
. Niech:
15
1
X
X
Y
+
+
=
i
20
6
X
X
Z
+
+
=
.
:DUXQNRZD ZDUWRü RF]HNLZDQD
( )
Y
Z
E
wynosi:
(A)
µ
15
(B)
µ
5
(C)
Y
⋅
3
2
(D)
Y
⋅
−
3
1
20
µ
(E)
µ
5
3
2
+
⋅
Y
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
8
Zadanie 8.
àDFXFK 0DUNRZD PD GZD VWDQ\
2
1
, E
E
L PDFLHU] SU]HMFLD
5
.
0
5
.
0
1
0
.
Niech
n
X
R]QDF]D VWDQ Z NWyU\P ]QDMGXMH VL áDFXFK SR GRNRQDQLX n kroków
(
)
,
1
,
0
=
n
)XQNFM f QD ]ELRU]H VWDQyZ RNUHODP\ Z]RUHP
( )
i
E
f
i
=
dla
2
,
1
=
i
.
Niech
( ) (
)
[
]
1
,
lim
+
∞
→
=
n
n
n
X
f
X
f
COV
c
.
Granica c wynosi:
(A)
9
1
(B)
9
1
−
(C)
:DUWRü c ]DOH*\ RG SRF]WNRZHJR VWDQX áDFXFKD
(D)
0
(E)
1
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
9
Zadanie 9. Niech
n
X
X
X
,
,
,
2
1
EG]LH SURVW SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX R JVWRFL
( )
≥
⋅
=
−
−
przypadku
przeciwnym
w
c
x
dla
e
x
f
c
x
c
0
1
,
µ
µ
µ
Gdzie
R
c
∈
i
0
>
µ
V QLH]QDQ\PL SDUDPHWUDPL .WyU\ ] SRGDQ\FK Z]RUyZ RNUHOD
QLHREFL*RQ\ GOD GRZROQHJR
1
>
n
) estymator parametru
µ
?
(A)
{
}
n
n
i
i
X
X
n
n
X
n
,
,
min
1
1
1
ˆ
1
1
⋅
−
−
⋅
−
=
∑
=
µ
(B)
{
}
n
n
i
i
X
X
X
n
,
,
min
1
ˆ
1
1
−
⋅
=
∑
=
µ
(C)
{
}
n
n
i
i
X
X
n
n
X
n
,
,
min
1
1
ˆ
1
1
⋅
−
−
⋅
=
∑
=
µ
(D)
{
}
n
n
i
i
X
X
X
n
,
,
min
1
1
ˆ
1
1
−
⋅
−
=
∑
=
µ
(E)
Nie is
WQLHMH QLHREFL*RQ\ HVW\PDWRU SDUDPHWUX
µ
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
10
Zadanie 10.
=DNáDGDP\ *H
n
X
X
X
,
,
,
2
1
MHVW SURVW SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX
normalnego
(
)
2
2
,
µ
γ
µ
N
, gdzie
R
∈
µ
MHVW QLH]QDQ\P SDUDPHWUHP ]D
2
γ
- znanym
ZVSyáF]\QQLNLHP 3RV]XNXMHP\ HVW\PDWRUD SDUDPHWUX
µ
postaci:
n
n
X
c
X
c
+
+
=
1
1
ˆ
µ
,
NWyU\ PD MHGQRVWDMQLH WR ]QDF]\ GOD ND*GHJR
µ
QDMPQLHMV]\ EáG UHGQLRNZDGUDWRZ\
(
)
2
ˆ
µ
µ
µ
−
E
ZUyG HVW\PDWRUyZ UR]SDWU\ZDQHM SRVWDFL
(A)
Nie ma takiego estymatora.
(B)
7DN ZáDVQRü PD
X
=
µ
ˆ
, czyli estymator dla którego
n
c
c
n
1
1
=
=
=
(C)
7DN ZáDVQRü PD HVW\PDWRU GOD NWyUHJR
2
1
1
γ
+
=
n
c
,
2
2
2
1
γ
+
=
n
c
,
2
3
3
1
γ
+
=
n
c
, ... ,
2
1
γ
n
n
c
n
+
=
.
(D)
7DN ZáDVQRü PD HVW\PDWRU GOD NWyUHJR
2
1
1
γ
+
=
=
=
n
c
c
n
(E)
7DN ZáDVQRü PD HVW\PDWRU GOD NWyUHJR
(
)
2
1
1
1
γ
+
⋅
=
=
=
n
c
c
n
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
11
Egzamin dla Aktuariuszy z 28 lutego 1998 r.
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
Arkusz odpowiedzi
*
,PL L QD]ZLVNR ./8&= 2'32:,('=,
Pesel ...........................................
Zadanie nr
2GSRZLHG( Punktacja
♦
1
A
2
D
3
D
4
B
5
C
6
C
7
E
8
B
9
A
10
D
*
2FHQLDQH V Z\áF]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z Arkuszu odpowiedzi.
♦
:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD