SIMRAlgebra W04

background image

ALGEBRA

1

Algebra

WYKŁAD 4

background image

ALGEBRA

2

Własności działań macierzowych

Twierdzenie

Działania dodawania i mnożenia macierzy mają następujące własności:

A + B = B + A

(przemienność dodawania);

(

A + B) + C = A + (B + C)

(łączność dodawania);

A + 0 = 0 + A

gdzie

0

jest macierzą zerową;

A

(B

C) = (A

B)

C

(łączność mnożenia);

A

(B + C) = A

B + A

C

(rozdzielność dodawania względem

mnożenia);

(A + B)

C = A

C + B

C

(rozdzielność mnożenia względem

dodawania);

Jeśli

A

= [

a

ij

]

nxn

i

I

jest macierzą jednostkową stopnia

n

, to

A

I = A = I

A.

Własności te wynikają bezpośrednio z definicji działań na macierzach.

Macierze

background image

ALGEBRA

3

Twierdzenie

Niech

-A

=

[

-

a

ij

]

mxn

oznacza

macierz przeciwną do macierzy

A

.

Dla dowolnych macierzy

A

i

B

zachodzą następujące związki:

- ( A + B) = ( - A) + ( - B );

- A

= (

-1

)

A;

A - B

=

A +

(-

B

).

Macierze

background image

ALGEBRA

4

Definicja

Jeżeli

A

= [

a

ij

]

jest macierzą wymiaru

m

n

, wtedy macierz wymiaru

n

m

,

oznaczoną przez

]

[a

A

T
ij

T

, gdzie

a

a

ji

T
ij

,

1

i

m

,

1

j

n

,

nazywamy

macierzą transponowaną do macierzy

A

.

Przykład

Znaleźć macierze transponowane do danych macierzy.

Transpozycja macierzy polega więc na zamianie miejscami kolumn i wierszy

macierzy w ten sposób, że pierwszy wiersz staje się pierwszą kolumną itd.

Macierze

background image

ALGEBRA

5

Twierdzenie

Dla macierzy

A

i

B

zachodzą równości:

(

A

T

)

T

=

A

,

(

A

+

B

)

T

=

A

T

+

B

T

,

(

A

B

)

T

=

B

T

A

T

.

Definicja

Macierz

A

nazywamy

macierzą symetryczną, gdy

A

T

=

A

.

Macierze

background image

ALGEBRA

6

WYZNACZNIK MACIERZY

background image

ALGEBRA

7

Rozpatrzmy układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Rozwiązanie układu metodą eliminacji

Mnożymy pierwsze równanie przez b

2

,

Mnożymy drugie równanie przez (- b

1

),

Dodaj

emy równania stronami.

Stąd

.

Podobnie

.

Pzy założeniu

r

ozwiązanie układu równań jest postaci:

Wyznacznik macierzy

background image

ALGEBRA

8

Macierz główna układu dwóch równań ma postać

Definicja

Wyznacznikiem

macierzy głównej układu dwóch równań nazywamy liczbę

równą

a

1

b

2

- a

2

b

1

i oznaczamy przez

Wyznacznik macierzy

background image

ALGEBRA

9

Wyznaczaj

ąc dodatkowo dwa następujące wyznaczniki

możemy rozwiązanie układu równań zapisać w postaci

Wyznacznik macierzy

background image

ALGEBRA

10

Niech

A

będzie dowolną macierzą kwadratową o wymiaru

n

n

(stopnia

n

)

nn

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

A

21

2

21

21

1

12

11

Dla macierzy

A

zdefiniujemy liczbę nazywaną wyznacznikiem

A

,

oznaczaną

jako

det A

, lub |

A

|.

Możemy zatem wyznacznik traktować jako funkcję, która każdej macierzy

kwadratowej przypisuje liczbę rzeczywistą.

Wyznacznik macierzy

background image

ALGEBRA

11

Definicja

(indukcyjna wyznacznika -

rozwinięcie względem pierwszego wiersza)

Niech

A

oznacza macierz kwadratową wymiaru

n

n

.

Krok 1. Dla

n = 1

,

det A = a

.

Krok 2.

Zakładając, że mamy zdefiniowany wyznacznik macierzy

A

wymiaru

n

n

definiujemy wyznacznik macierzy

A

wymiaru

(n+1)

(n+1)

postaci:

1

,

1

,

1

2

,

1

1

,

1

1

,

2

2

21

21

1

,

1

1

12

11

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

W tym celu dla

j

= 1, 2, ...,

n

+

1:

w

ykreślamy z macierzy

A

wiersz

1

i

kolumnę

j

,

d

la pozostałej macierzy

A

1,j

obliczamy det

A

1j

,

t

worzymy sumę

1

,

1

1

,

1

1

1

,

1

1

1

2

,

1

12

2

1

1

,

1

11

1

1

det

)

1

(

det

)

1

(

det

)

1

(

det

)

1

(

n

n

n

j

j

j

A

a

A

a

A

a

A

a

S

Krok 3. Przyjmujemy

det A = S

.

Wyznacznik macierzy

background image

ALGEBRA

12

det A

jest więc sumą następujących iloczynów:

każdy element

a

1j

pierwszego wiersza

mnożymy przez (-1)

1+j

i przez wyznacznik macierzy otrzymanej przez wy

kreślenie

pierwszego wiersza i

j

-tej kolumny.

Wyznacznik macierzy

background image

ALGEBRA

13

Zauważmy, że stosując definicję indukcyjną do macierzy

kwadratowej A

stopnia 2 otrzymamy wynik zgodny z pierwszą

definicją przedstawioną w tym wykładzie tzn.:


12

21

22

11

22

21

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

Wyznacznik macierzy

background image

ALGEBRA

14

Przykład

Obliczyć z definicji wyznacznik macierzy:

.

Wyznacznik macierzy

24

background image

ALGEBRA

15

Wyznacznik macierzy kwadratowej oznaczamy również symbolem:

nn

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

21

2

21

21

1

12

11

Podobnie jak w przypadku macierzy,

dla wyznacznika definiuje się stopień,

wiersze i kolumny.

Wyznacznik jest

określony tylko dla macierzy kwadratowych!

Wyznacznik macierzy

background image

ALGEBRA

16

Metoda (wzór) Sarrusa

Jest to metoda rachunkowa obliczania wyznacznika macierzy stopnia 3.

Do macierzy dopisujemy dwie pierwsze kolumny

i obliczamy sumę

następujących iloczynów:

)

(

12

21

33

11

23

32

13

22

31

32

21

13

31

23

12

33

22

11

32

22

12

31

21

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a






-

+

Wyznacznik macierzy

background image

Przykład

Obliczyć wyznacznik

48

2

0

4

3

2

1

1

5

6

1

0

1

6

2

2

4

5

3

1

6

5

0

2

3

4

1

6

2

5

0

1

2

3

A

Wyznacznik macierzy

background image

ALGEBRA

18

Wzór Sarrusa

48

1

2

3

4

0

2

6

5

1

6

2

2

1

1

0

4

5

3

4

1

6

2

5

0

1

2

3

4

1

6

2

5

0

1

2

3

4

1

6

2

5

0

1

2

3

4

1

6

2

5

0

1

2

3

4

1

6

2

5

0

1

2

3

4

1

6

2

5

0

1

2

3

A

.

Wyznacznik macierzy

background image

ALGEBRA

19

Uwaga

Zamiast kolumn

można dopisać dwa pierwsze wiersze

i zastosować opisaną procedurę

Przyk

ład

O

blicz wyznacznik metodą Sarrusa

48

4

2

0

2

1

3

1

5

6

2

2

6

1

1

0

4

5

3

2

5

0

1

2

3

4

1

6

2

5

0

1

2

3

A

Wyznacznik macierzy

+

-

background image

ALGEBRA

20

Zadanie

Obliczyć wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy

background image

ALGEBRA

21

Twierdzenie

Wyznacznik macierzy mającej wiersz (kolumnę) zerową
jest równy 0.

Twierdzenie

Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) w macierzy jest
równoważne pomnożeniu wyznacznika przez -1.

Przykład

c

d

a

b

ad

bc

bc

ad

d

c

b

a

)

(

Własności wyznaczników

background image

ALGEBRA

22


Twierdzenie

Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach
(kolumnach) jest równy 0.

Przykład

0

ab

ab

b

a

b

a

Twierdzenie

Wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy
względem niej transponowanej

det A = det A

T

Przykład

d

b

c

a

bc

ad

d

c

b

a

Własności wyznaczników

background image

ALGEBRA

23

Twierdzenie

Mnożąc wiersz (kolumnę) macierzy przez liczbę
mnożymy wyznacznik tej macierzy przez tę liczbę.

Przykład

d

c

b

a

d

c

b

a

Twierdzenie

Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych
wierszach (kolumnach) jest równy 0.

Przykład

0

0

b

a

b

a

b

a

b

a

Własności wyznaczników

background image

ALGEBRA

24

Twierdzenie

Jeżeli w macierzy jeden z wierszy (lub jedna z kolumn)
jest kombinacją liniową pozostałych wierszy (lub kolumn),
to wyznacznik tej macierzy jest równy 0.

Przykład

0

0

0

3

3

3

2

2

2

1

1

1

3

3

3

2

2

2

1

1

1

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

b

b

a

b

b

a

b

b

a

a

b

a

a

b

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

Własności wyznaczników

background image

ALGEBRA

25

Twierdzenie

Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, jeżeli do wiersza
(lub kolumny) macierzy dodamy kombinację liniową
pozostałych wierszy (lub kolumn).

Przykład

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

3

3

3

2

2

2

1

1

1

3

3

3

2

2

2

1

1

1

b

a

c

b

a

b

a

c

b

a

b

a

c

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a



= 0

Własności wyznaczników

background image

ALGEBRA

26

W przyjętej definicji wyznacznika macierzy

wykorzystaliśmy tzw. rozwinięcie względem pierwszego

wiersza. Można wykazać, że ten sam wynik uzyskamy

stosując rozwinięcie względem dowolnego wiersza,

lub kolumny.

Własności wyznaczników

background image

ALGEBRA

27

Niech

A

będzie macierzą kwadratową stopnia

n

Definicja

Wyrażenie

D

i j

= (-1)

i +j

det A

i j

,

1

i , j

n

,

gdzie

A

i j

oznacza macierz stopnia

n

-1

otrzymaną przez

skreślenie

i

-tego wiersza i

j

-tej kolumny macierzy

A

,

nazywamy

dopełnieniem algebraicznym elementu

a

i j

.

Własności wyznaczników

background image

ALGEBRA

28

Twierdzenie

(

Laplace'a o rozwinięciu wyznacznika względem

wiersza, lub kolumny )

Dla macierzy

A

stopnia

n

zachodzi:

det A = a

i 1

D

i 1

+ a

i 2

D

i 2

+ ... + a

i n

D

i n

i

det A = a

1j

D

1j

+ a

2 j

D

2 j

+ ... + a

n j

D

n j

dla dowolnych liczb

i

,

j

takich, że 1

i

,

j

n

.

Zatem wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów

i

-tego

wiersza i ich dopełnień algebraicznych, bądź sumie iloczynów
elementów

j

-

tej kolumny i ich dopełnień algebraicznych.

Własności wyznaczników

background image

ALGEBRA

29

Uwagi

Stosując rozumowanie indukcyjne i twierdzenie Laplace'a łatwo
uzasadnić, że wyznacznik macierzy diagonalnej oraz dolno
lub górnotrójkątnej jest równy

iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej.

Korzystając z twierdzenia Laplace’a należy rozwijać wyznacznik
względem wiersza (lub kolumny) zawierającego najwięcej
elementów zerowych.

Liczbę elementów zerowych w wierszu, względem którego
rozwijany jest wyznacznik,

można zwiększyć dodając do wierszy

(kolumn

) inne wiersze (kolumny) pomnożone przez odpowiednio

dobrane liczby (operacje te nie zmieniają wartości wyznacznika).

Własności wyznaczników

background image

ALGEBRA

30

Przykład

Obliczyć wyznacznik

5

1

1

1

1

1

4

1

1

1

1

1

3

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

Odejmując pierwszy wiersz od pozostałych otrzymujemy wyznacznik o niezmienionej
wartości

4

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

J

est on równy

1

1

2

3

4 = 24.

Własności wyznaczników

background image

Dziękuję za uwagę


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
SIMRAlgebra W04
SIMRAlgebra W04
RBD W04
W04 2
W04 3
W04 4
cps w04 v9
PI w04
Elektronika W04
zj w04
gs w04 id 197501 Nieznany
223 B8 4 A W04 zestawienie slus Nieznany
bal w04
krs form w04
KZ BD w04
Gazownictwo w04
c cxx w04

więcej podobnych podstron