1

Jak korzystać z karty pracy.

Materiał z warsztatu „Algebry skutecznie nauczę”

Na początku warsztatu konsultant GWO przybliżał potoczne znaczenie pojęć „arytmetyka”

i „algebra”. Wyjaśniał, w jaki sposób te dwa pojęcia są rozumiane w praktyce i jaki może być

wpływ tego rozumienia na metody nauczania („Karta pracy”, s. 4).

Następnie prowadzący spotkanie omawiał zadania przeznaczone dla uczniów szkoły

podstawowej (zadania 1–7. oraz zadania 12–13.), a uczestnicy spotkania samodzielnie

rozwiązywali zadania 8–11. („Karta pracy”, s. 5–11).

Zadanie

Komentarz

1.

Uczeń dostrzega, że pierwszy składnik rośnie o 1, a drugi się nie zmienia, co skutkuje
zwiększeniem sumy o taką samą wartość. Uczeń wykonuje rachunki, ale nie poprzestaje
na nich. Zadanie jest rozwiązane wtedy, kiedy uczeń samodzielnie poda następne
działania.

2.

W tym zadaniu chodzi o „rozumienie” liczby jako sumy liczb oraz o postrzeganie, że zapis
dziesiętny jest sumą liczb, a nie złożeniem cyfr. Ćwiczenie wydaje się konieczne do
prawidłowego wykonywania działań pamięciowych i kontroli reguł działań pisemnych,
rozumienia pozycyjnego zapisu liczb oraz odróżniania cyfry i liczby jednostek danego
rzędu, mieszczących się w całej liczbie, np. w liczbie 125 jest dwanaście dziesiątek, a nie
dwie.

3.

W zadaniu 3

ważne jest poszukiwanie najbardziej odpowiedniej dla zadania metody

obliczeniowej oraz kształcenie nawyku rachowania w pamięci – nawet gdy można szybciej
obliczyć pisemnie lub na kalkulatorze. Korzystając z tego ćwiczenia, można zwrócić
uwagę na absurdalność stosowania metod pisemnych w zadaniach, w których ułamki
dziesiętne można zamieniać na zwykłe.

4.

Uświadamiamy uczniom schemat: mnożenie to wielokrotne dodawanie. Zadania
z

liczbami całkowitymi uogólniane są na zadania z ułamkami. W ostatnim przykładzie

dodajemy do siebie cztery razy liczbę

2

1

2

i jeszcze połowę tej liczby lub dwa razy liczbę

4

2

1

i jeszcze połowę tej liczby. Dopiero później będziemy nauczać algorytmu mnożenia

ułamków, który ma charakter arytmetyczny w zakresie liczb naturalnych, bo chodzi w nim
o wynik. W tych przykładach wynik nie jest najważniejszy, dlatego dochodzimy do niego
dłuższą, ale bardziej pouczającą drogą.

5.

Uczeń interpretuje złożone działania tak: trzeba policzyć, ile jest razem czternastek
w

każdym przykładzie. Nie narzucajmy mu schematu wyłączania przed nawias ani tym

bardziej nie pokazujmy zapisu literowego,

gdyż uczeń sam wykonuje czynności istotne dla

przekształceń algebraicznych. Kiedy pojawią się zapisy literowe i wzory, uczeń może się
odwołać do tych doświadczeń.

6.

W tym zadaniu

uświadamiamy uczniom, że dzielenie można zastąpić wielokrotnym

odejmowaniem dzielnika. Głównym celem ćwiczenia jest nauczenie postrzegania
dzielenia liczby jako odpowiedzi na pytanie, ile się w niej mieści innych liczb. Na przykład

2

na dzielenie 50 : 3 można spojrzeć jak na pytanie, ile trójek mieści się pięćdziesiątce.

7.

Zadania tego typu poprzedzone powinny być doświadczeniami z prawdziwą wagą. Bywa,
że uczniowie z klasy IV i V, którzy wcześniej nie przeprowadzali tego typu doświadczeń,
błędnie podają położenia szalek, z których zdjęto przedmioty o identycznej wadze. Dzieci
przygotowują się w tym ćwiczeniu do rozwiązywania równań bez stosowania
przekształceń typowych dla szkolnej algebry. Uczą się reguł zachowywania znaku
równości po odjęciu od (dodaniu do) obu stron równania tej samej liczby.

8

–11.

[zadania 8–11. uczestnicy spotkania rozwiązywali samodzielnie]

12.

Jest to przykład zadania, w którym wzór skróconego mnożenia odkrywamy na liczbach
dzięki dostrzeżonym prawidłowościom. Uczniowie (nawet niektórzy piątoklasiści)
zauważają, że w pierwszym przykładzie trzeba dodać podstawy potęg, w następnym
dodać i pomnożyć ich sumę przez 2, a w trzecim dodać i pomnożyć wynik przez 3.
Ujmując to ogólnie, trzeba sumę podstaw pomnożyć przez ich różnicę. Nie ma liter, ale
jest algebra!

13.

To jeden z wielu przykładów zadań, w których odkryta reguła jest wzorem pewnej funkcji
(ciągu) podanym w postaci ogólnej lub rekurencyjnej, ale bez algebraicznych zapisów.
Uczniowie szkół podstawowych będą mieli trudności z odkrywaniem schematów ogólnych.
Znacznie sprawniej odkrywają schematy rekurencyjne (kolejne liczby różnią się o kolejne
liczby nieparzyste) niż schemat: liczba jest o jeden mniejsza niż kwadrat jej numeru
w

ciągu. Na schemat ogólny zwrócimy zatem większą uwagę w gimnazjum.

Kolejnym etapem warsztatu było przedstawienie i omówienie zadań dla uczniów gimnazjum.

Również na tym etapie pracy nauczyciele rozwiązywali i analizowali zadania („Karta pracy,

s. 12–15).

Zadanie

Komentarz

14.

W tym zadaniu u

czniowie odkrywają dwa schematy: sumę skrajnych składników

dzielimy przez 2 i

mnożymy tę sumę przez liczbę składników lub suma jest kwadratem

liczby składników (drugi schemat wydaje się łatwiejszy).

15.

Na tym przykładzie uświadamiamy uczniom, jak można rozumować przez analogię:
przyglądamy się, jak zmieniają się wyniki zadania, kiedy zmieniamy jego dane. Pod
koniec omawiania zadania niektórzy uczniowie mają zauważyć schemat pozwalający
rozwiązać zadanie o dowolnych danych bez rozrysowywania poszczególnych etapów,
do czego zachęcamy, gdy liczby w zadaniu są małe. Podsumowujemy: od wysokości
muru trzeba odjąć drogę w dzień, wynik podzielić przez różnicę drogi w dzień i drogi
w

nocy, a potem do wyniku dodać 1. W ten sposób otrzymamy informację, ile było dni

(nocy było o jeden mniej).

16a.

Uczniowie zauważają, że pierwsza liczba w liczniku wzrasta o 1, druga o 3, trzecia o 2
i że pierwsza liczba w mianowniku jest trzy razy większa od pierwszej w liczniku,
a

pozostałe zwiększają się o 1. Otrzymujemy ułamki, w których licznik i mianownik są

so

bie równe.

1

3

3

12

7

10

4

Uczniowie klasy V, którzy rozwiązywali to zadanie, znacznie szybciej dostrzegali
zależności rekurencyjne niż związki wyrażone schematem ogólnym, dlatego też liczba

3

12 raczej będzie dla nich wynikiem zwiększenia 9 o 3 niż mnożenia 4 z licznika przez
3. W gimnazjum więcej uczniów zrozumie schemat ogólny, dlatego zaproponujemy im
następne zadanie.

16b

–e.

17.

[zadania 16b–e. oraz 17. uczestnicy spotkania rozwiązywali samodzielnie]

18a.

Można oczywiście zacząć od prostszych przykładów. Chodzi o doświadczenie, jak
blisko „prawdziwej” algebry jesteśmy, działając na liczbach, oraz o to, jak trudny do
przekroczenia dla wielu uczniów jest próg dzielący schematy liczbowe i schematy
literowe. Oczekiwany schemat:

1

)

1

(

)

1

(

3

)

1

2

(

)

2

3

(

a

a

a

a

a

a

nie jest jedyny w tym zadaniu, ale mimo że intuicyjnie zrozumiały, bardzo trudny do
zapisania.

18b

–e.

[zadania 18b–e. uczestnicy spotkania rozwiązywali samodzielnie]

19.

Jedno z rozwiązań:

1

5

9

4

4

9

5

.

Aby zbudować zadane ułamki, trzeba zauważyć, że środkowa liczba w liczniku jest
sumą pozostałych liczb licznika i liczby te różnią się o 1 (analogiczna sytuacja
w

mianowniku). Można dostrzec także, że w liczniku danego ułamka mamy 60

dwudziestek dziewiątek i 1, w mianowniku też:

1

29

29

59

29

)

1

29

29

(

29

59

.

To nie są jedyne schematy do odkrycia. Oczywiście, aby radzić sobie z tego typu
zadaniami, potrzebne są zadania prezentowane wcześniej.

20.

W tym zadaniu zależy nam nie tyle na rozwiązaniu równania, ile na poprawnych
przekształceniach wyrażeń i stałej samokontroli ucznia, który na każdym etapie
podstawia za x

odpowiednią liczbę. Wielu uczniów ma kłopoty ze zrozumieniem

znaczenia zapisu 0 = 0 w

rozwiązaniach równań tożsamościowych lub w

sprawdzeniach. Może po rozwiązaniu takiego zadania trudności nie będą takie duże?

21.

Oczekujemy, że nasi uczniowie zapiszą pole prostokąta na kilka sposobów:

5

4

lub

3

3

1

3

1

3

1

3

1

1

1

1

, lub

2

3

1

3

3

1

1

2

.

Można pytać też o pola innych prostokątów z rysunku.

Na zakończenie spotkania prowadzący przedstawił ćwiczenia i zadania z podręczników M+,

w których na lekcjach arytmetyki z powodzeniem można nauczać algebry („Karta pracy”,

s. 16–19).

Mamy nadzieję, że niniejsze materiały zachęcą Państwa do uczestnictwa w następnych

spotkaniach organizowanych przez GWO.