1

Reprezentacja informacji w

komputerze

2

Forma informacji

• Komunikat zawierający tę samą informację

może mieć różną formę, np.:

– 100 mil/h = 44.4 m/sek,

• Ten sam komunikat może być zapisany:

– alfabetem łacińskim,
– Arabskim
– albo pismem Brailla

• itd.

3

Dane:

• Dane to obiekty posiadające:

– jednoznaczną nazwę
– i określoną wartość.

• Dane stanowią reprezentację informacji.
• Przykładowe typy danych:

– dane typu logicznego: „tak” lub „nie”,
– dane alfanumeryczne (alfabet + liczby),
– dane numeryczne,
– dane graficzne,
– dane alfanumeryczne o ustalonej strukturze – rekordy.
– etc.

4

Format danych

• Organizacja każdego komputera zależy w dużej mierze od

sposobu, w jaki zapisywane są w nim liczby, znaki i

informacje sterujące.

– Z jednej strony, reprezentacja danych wykorzystywanych w

procesie automatycznego przetwarzania powinna być dogodna dla

wykonywania na nich operacji przez procesor.

– Z drugiej, dane muszą być czytelne i łatwe do interpretacji przez

człowieka.

• Np. jak podzielić dwie liczby zapisane rzymskimi cyframi?

• W historii rozwoju informatyki wypracowano standardy i

konwencje odnoszące się do organizacji komputerów.

5

Format danych

• Większość danych przetwarzanych przez komputer ma postać tekstu

zapisanego znakami alfabetu stosowanego w życiu codziennym.

• Alfabet, w którym przedstawiane są dane wewnątrz maszyny

cyfrowej, zawiera dwa symbole: zero i jeden.

• Urządzenie elektroniczne korzystające z takiego dwuznakowego

alfabetu jest prostsze i bardziej niezawodne niż w przypadku

alfabetów o większej liczbie symboli.

• Fizyczną realizację tego dwuznakowego alfabetu stanowią:

– dziurka lub jej brak na karcie perforowanej,
– impuls i brak impulsu elektrycznego lub świetlnego,
– określony zwrot polaryzacji pozostałości magnetycznej lub jej zwrot

przeciwny,

– stan przewodzenia i nie przewodzenia tranzystora,
– 1 i 0 na papierze.

6

Systemy liczbowe

• W połowie XVI wieku Europejczycy za pośrednictwem

Arabów przyjęli dziesiątkowy system liczbowy, z którego

Hindusi korzystali już od 1000. lat.

• Ogólne założenia pozycyjnych systemów liczbowych:

– wartość liczby reprezentowana jest przez kolejne potęgi

podstawy systemu,

– liczba znaków stosowanych w każdym pozycyjnym

systemie liczbowym jest taka sama, jak jego podstawa,

– największa stosowana cyfra ma wartość o 1 mniejszą

od podstawy systemu.

7

Przykłady

• W systemie dziesiątkowym mamy 10 cyfr -

od 0 do 9,

• W systemie o podstawie 3 wykorzystuje się

3 cyfry: 0, 1 i 2.

• Aby zaznaczyć, w jakim systemie została

zapisana dana liczba, piszemy obok niej

podstawę np.:

– liczba 44

(10)

to dziesiętnie 44.

8

Pozycyjne systemy liczbowe o

dodatniej podstawie.

•

W systemie pozycyjnym nieujemną (n+m) pozycyjną liczbę A:

zapisuje się w postaci :

gdzie:

p – jest podstawą systemu liczbowego; |p|>1, p

∈

{2, 3, ...};

a

i

– cyfra na i-tej pozycji liczby A, a

i

∈

{0, 1, ..., p – 1};

n – liczba cyfr części całkowitej liczby A;

m – liczba cyfr części ułamkowej liczby A.

•

Przecinek lub kropka oddziela część całkowitą C

A

liczby A od jej części

ułamkowej U

A

9

Przykłady kodowania liczb

• Trzy liczby wyrażone przez wyrazy będące potęgami wybranej

podstawy:

Podstawa=10

243,56

10

=2·10

2

+4·10

1

+3·10

0

+5·10

-1

+6·10

-2

Podstawa=3

100000,12

3

≈

1·3

5

+0·3

4

+0·3

3

+0·3

2

+0·3

1

+0·3

0

+1·3

-1

+2·3

-

2

≈

243,555

10

...

Podstawa=2

11110011,10011

2

≈

1·2

7

+1·2

6

+1·2

5

+1·2

4

+0·2

3

+0·2

2

+1·2

1

+1·2

0

+1·2

-1

+0·2

-

2

+ 0· 2

-3

+1· 2

-4

+1· 2

-5

+..

≈

243,59375

10

10

Cyfry znaczące

• Podstawa pozycyjnego systemu liczbowego odpowiada

liczbie cyfr wykorzystywanych  do przedstawienia danej

liczby w tym systemie:

– jeżeli m = 0, to A jest liczbą całkowitą,
– jeżeli n = 0 , to ułamkowa.
– jeśli  natomiast m i n są niezerowymi liczbami całkowitymi, to A

jest liczbą mieszaną,

– a

n-1

jest cyfrą  najbardziej znaczącą (Most Significant Digit -

MSD),

– a

-m

to cyfra najmniej znacząca (Least Significant Digit - LSD).

11

System dwójkowy

• Dwójkowy system liczenia kojarzy się

nieodłącznie z informatyką.

– Historia binarnego systemu liczenia sięga 3000 lat

p.n.e..

– W czasach nowożytnych systemu binarnego używał już

John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał

jako a i b.

– Gottfried Leibniz (1646 - 1716), jako pierwszy

zaproponował rozszerzenie założeń obowiązujących w

systemie dziesiętnym na systemy liczbowe o innych

podstawach.

12

System dwójkowy w informatyce

• Idea zastosowania układu dwójkowego w maszynach

cyfrowych nie była wcale oczywista.

– Pierwsza elektroniczna maszyna cyfrowa ENIAC wykonywała

operacje na liczbach dziesiętnych.

– System binarny został zastosowany po raz pierwszy przez Johna

von Neumana w maszynie cyfrowej EDVAC.

• Obecnie system dwójkowy stanowi podstawę każdego

urządzenia elektronicznego sterowanego cyfrowo.

Ponieważ dzięki swej prostocie może być on z łatwością

obsługiwany przez układy elektroniczne.

13

System dwójkowy

• Podstawa rozwinięcia równa się

w tym przypadku 2, a zbiór
możliwych cyfr składa się z a

i

∈

{0, 1}.

• Kod binarny prosty – służy do

kodowania liczb dodatnich:

Potęgi 2
2

-2

=1/4= 0,25

2

-1

=1/2= 0,5

2

0

= 1

2

1

= 2

2

2

=4

2

3

=8

2

4

= 16

2

5

=32

2

6

= 64

2

7

= 128

2

8

= 256

2

9

= 512

2

10

= 1024

2

15

= 32768

==== 32 768

2

16

= 65 536

∑

−

=

=

1

0

2

n

i

i

i

a

L

[

]

1

2

,

0

−

∈

n

L

14

System dwójkowy

• Zapis liczby

11110011,100112

(2)

odczytujemy, patrząc od lewej

strony, następująco:

 

1·2

7

+1·2

6

+1·2

5

+1·2

4

+0·2

3

+0·2

2

+1·2

1

+1·2

0

+1·2

-1

+0·2

-2

+

0· 2

-3

+1· 2

-4

+

1· 2

-5

+...

≈

243,59375

10

MSB

- Most Significant Bit,

LSB

- Least Significant Bit.

• Liczba zapisana w systemie dwójkowym jako

11110011,100112

(2)

odpowiada liczbie 243,59375

10

w systemie dziesiętnym.

15

Konwersja całkowitej liczby

dziesiętnej na liczbę dwójkową

• Konwersja liczby 147

10

na system dwójkowy:

2|147

1

2 mieści się w 147, 73 razy, reszta 1

2|73

1

2 mieści się w 73, 36 razy, reszta 1

2|36

0

2 mieści się w 36, 18 razy, reszta 0

2|18

0

2 mieści się w 18, 9 razy, reszta 0

2|9

1

2 mieści się w 9, 4 razy, reszta 1

2|4

0

2 mieści się w 4, 2 razy, reszta 0

2|2

0

2 mieści się w 2, 1 raz, reszta 0

2|1

1

2 mieści się w 1, 0 razy, reszta 1

0
•

Odczytując reszty od dołu do góry, otrzymujemy: 147

10

=

10010011

2

16

Konwersja całkowitej liczby

dziesiętnej na liczbę dwójkową

• Konwersja liczby 147

10

na system dwójkowy:

147 = 146 +

1

73 = 72 +

1

36 = 36 +

0

18 = 18 +

0

9 = 8 +

1

4 = 4 +

0

2 = 2 +

0

1 = 0 +

1

• Odczytując reszty od dołu do góry, otrzymujemy: 147

10

=

10010011

2

17

Reasumując

• W celu konwersji daną liczbę całkowitą w układzie dziesiętnym,

przedstawiamy w postaci sumy

liczby parzystej

i

jedności lub zera

:

11 =

10

+

1

5 =

4

+

1

2 =

2

+

0

1 =

0

+

1

• Po zakończeniu operacji jedynki i zera kolejnych sum stanowią

poszukiwaną liczbę w zapisie dwójkowym.

– Jedynka bądź zero wyznaczone w pierwszym kroku odpowiada najmniej

znaczącej pozycji 2

0

.

– Cyfra wyznaczona w ostatnim kroku odpowiada najbardziej znaczącej

pozycji.

• Otrzymujemy więc liczbę

1011

(2)

.

18

Operacje na liczbach dwójkowych

• Stosując zapis binarny na N bitach można

zapisać liczby całkowite bez znaku z
przedziału od 0 do 2

N-1

, np. :

– na 2 bitach można zapisać wartości dziesiętne

od 0 do 3,

– na 4 bitach można zapisać wartości dziesiętne

od 0 do 15,

– na 8 - od 0 do 255.

19

Zjawisko przepełnienia

• Zakres wartości, które mogą być przedstawiane za pomocą

danej liczby bitów, ma znaczenie przy wykonywaniu operacji

arytmetycznych na liczbach dwójkowych.

– Np. załóżmy, że liczby dwójkowe mogą składać się z 4 bitów.
– Dodajemy: 15

(10)

+ 15

(10)

= 30

(10)

1111

(2)

+ 1111

(2)

= ?

liczby 30 nie da się zapisać, mając do dyspozycji jedynie 4 bity.

• Sytuację taką nazywamy przepełnieniem,

– pojawia się ona przy binarnym zapisie liczby będącej wynikiem

operacji arytmetycznej, przekraczającym zakres liczb, które można

przedstawić za pomocą określonej liczby bitów.

20

Przeliczanie ułamków

• Ułamki występujące we wszystkich systemach

liczbowych mogą być z pewnym przybliżeniem

przedstawiane w innym systemie jako ujemne

potęgi podstawy.

• Przecinek (kropka) bazowa oddziela całkowitą

część liczby od części ułamkowej.

– W system dziesiętnym przecinek bazowy nazywamy po

prostu przecinkiem dziesiętnym, natomiast w systemie

dwójkowym - przecinkiem dwójkowym.

21

Uwaga

• Ułamki, które w jednym systemie

liczbowym są okresowe, w innym systemie
mogą być dokładnie określone.

• Na przykład:

– liczba 2/3

(10)

=0,6666… w systemie

dziesiętnym jest ułamkiem okresowym,

– a w systemie trójkowym ma skończoną postać:

0,2

(3)

=2·3

-1

=2·1/3.

22

Przeliczanie ułamków

• Ułamki można przeliczać między różnymi systemami, korzystając z

metod kolejnych odejmowań i dzieleń.

• Przykładowe przeliczanie ułamka

0.4304

10

na system liczbowy o

podstawie 5:

0.4304

x 5

2.

1520 Część całkowita jest równa 2. Pomijamy ją przy kolejnym mnożeniu.

.1520

x 5 Część całkowita jest równa 0. Będzie ona potrzebna do wypełnienia

0.

7600 pustego miejsca.

.7600

x 5

3.

8000 Część całkowita jest równa 3. Pomijamy ją przy kolejnym mnożeniu.

.8000

x 5

4.

0000 Część całkowita = 4, a ułamkowa = zero.

Czytając od góry do dołu, otrzymamy: 0.4304

10

=

0.2034

5

.

23

Skończona dokładność konwersji

• Często z powodu ograniczenia dostępnej

liczby bitów, zadowalająca jest część
rozwiązania, która mieści się w założonym
zakresie dokładności.

24

Przykład

• Przeliczanie ułamka 0,34375

10

na system dwójkowy z precyzją do 4

bitów po przecinku.

0,34375
x 2

0

,68750

(wypełniacz)

,68750
X 2

1

,37500 ,

,37500
X 2

0

,75000

,75000
X 2

1

,50000

(przerywamy rachunki przy 4 bicie)

...........

•

Czytając od góry do dołu stwierdzamy, że 0,34375

10

≈

0,0101

2

...

z

dokładnością do 4 miejsc po przecinku.

25

Kod szesnastkowy

(heksadecymalny)

• Zapis binarny nie jest czytelny dla człowieka,

natomiast zapis dziesiętny wymaga każdorazowej
konwersji z zapisu binarnego.

• Dlatego do wymiany komunikatów pomiędzy

maszyną i człowiekiem stosuje się często kod
szesnastkowy (hexadecimal).

• Podstawą rozwinięcia tego systemu jest liczba

16=2

4

26

Kod szesnastkowy

• Zbiór cyfr jest rozszerzony o litery alfabetu A =

10, B = 11, ... , F = 15,

• a

i

∈

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}.

• Z tabeli wynika, że konwersja liczb

szesnastkowych na binarne i na odwrót jest prosta.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

27

Przeliczanie liczb między systemami

o podstawach 2N

• Ponieważ 16 = 2

4

, grupę 4 bitów (hekstet) można

traktować jako jedną cyfrę szesnastkową.

• Podobnie, 8 = 2

3

, grupę trzech bitów (oktet)

można traktować jak jedną cyfrę w systemie
ósemkowym.

• Zależności te pozwalają w prosty przeliczać liczby

z systemu dwójkowego na ósemkowy i
szesnastkowy.

28

Przeliczanie liczb między systemami

o podstawach 2

N

• Ponieważ 16 = 2

4

, grupę 4 bitów (hekstet) można traktować

jako jedną cyfrę szesnastkową.

• Podobnie, 8 = 2

3

, grupę trzech bitów (oktet) można

traktować jak jedną cyfrę w systemie ósemkowym.

• Zależności te pozwalają w prosty przeliczać liczby z

systemu dwójkowego na ósemkowy i szesnastkowy.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

29

Przykład

• Przeliczanie liczby 110010011101

2

na system ósemkowy i

szesnastkowy.

110 010 011 101

Grupując bity po 3

6 2 3 5

110010011101

2

= 6235

8

1100 1001 1101 Grupując bity po 4,
C 9 D

110010011101

2

= C9D

16

• Wynik odczytujemy jako: (C dziewięć D).
• Jeżeli liczba dwójkowa ma za mało bitów, na jej początku można

wstawić odpowiednią liczbę zer.

30

Konwersja liczby szesnastkowej na

dwójkową

• Wykonuje się ją odwrotnie jak dwójkową na

szesnastkową.

– Kolejne cyfry w zapisie szesnastkowym zapisujemy

jako cztery cyfry w zapisie dwójkowym.

– Ewentualnie należy pozbyć się zer znajdujących się na

pozycji wysuniętej najbardziej w lewo, aż napotkamy

tam jedynkę, gdyż kod binarny zawsze zaczyna się od

1.

– Np. jeśli wyjdzie wynik 0001100101110 to można

go zapisać jako 1100101110 pozbywając się zer z

początku.

31

Konwersja liczby szesnastkowej na

dziesiętną

• Konwersja ta odbywa się podobnie jak w przypadku liczb

binarnych, z tym, że podstawą jest nie 2, a 16.

– Weźmy dowolną liczbę w zapisie szesnastkowym, np. : AB12

(16)

– Bierzemy cyfrę wysuniętą najbardziej w prawo i postępujemy tak

samo jak w przypadku liczb dwójkowych, ale zamiast mnożnika 2
mamy 16:

2*16

0

+ 1*16

1

+ 11*16

2

+ 10*16

3

,

otrzymamy

2 + 16 + 2816 + 40960,

a więc w zapisie dziesiętnym jest to liczba:

43794

(10)

.

32

Konwersja liczby dziesiętnej na

szesnastkową

• Odwróćmy teraz na powrót liczbę 43794

(10)

w zapisie dziesiętnym na

AB12

(16)

w szesnastkowym.

• Kolejne wielokrotności liczby 16 są następujące:

16

0

= 1, 16

1

= 16, 16

2

= 256, 16

3

= 4096, 16

4

= 65536 itd.

• Wybrana liczba w systemie dziesiętnym znajduje się w przedziale:

4096 < 43794 < 65536.

• Bierzemy pod uwagę liczbę mniejszą od konwertowanej, czyli 4096.

– Jest ona czwartą wielokrotnością 16, więc konwertowana liczba w

systemie szesnastkowym będzie miała 4 cyfry.

• Sprawdzamy, ile razy liczba 4096 mieści się w liczbie konwertowanej,

czyli: 43794: 4096=10.691894

– Okazuje się, że mieści się ona 10 razy.
– 10 w systemie szesnastkowym to A, zatem pierwsza cyfra to A.

33

Konwersja liczby dziesiętnej na

szesnastkową c.d.

• Skoro liczba 4096 zmieściła się dziesięć razy w 43794, to jeszcze

zapewne została jakaś reszta.

• Obliczamy tę resztę.

– Mnożymy 4096*10 = 40960.
– Odejmujemy wynik od naszej liczby:

43794 - 40960 = 2834.

• Z resztą postępujemy podobnie, jak na początku konwersji.

256<2834<4096

• W następnym kroku sprawdzamy ile razy 256 mieści się w 2834.

2834:256=11.070312

– Mieści się 11 razy, zatem kolejna cyfra szukanego zapisu to B.

• Następnie znowu: obliczamy resztę, itd.
• Wynik powinien wynosić: AB12.

34

Reprezentacja liczb całkowitych ze

znakiem

• Wzór pozwala przedstawiać jedynie liczby

dodatnie.

• Główny problem z zapisywaniem liczb ze znakiem w

systemie dwójkowym polega na tym, że nie bardzo
wiadomo, gdzie i w jaki sposób zapisać znak liczby.

– W wielu językach programowania automatycznie rezerwowany jest

określony obszar pamięci, którego pierwszy bit określa znak liczby.

– Przyjęło się, że jeżeli najbardziej znaczący bit ma wartość „1”, to

pozostałe bity przedstawiają liczbę ujemną.

i

n

m

i

i

p

a

A

∑

−

−

=

=

1

35

Kod prosty

• Intuicyjnym rozwiązaniem jest kod prosty,

– pierwszy bit z lewej (nazywany też najbardziej

znaczącym) służy do przechowywania
informacji o znaku,

– bity występujące po bicie znaku przechowują

wartość bezwzględną liczby.

• Na przykład:

– w 8-bitowym słowie liczba -1 byłaby zapisana

jako 10000001, natomiast +1 jako 00000001.

36

Kod prosty c.d.

• W przypadku kodu prostego wartości liczb

całkowitych są zapisane jedynie na 7 bitach.

• Oznacza to, że największą liczbą całkowitą,

jaką można przechowywać w 8-bitowym

słowie, jest:

– 2

7-1

, czyli 127 = 01111111

2,

– najmniejsza liczba to -127=11111111

2

.

– Na N bitach można zapisać liczby ze znakiem

od -2

N-1

– 1 do 2

N-1

– 1.

37

Arytmetyka z zastosowaniem kodu

prostego

• Arytmetyka liczb zapisanych w kodzie prostym

jest realizowana w sposób podobny, w jaki

liczymy na kartce ołówkiem.

• Reguły rządzące dodawaniem:

– Jeżeli znaki obu liczb są takie same, dodaj ich wartości

bezwzględne i pozostaw znak bez zmian.

– Jeżeli liczby mają różne znaki, musisz ustalić, która z

nich ma większą wartość bezwzględną, jej znak

powinien mieć wynik całego dodawania.

• Wyznacza się go, odejmując (nie dodając) mniejszą liczbę od

większej.

38

Przykład

• Dodawanie 01001111

2

+ 00100011

2

w arytmetyce kodu prostego:

1 1 1 1

<=przeniesienia

0 1 0 0 1 1 1 1 (79)

0 + 0 1 0 0 0 1 1 +(35)

0 1 1 1 0 0 1 0 (114)

• Wszystkie „nie mieszczące się" wartości przenosimy do kolejnej

kolumny, aż do osiągnięcia siódmego bitu od prawej.

• Jeżeli i na tej pozycji trzeba wykonać przeniesienie, mówimy, że

nastąpił błąd przepełnienia i odrzucamy przeniesienie, co skutkuje

otrzymaniem nieprawidłowej sumy.

• W tym przykładzie nie nastąpiło przepełnienie i w kodzie prostym

wynik dodawania wynosi: 01001111

2

+ 00100011

2

= 01110010

2

.

39

Przykład

• Dodawanie 01001111

2

+ 01100011

2

w arytmetyce

kodu prostego.

1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 1 1 1 (79)
0 + 1 1 0 0 0 1 1 +(99)
0 0 1 1 0 0 1 0 (50)

• Trzeba wykonać przeniesienie z siódmego bitu,

oznacza to błąd przepełnienia i wynik będzie
nieprawidłowy.

40

Odejmowanie w kodzie prostym

• Podobnie jak w przypadku dodawania,

odejmowanie liczb zapisanych w kodzie
prostym odbywa się podobnie do
dziesiętnego odejmowania na papierze.

• Przy tej operacji zachodzi niekiedy potrzeba

pożyczenia niektórych cyfr z odjemnej.

41

Przykład

• Odejmowanie 01100011

2

- 01001111

2

w

arytmetyce kodu prostego.

0 1 1 2

pożyczenia

0 1 1 0 0 0 1 1 (99)

0 - 1 0 0 1 1 1 1 -(79)

0 0 0 1 0 1 0 0 (20)

• W wyniku otrzymujemy: 01001111

2

-01100011

2

= 00010100

2

.

42

Kody uzupełnieniowe

• Z teorii liczb wynika, że można odjąć od siebie

dwie liczby dziesiętne w następujący sposób:

– odejmując odjemnik od „samych dziewiątek",
– dodając wynik do odjemnej,
– a następnie dodając z powrotem przeniesienie.

• Proces ten nosi nazwę poszukiwania uzupełnienia

zmniejszonej podstawy odjemnika.

43

Kod odwrotny

(notacja uzupełnieniowa)

• Dla d-cyfrowej liczby N w systemie liczbowym o

podstawie p, uzupełnienie zmniejszonej
podstawy liczby N definiujemy jako:

(p

d

- 1) - N.

– W przypadku liczb dziesiętnych p = 10, więc

zmniejszona podstawa wynosi:10 - 1 = 9.

– W przypadku liczb dwójkowych zmniejszona podstawa

jest o jeden mniejsza od podstawy systemu p = 2, czyli
jest równa 1.

44

Przykład

• Obliczmy różnicę: 167 – 52.
• W układzie dziesiętnym zmniejszona podstawa

odjemnika = 9, czyli (p

d

- 1) = (10

3

-1) = 999.

• Liczymy w arytmetyce dopełnieniowej dziewiątek :

– odejmujemy odjemnik: 999 – 52= 947.
– Otrzymany wynik dodajemy do odjemnej:

167 - 52 = 167 + 947 =

1

114.

– 1

przeniesienie z kolumny setek trafia z powrotem do

kolumny jedności,

– co daje prawidłowy wynik: 167 - 52 = =114+

1

=115.

45

Kody uzupełnieniowe

• Metodę tę zastosowano w odniesieniu do liczb

dwójkowych, co pozwoliło uprościć (?!) operacje
arytmetyczne dokonywane przez ... komputery.

• Zaletą kodów dopełnieniowych w porównaniu z

kodem prostym jest to, że nie wymagają one
osobnego przetwarzania bitów znaków, a mimo to
z wartość najbardziej znaczącego bitu, nadal
wskazuje, czy liczba jest dodatnia czy ujemna!

46

Notacja uzupełnieniowa do 1

• W przypadku notacji uzupełnieniowej do 1

liczba 0101

2

to:

1111

2

-0101

2

=1010

2

.

– Przedstawienie liczby dwójkowej w kodzie

odwrotnym sprowadza się do zamiany
wszystkich zer na jedynki i vice versa.

– Proste odwrócenie bitów ułatwia sprzętowe

implementowanie kodu odwrotnego.

47

Liczby ujemne w notacji

uzupełnieniowej. Podsumowanie

• Notacja uzupełnieniowa pozwala zapisywać liczby ujemne bez

konieczności przeznaczenia osobnego bitu na reprezentację znaku

liczby

– Co było konieczne w kodzie prostym.

• Liczbę ujemną, należy przekształcić na jej dopełnienie do

zmniejszonej podstawy.

– Najstarszy bit liczb ujemnych powinien mieć wartość 1.

• Nie jest konieczne zastępowanie liczby dodatniej jej uzupełnieniem.

– Najstarszy bit liczb dodatnich powinien mieć wartość 0.

• Notacja uzupełnieniowa pozwala uprościć odejmowanie poprzez

przekształcenie go w dodawanie.

– Np. odejmowanie: 10 – 7 możemy zastąpić dodawaniem liczby o

przeciwnym znaku, w tym przypadku 10 + (–7).

48

Przykład

• Odejmowanie liczb 23

10

i -9

10

w kodzie odwrotnym.

• Liczby 23

10

i -9

10

zapisujemy w kodzie odwrotnym, na 8

bitach,

23

10

= +(00010111

2

) = 00010111

2

-9

10

= -(00001001

2

) = 11110110

2

•

Obliczamy różnicę 23

10

+(-9

10

) w arytmetyce kodu odwrotnego.

• 1 1 1 1 1

<-przeniesienia

0 0 0 1 0 1 1 1 (23)
[phone] +(-9)
0 0 0 0 1 1 0 1 (14)
+1
0 0 0 0 1 1 1 0 14

10

•

Przeniesienie najbardziej znaczącego bitu dodamy do najmniej

znaczącego bitu sumy.

49

Przykład

• Dodawanie 9

10

do -23

10

w arytmetyce kodu

odwrotnego.

1

Ostatnie 0 0 0 0 1 0 0 1 (9)
przeniesienie ma [phone] +(-23)
wartość 0, a więc 1 1 1 1 0 0 0 1 -14

10

skończyliśmy działania.

• Skąd wiadomo, że liczba 11110001

2

to -14

10

?

– Jest to liczba ujemna ponieważ jej MSB=1,
– Obliczamy dopełnienie 11110001

2

do 11111111

2

,

które wynosi 00001110

2

, czyli 14

10

.

50

Wada kodu odwrotnego

• Zasadniczą wadą kodu odwrotnego jest

niejednoznaczność przedstawienia zera
jako: 0000...0000 lub 1111...1111.

• Dlatego zarzucono notację uzupełnieniową

do 1 na rzecz bardziej efektywnej notacji
uzupełnieniowej do 2.

51

Kod dopełnieniowy

notacja uzupełnieniowa do 2

• Uzupełnieniem do podstawy d-cyfrowej liczby N

zapisanej w systemie liczbowym o podstawie p
nazywamy liczbę w postaci p

d

- N dla N różnych

od zera i zero dla N = 0.

– Uzupełnianie do podstawy jest może bardziej intuicyjne

od uzupełniania do zmniejszonej podstawy.

– Np. uzupełnieniem do podstawy 4-bitowej liczby

0011

2

, jest 2

4

- 0011

2

=10000

2

-0011

2

=1101

2

.

52

Notacja uzupełnieniowa do 2

• Notacja uzupełnieniowa do 2 jest notacją

uzupełnieniową do 1 powiększoną o 1.

• W celu przedstawienia liczby w kodzie

dopełnieniowym do 2, należy:

– zanegować wszystkie jej bity,
– do uzyskanego wyniku dodać l.

53

Notacja uzupełnieniowa do 2

upraszcza dodawanie i odejmowanie

• Ponieważ odjemnik (czyli liczba, którą dopełniamy i dodajemy) jest

na końcu powiększana, nie musimy przejmować się bitem

przeniesienia, który trzeba by dodać do uzyskanego wyniku.

• Pomijamy wszelkie przeniesienia wychodzące z najbardziej

znaczących bitów.

• Na kod dopełnieniowy muszą być przekształcane jedynie liczby

ujemne.

• Np. liczby 23

10

, -23

10

i -9

10

w 8 bitowym kodzie dopełnieniowym

przedstawiają się następująco:

23

10

= +(00010111

2

) = 00010111

2

-23

10

= -(00010111

2

) = 11101000

2

+1= 11101001

2

-9

10

= -(00001001

2

) = 11110110

2

+1= 11110111

2

54

Konwersja kodu dopełnieniowego na

system dziesiętny

•

Z liczbami dodatnimi nie ma żadnego problemu.

– Np. chcąc poznać wartość liczby 00010111

2

zapisanej w kodzie dopełnieniowym,

przeliczamy ją z systemu dwójkowego na dziesiętny, otrzymując 23.

•

Przeliczanie liczb ujemnych wymaga wykonania w odwrotnej kolejności

kroków procedury, która przypomina konwersję z systemu dziesiętnego na

dwójkowy.

– Np. liczba 11110111

2

jest zapisana w kodzie dopełnieniowym i chcemy poznać

jej dziesiętną wartość.

– Jest to liczba ujemna, przedstawiona w notacji uzupełnieniowej do 2.
– Znajdujemy jej postać w kodzie odwrotnym, negując wszystkie bity, a następnie

dodajemy 1:
00001000

2

+ 1 = 00001001

2

= 9

10

.

– Ponieważ liczba, wyjściowa była ujemna, należy pamiętać o zmianie znaku, czyli

11110111

2

= -9

10

.

55

Przykład operacji w kodzie

dopełnieniowym

•

Liczby ujemne są przedstawiane w postaci uzupełnień do 2 ich wartości bezwzględnych,
np.:

125

(10)

= 1111101

(2)

Najstarszy bit uzupełniamy 0

01111101

(2)

uzupełnienie do 1 ma postać

10000010

(2)

uzupełnienie do 2 tworzy się przez dodanie liczby 1 do jej uzupełnienia do 1.

10000010

(2)

00000001

(2)

-125

(10)

= 10000011

(2)

•

Liczby 8-bitowe mieszczą się z zakresie od –128 do 127.

•

Liczby dodatnie mają MSB=0, a liczby ujemne MSB=1.

56

Zastosowania

• Kod dopełnieniowy jest najpopularniejszym

sposobem zapisu liczb ze znakiem:

– Operacja uzupełnienia do 1 może być dokonana przez

prosty obwód logiczny TTL – bramkę NOT.

– Koncepcja ta pozwala na uniwersalność konstrukcji

komputera.

• Operacja odejmowania danej liczby jest zastąpiona

dodawaniem liczby komplementarnej.

• Większość komputerów używa komplementarnej

(uzupełnieniowej) arytmetyki dla reprezentacji

liczb całkowitych.

57

Własności kodu dopełnieniowego

• Zalety

– Liczby w postaci dopełnieniowe łatwo się dodaje i odejmuje,
– Zero ma jednoznaczną reprezentację

• same zera,

– System kodowania można dopasować do potrzeb liczb

zapisywanych na większej liczbie bitów.

• Wady

– Asymetria zakresów liczb, które można zapisać na N bitach:

• w kodzie prostym 4 bity pozwalają zapisać wartości od -7 do +7,
• w kodzie dopełnieniowym wartości od -8 do +7.

– Pierwszy bit liczby dodatniej musi mieć wartość 0, więc gdy wszystkie

pozostałe bity będą miały wartość 1, otrzymamy 0111

2

, czyli +7.

58

Reprezentacja stałoprzecinkowa

• W większości komputerów zakres liczb na których

wykonywane są operacje ogranicza się do ułamków

właściwych,

– tzn. ustala się przecinek bezpośrednio po pozycji znaku.

• Liczby przetwarzane przez maszynę są sprowadzane do

zakresu [–1, 1] poprzez skalowanie.

• Znając zakres danych i wyników ustalić można wartość

skalującą 2

S

stosowaną podczas wprowadzania i

wyprowadzanie liczb do i z komputera.

– Na przykład, gdy S=16, dopuszczalne liczby zawierają się w

zakresie: –65536 < x < 65536

59

Wada reprezentacji

stałoprzecinkowej

• W obliczeniach naukowo-technicznych często mamy do czynienia z

bardzo dużymi lub bardzo małymi liczbami.

– Np.: stała grawitacji G = 6.67 ·10

-11

N m

2

kg

-2

lub stała występująca w

prawie Coulomba k = 9 ·10

9

N m

2

C

-2

.

• W przypadku reprezentacji stało przecinkowej działania na takich

liczbach mogą prowadzić do wytworzenia liczby nadmiarowej, nie

mieszczącej się w przyjętym zakresie (overflow).

– Np. przyjmując zakres zmienności liczb równy 10

20

,

• przy około 3.17 b/10 (bitu na rząd),
• daje to około 2

63

.

• Reprezentacja oparta na liczbach całkowitych wymaga ponad 60

bitów, aby przedstawić te liczby, ale nawet wówczas dokładność

obliczeń będzie niewielka.

60

Mnożenie i dzielenie liczb

całkowitych

• Tabliczka mnożenia liczb binarnych jest prosta:

– zero razy zero to zero,
– a jeden pomnożone przez dowolną liczbę równa się tej liczbie.

• Metoda mnożenia bezpośredniego podobnie jak w mnożeniu

pisemnym liczb dziesiętnych, jest ono zastąpione wielokrotnym

dodawaniem odpowiednio przesuniętej mnożnej.

• Mechanizm mnożenia:

– każdy składnik iloczynu zapisujemy w osobnej komórce pamięci,
– wynik umieścimy w trzeciej komórce,
– począwszy od najmniej znaczącego bitu, ustawiamy specjalny wskaźnik

na każdy bit mnożnika po kolei,

– dla każdego bitu mnożnika „przesuwamy" mnożną o jeden bit w lewo.
– gdy wskazywany bit mnożnika ma wartość l, „przesunięta" mnożna jest

dodawana do bieżącej sumy iloczynów cząstkowych.

61

Przykład

•

Pomnożyć binarnie liczbę 1101

2

przez 1011

2

.

•

Obie liczby umieszczamy jedna pod drugą tak, aby ich cyfry znalazły się w kolumnach o

tych samych wagach:

1101
×1011

•

Każdą cyfrę mnożnej mnożymy przez poszczególne cyfry mnożnika zapisując wyniki

mnożeń w odpowiednich kolumnach:

1101
×1011

0001101
0011010
0000000
1101000

10001111

•

Ponieważ przesuwamy mnożną o jeden bit na każdy bit mnożnika, wyznaczenie iloczynu

wymaga dwa razy szerszej przestrzeni adresowej niż przestrzeń zajmowana przez

mnożną (mnożnik).

62

Dzielenie binarne

• Dzielenie może być realizowane na dwa sposoby:

– iteracyjnie odejmować dzielnik od dzielnej,
– stosować metodę „prób i błędów".

• Jak w przypadku mnożenia, nie przedstawiamy bardziej

zaawansowanych algorytmów dzielenia binarnego (są one trudne).

• Dzielenie może doprowadzić do „zawieszenia" komputera

przy próbie dzielenia przez zero, a także w sytuacji, gdy

operandami są dwie liczby o diametralnie różnej

wielkości.

– Gdy dzielnik jest znacznie mniejszy od dzielnej, mamy do

czynienia z sytuacją nazywaną błędem niedomiaru przy dzieleniu,

która jest postrzegana przez komputera jako próba dzielenia przez

zero.

63

Reprezentacja zmiennoprzecinkowa

(Floating-Point Representation)

•

Często w obliczeniach stosuje się notację normalną (naukową) mająca

postać kilku cyfr po przecinku razy 10 podniesione do odpowiedniej potęgi

X = ± liczba

⋅

10

wykładnik

.

– W notacji naukowej liczba

∈

{1.0, 9.9999999…}.

•

Reprezentacja zmiennoprzecinkowa wykorzystuje podobną koncepcję.

•

Standardowo liczbę zmiennoprzecinkową stanowi para liczb całkowitych i bit

znaku:

x = znak * ułamek * 2

wykładnik

– w notacji zmiennoprzecinkowej 0.1 ≤ |ułamek| ≤1.0,
– każda liczba ma swoją "własną skalę" w postaci wykładnika.

•

Ułamek zapisany jest w kodzie dwójkowym o określonej długości, a

wykładnik jest liczba całkowitą, dodatnią lub ujemną.

64

Implementacja arytmetyki

zmiennoprzecinkowej

•

W komputerach liczby zmiennoprzecinkowe składają się z trzech części:

– bitu znaku,
– części wykładniczej

• reprezentującej wykładnik potęgi dwójki,

– części ułamkowej

• mantysy.

•

Liczba bitów przechowujących część wykładniczą i mantysę zależy od tego,

czy bardziej zależy nam szerokości dostępnego przedziału liczb

– więcej bitów na wykładnik,

czy na precyzji

– więcej bitów na mantysę.
– Np.

– Binarna reprezentacja części ułamkowej i wykładnika jest przechowywana w

jednym słowie.

65

Ograniczenia reprezentacji

zmiennoprzecinkowej

• Za pomocą reprezentacji zmiennoprzecinkowej wyrazić można

jedynie ograniczony zbiór liczb.

• Na przykład ustalamy:

– rozmiar części ułamkowej na 4 bity,
– Rozmiar wykładnika na 3 bity włączając w to znak wykładnika.
– jeden bit reprezentuje znak ułamka

w sumie 8 bitów.

• Największa liczba zapisana w ten sposób to 0.9375*2

3

, a kolejna po

niej to tylko 0.875*2

3

, różnica tych liczb wynosi Δ= 0.9375*2

3

-

0.875*2

3

=0.0625*2

3

.

• Widać dlaczego liczba bitów użytych w obliczeniach jest istotna!

66

Przykład

• Liczba 17 w postaci dziesiętnej:
17 = 17,0 * 10

0

= 1,7 * 10

1

= 0,17 * 10

2

.

• Analogicznie, w systemie dwójkowym:
17

10

= 10001

2

* 2

0

= 1000,1

2

* 2

1

= 100,01

2

* 2

2

= 10,001

2

* 2

3

= 1,0001

2

* 2

4

=

0,10001

2

* 2

5

.

• Jeżeli zdecydujemy się wykorzystać tę ostatnią postać,

część ułamkowa: 10001000, a część wykładnicza:
00101.

• Mając do dyspozycji 14 bitów, liczba 17 przyjmie więc

postać:

67

Przykład

• W przyjetej postaci zmiennoprzecinkowej można zapisać

znacznie większe liczby niż w zapisie stałoprzecinkowym
na 14 bitach,

– w którym wykorzystuje się 14 bitów plus kropkę pozycyjną.

• Np. zapisana w tej postaci liczba 65 536

10

= 0.1

2

·2

17

,

wyglądałaby następująco:

68

Problem ujemnych wykładników

• Nie przewidzieliśmy miejsca na ujemne wykładniki.
• Nie możemy zapisać w żaden sposób liczby np. 0,25,

ponieważ 0,25 to 2

-2

, a nie mamy jak zapisać wykładnika

-2.

• Możliwe rozwiązania problemu:

– dodając do wykładnika bit znaku,
– stosować tak zwane przesunięte wykładniki,

• W drugim przypadku do porównywania wartości dwóch

liczb zmiennoprzecinkowych można zastosować proste
układy elektroniczne.

69

Przesuwane wykładniki

• Liczby całkowite w pożądanym zakresie

wykładników są najpierw dostosowywane
w ten sposób, że do każdego wykładnika
dodaje się pewną stałą wartość
przesunięcia.

• Jest to liczba leżąca mniej więcej na środku

dozwolonego zakresu wartości, co do której
umawiamy się, że będzie oznaczała zero.

70

Przesuwane wykładniki

• Przykładowo:

– wykładnik ma 5 bitów, co pozwala na przypisanie mu 2

5

=32

wartości.

– jako przesunięcie wybieramy wartość 16, leży ona na osi

liczbowej w połowie odległości między 0 a 31.

– Każda liczba mająca wykładnik większy od 16 będzie traktowana

przez nas jako dodatnia, zaś pozostałe będziemy uznawali za

liczby ujemne.

• Nazywa się to „notacją z nadmiarową szesnastką”,

ponieważ chcąc poznać rzeczywistą wartość wykładnika,

musimy odjąć od niego 16.

• Uwaga:

– wykładniki złożone z samych zer lub z samych jedynek są

zazwyczaj zarezerwowane dla reprezentacji symboli specjalnych,

takich jak zero lub nieskończoność.

71

Przykład

• Wróćmy do naszego przykładu z zapisem liczby 17:

obliczyliśmy, że 17

10

= 0,10001

2

* 2

5

.

• Przesunięty wykładnik będzie teraz wynosił: 16 + 5 = 21:

0 10101

10001000

0 00101

10001000

72

Niejednoznaczność reprezentacji

• Wciąż mamy poważny problem - nie

wszystkie liczby mają jednoznaczną

reprezentację.

– Np. przedstawione niżej liczby mają tę samą

wartość: 17

10

= 0,10001

2

* 2

5

=

0,010001

2

* 2

6

= 0,0010001

2

* 2

7

=

0,00010001

2

* 2

8

.

73

Rozwiązanie problemu

niejednoznaczności

• W celu usunięcia niejednoznaczności

reprezentacji liczb przyjęto, normalizację:

– najbardziej znaczący bit mantysy będzie miał

zawsze wartość 1.

• Rozwiązanie to ma tę dodatkową zaletę, że

występowanie jedynki na pierwszej pozycji

jest pewne, dzięki czemu zyskuje się jeden

dodatkowy bit mantysy, co zwiększa

precyzję.

74

Przykład

• Zapiszemy liczbę 0,03125

10

w postaci

zmiennoprzecinkowej, w notacji „z nadmiarową
szesnastką”:

0,03125

10

= 0,00001

2

* 2

0

= 0,0001

2

* 2

-1

= 0,001

2

* 2

-2

= 0,01

2

* 2

-3

= 0,1

2

* 2

-4

• Po dodaniu „przesunięcia" pole wykładnika będzie

przechowywało wartość 16 - 4 = 12.

75

Arytmetyka

zmiennoprzecinkowa

• Aby dodać do siebie dwie liczby zapisane w notacji

wykładniczej, np. 1,5 * 10

2

+ 3,5 10

3

, należy

przekształcić je w taki sposób, aby obie miały taki sam
wykładnik.

1,5*10

2

+3,5*10

3

=0,15*10

3

+3,5*10

3

=3,65*10

3

• Dodawanie i odejmowanie liczb zmiennoprzecinkowych

przebiega w podobny sposób

76

Przykład

• Dodajemy liczby dwójkowe, zapisane w znormalizowanej notacji 14-

bitowej z przesunięciem równym 16.

– Jeden ze składników dodawania jest podniesiony do potęgi pierwszej, a

drugi do zerowej.

– Wyrównanie obu tych wartości względem kropki ułamkowej daje

:

1,1001000
+0,10011010
10,00101010

– Dokonując ponownie normalizacji, zachowujemy większy wykładnik i odrzucamy

najmniej znaczący bit:

77

Mnożenie i dzielenie

• Mnożenie i dzielenie przeprowadzane jest zgodnie z tymi

samymi regułami dotyczącymi wykładników stosowanymi

dla liczb dziesiętnych

– np. 2

-3

* 2

4

= 2

1

.

• Przykład mnożenia:

• Iloczyn:

0,11001000*0,10011010 = 1,11011011,
po ponownej normalizacji i odpowiednim przesunięciu

wykładnika wynik ma postać:

78

Precyzja obliczeń

zmiennoprzecinkowych

• Wykonując obliczenia intuicyjnie rozumiemy, że

operujemy na nieskończonym zbiorze liczb rzeczywistych.

– Dla każdej pary liczb rzeczywistych potrafimy zawsze znaleźć

liczbę większą od największej i mniejszą od najmniejszej z nich.

• Komputery są w tym zakresie ograniczone.

– Odwzorowuje nieskończony zbiór liczb rzeczywistych na

skończony zbiór liczb całkowitych.

• Komputer dysponuje jedynie pewnym przybliżeniem

zbioru liczb rzeczywistych.

– Im więcej bitów mamy do dyspozycji, tym jest ono dokładniejsze.
– Jednak niezależnie od liczby użytych bitów zawsze jest ono

obarczone błędem.

79

Przykład

• W przedstawionym modelu możemy zapisywać znormalizowane

liczby z zakresu od -0,11111111

2

* 2

15

do +0,11111111

2

* 2

15

.

– Oczywistym jest, że duże liczby, jak 2

-1

, nie zmieszczą się w tym

zakresie.

– Nie możemy także zapewnić precyzyjnej reprezentacji liczby 128.5

10

,

która jak najbardziej mieści się w dozwolonym zakresie.

• 128,5

10

= 10000000,1

2

, liczba ta ma 9 bitów długości, a mantysa może

przechowywać tylko 8.

• Zazwyczaj najmniej znaczący bit jest odrzucany lub zaokrąglany do

sąsiedniego bitu.

• Błąd zaokrąglenia można oszacować wyznaczając stosunek

bezwzględnej wartości błędu do prawdziwej wartości liczby.

– Dla liczby 128,5 błąd procentowy wynosi: 128,5-128|/128,5 = 0,003906

≈

0,39%

80

Kumulacja błędów

• Z każdym kolejnym działaniem tego rodzaju błędy będą się

potęgować, co doprowadzi do wyraźnego spadku precyzji
obliczeń.

– Np. kumulacja błędu obliczeniowego dla 14-bitowej liczby zmienno

przecinkowej.

Mnożna

Mnożnik

14-bitowy
wynik

Prawidłowy
wynik

Błąd

1000,001

* 0,11101000= 1110,1001 14,7784

1,46%

(16,125)

(0,90625)

(14,5625)

1110,1001 * 0,11101000= 1101,0011 13,4483

1,94%

(14,5625)

(13,1885)

1101,0011 * 0,11101000= 1011,1111 12,2380

2,46%

(13,1885)

(11,9375)

1011,1111 * O,l1101000= 1010,1101 11,1366

2,91%

(11,9375)

(10,8125)

1010,1101 * 0,11101000= 1001,1100 10,1343

3,79%

(10,8125)

(9,75)

1001,1100 * 0,11101000= 1000.1101 8,3922

4,44%

(9,75)

(8,8125)

81

Standard zmiennoprzecinkowy

IEEE-754

• Do lat osiemdziesiątych XX w. firmy komputerowe

samodzielnie decydowały o formacie przechowywania

liczb zmiennoprzecinkowych, na rynku istniało równolegle

wiele niezgodnych ze sobą systemów.

• W roku 1985 Instytut Inżynierów Elektryków i

Elektroników (IEEE) opublikował standard regulujący

zagadnienia związane z reprezentacją liczb

zmiennoprzecinkowych o pojedynczej i podwójnej

precyzji.

– Jest on znany jako IEEE-754 (1985).

• Obecnie wszystkie komputery są zgodne z modelem IEEE-

754.

– Do roku 1998 komputery IBM zbudowane były w oparciu o

architekturę zmiennoprzecinkową, Systemu/360 z 1964 roku.

82

Standard IEEE-754 (1985)

• Dla liczb o pojedynczej precyzji standard zaleca:

– 8-bitowy wykładnik,
– przesunięcie o 127,
– mantysa liczy 23 bity,
– po uwzględnieniu bitu znaku całkowita długość słowa

wynosi 32 bity.

• Dla liczb o podwójnej precyzji:

– zapisywane są na 64-bitowych słowach,
– wykładnik liczy 11 bitów,
– mantysa 52 bity.
– przesunięcie wynosi 1023.

83

Standard zmiennoprzecinkowy

IEEE-754

• Zakres wartości, jakie mogą przyjmować liczby o podwójnej precyzji

w rozumieniu standardu IEEE.

• Jeżeli wykładnik ma wartość 255 oznacza to:

– plus bądź minus nieskończoność, mantysa = zero,
– wartość nieliczbowa NaN (not a number), mantysa

≠

zera.

• Wartość NaN służy do oznaczania wartości, które nie są liczbami

rzeczywistymi. Najczęściej oznacza to wystąpienie błędu.

84

Dane alfanumeryczne

• Dane alfanumeryczne – tekstowe mają postać znaków

pisarskich – liter, cyfr, znaków przestankowych i innych

symboli .

• W komputerze są one reprezentowane przez liczby,

określające pozycję danego symbolu w tablicy kodowej.

• Standardy kodowania znaków pisarskich:

– EBCDIC (Extended Binary-Coded-Decimal Interchange Code) -

7 bitów.

– ASCII (American Standard Code for Information Exchange) -

7 bitów lub 8 bitów.

– ISO – (International Organization for Standarisation) – pełne 8

bitów

– UNICODE – 16 bitów

85

Kod ASCII

• Kod ASCII (American Standard Code for Information

Interchange) został opracowany w 1963.

• Na 128 pozycjach kodowych zawiera on:
• na pozycjach (32 – 127). znaki widoczne,

– cyfry, znaki interpunkcyjne, podstawowe symbole matematyczne

oraz małe i wielkie litery alfabetu łacińskiego,

• na pozycjach (0 – 31) znaki niewidoczne,

– kody formatujące, kody sterujące wymianą informacji i

urządzeniami.

• W oryginalnej wersji ASCII do reprezentacji tej liczby

kodów koniecznych jest 7 bitów, 8 bit służył kontroli

poprawności zapisu

– bit parzystości.

86

EBCDIC

• Kody rodziny EBCDIC są używane w

systemach firmy IBM.

• Bazują one na binarnym kodowaniu liczb

dziesiętnych reprezentujących pozycje
kodowe znaków.

87

Znaki ASCII

0 – 31 – kody sterujące

32 – 47 – znaki pomocnicze ( ,!,+,-, ...)

48 – 57 – cyfry 0 – 9

58 – 64 – znaki pomocnicze (:,;,>,=,<,?,@)

65 – 90 – A, B, ... , Z

91 – 96 – znaki specjalne

97 – 122 – a, b, ... , z

123 – 126 – znaki specjalne

127 – DEL

88

Znak można zapisać w postaci dwójkowej, np.:

J

a

c

e

k

11010001

10000001

10000011

10000101

10000010

10101010

11100001

11100011

11100101

11101011

W sumie możliwych jest 128 symboli jest to wystarczająca liczba
symboli dla US/UK English, nie wystarczyło to jednak aby ASCII stał
się kodem uniwersalnym ze względu na:

– francuskie (è, é, etc.), niemieckie (ä, ß, etc.),

– polskie (ą, ę,etc), czeskie (ĉ, ŝ etc),

_ japońskie i chińskie (Kanji).

89

Kod ASCII c.d.

• Gdy kontrolę poprawności zapisu zaczęto

realizować innymi metodami

– kody z korekcją błędów

powstał rozszerzony kod ASCII liczący 256

znaków.

– pierwsze 128 pozycji jest identyczne, jak w kodzie

ASCII,

– kolejne 128 pozycji zawiera znaki dodatkowe,

• np. litery akcentowane, rozszerzony zestaw symboli

matematycznych, litery alfabetów narodowych.

90

Inne systemy kodowania

• Istnieje wiele kodów tej rodziny, używanych w różnych

częściach świata.

– DOS: Code Page, czyli strona kodowa 852, zwana Latin 2
– Windows 3/95: CP-1250, Central-European encoding
– ISO-8859-2.
– Unicode, 2 bajty/znak czyli 65536 znaków.

• Alfabet polski ma 35 liter, uwzględniając małe i duże

litery oraz znaki specjalne jest to w sumie około 100

znaków.

• W Polsce najpowszechniej używa się kodów ISO8859-2

oraz Microsoft CP1250.

91

UNICODE

• UNICODE jest uniwersalnym kodem znakowym,

umożliwiającym reprezentację wszystkich znaków

pisarskich zapisu fonetycznego używanych na całym

świecie

• UNICODE wykorzystuje do reprezentacji znaku 16 bitów

(2 B/znak)

– w sumie można zakodować 65536 znaków.
– to wystarcza dla zakodowania dużych, małych oraz specjalnych

form liter każdego ze znaczących alfabetów: łacińskiego,

greckiego, cyrylicy, hebrajskiego, etc.

– w zakresie języka angielskiego UNICODE jest zgodny z kodem

ASCII.

• Pozostał jednak problem. Dostępnych jest tylko 20992

kodów dla ideogramów Han, których jest ponad 50000.

92

UNICODE

• Każdy znak diakrytyczny

– np. ogonki, akcenty, umlaut

ma swój własny kod, więc dla liter z którymi

znaki te występują używane są kombinacje

kodów.

• W odróżnieniu od kodu ASCII kody te

jednoznacznie identyfikują symbol.

• Daje to możliwość swobodnego mieszania znaków

różnych krajów bez obawy o niejednoznaczność.

93

Bity i bajty

przypomnienie

• „Bit” = binary unit, czyli jednostka informacji.
• w układzie dwójkowym.

– Używając 1 bit można skonstruować 2 znaki: 0, 1.
– Z 2 bitów da się złożyć 4 znaki: 00, 01, 10, 11.
– Z 3 bitów 8 znaków: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110,

111.

– Z 4 bitów 16 znaków: 0000, 0001, 0010, 00011, ...,

1111.

– 8 bitów pozwala odróżnić 28 = 16 x 16 = 256 znaków.

• Ciąg 8 bitów = 1 bajt, [8b]=[1B] podstawowa

jednostka struktury pamięci.

94

Wielkość danych

• Przedrostek kilo oznacza w informatyce nie 1000, a potęgę

liczmy 2 najbliższą liczbie 1000, czyli 1024 = 2

10

.

 
• 2

10

=1024=1K, kilobajt, typowa strona tekstu to kilka KB;

• 2

20

=1024K=1M, megabajt, książka bez grafiki lub minuta

muzyki;

• 2

30

=1024M=1G, gigabajt, film cyfrowy, sporo grafiki,

ludzki genom;

• 2

40

=1024G=1T, terabajt,

– Biblioteka Kongresu USA zawiera około 20 TB informacji

tekstowej, tyle co kilka dużych dysków magnetycznych.

• 2

50

=1024T=1P, petabajt, ludzka pamięć?

95

Rozróżnienie B i b:

• B=bajty, KB=kilobajty, MB=megabajty, GB=gigabajty, ...
• b=bity, Kb=kilobity, Mb-megabity, ....
• Słowo (word) jest podstawową jednostka danych przetwarzanych

przez CPU.

– Składa się ono z 8, 16, 32, 48, 64, 128 lub 256 bitów, na których

wykonywana jest jednocześnie operacja logiczna lub arytmetyczna.

• Jest ono zwykle określone rozmiarem rejestru pamięci danych MDR.

– The Memory Data Register (MDR) is the register of a computer's control

unit that contains the data to be stored in the computer storage (e.g.

RAM), or the data after a fetch from the computer storage.

– It acts like a buffer and holds anything that is copied from the memory

ready for the processor to use it.

96

1

97

Istnieje różnica między dzieleniem liczb całkowitych, a dzieleniem
zmiennoprzecinkowym:
•przy dzieleniu liczb całkowitych wynik podawany jest w dwóch
częściach, to znaczy w postaci ilorazu i reszty,
•Z kolei przy dzieleniu zmiennoprzecinkowym wynik jest ułamkiem
zapisanym w systemie dwójkowym.

Obliczenia zmiennoprzecinkowe wykonywane są przez wydzielone
obwody, nazywane wspólnie jednostką zmiennoprzecinkową (FPU).