3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

26.10.1996 r.

___________________________________________________________________________

1

Zadanie 1.

0DP\ GZyFK VWU]HOFyZ 3UDZGRSRGRELHVWZR WUDILHQLD Z FHO SRMHG\QF]\P

VWU]DáHP Z\QRVL GOD OHSV]HJR ] QLFK D GOD JRUV]HJR 1LH ZLHP\ NWyU\ ] QLFK

MHVW JRUV]\ D NWyU\ OHSV]\ 7HVWXMHP\ VWU]HOFyZ SRGGDMF LFK FLJRZL SUyE ] NWyU\FK

ND*GD SROHJR QD RGGDQLX MHGQHJR VWU]DáX SU]H] ND*GHJR ] QLFK 7HVW SU]HU\ZDP\ SR

SLHUZV]HM WDNLHM SUyELH Z Z\QLNX NWyUHM MHGHQ ]H VWU]HOFyZ WUDILá D GUXJL VSXGáRZDá

1DVWSQLH WHQ VWU]HOHF NWyU\ Z RVWDWQLHM SUyELH WUDILá RGGDMH MHV]F]H MHGHQ VWU]Dá -DNLH

MHVW SUDZGRSRGRELHVWZR L* W\P UD]HP WDN*H WUDIL Z FHO"

(A)

0.60

(B)

3

2

(C)

0.70

(D)

35

26

(E)

0.78

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

26.10.1996 r.

___________________________________________________________________________

2

Zadanie 2.

7DUF] VWU]HOQLF] XPLHV]F]DP\ QD SáDV]F]\(QLH ]H URGNLHP WDUF]\ Z

SXQNFLH R ZVSyáU]GQ\FK

( )

0

,

0

3XQNW WUDILHQLD SU]H] VWU]HOFD Z WDUF] PD

GZXZ\PLDURZ\ UR]NáDG QRUPDOQ\ R ZDUWRFL RF]HNLZDQHM

( )

0

,

0

, o takiej samej

ZDULDQFML REX ZVSyáU]GQ\FK L R ]HURZHM LFK NRZDULDQFML -DNLH MHVW

SUDZGRSRGRELHVWZR WUDILHQLD SU]H] VWU]HOFD Z SXQNW RGOHJá\ RG URGND WDUF]\ R PQLHM

QL* MHGQR RGFK\OHQLH VWDQGDUGRZH"

(A)

(

)

5

.

0

exp

1

−

−

(B)

( )

1

1

−

−

e

(C)

( )

1

exp

1

−

−

(D)

( )

1

exp

−

(E)

(

)

5

.

0

exp

−

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

26.10.1996 r.

___________________________________________________________________________

3

Zadanie 3. Oblicz

{

}

(

)

3

,

,

min

Pr

3

2

1

=

k

k

k

MHOL

3

2

1

,

,

k

k

k

to liczby oczek uzyskane w

wyniku rzutu trzema (uczciwymi) kostkami do gry.

(A)

216

36

(B)

216

37

(C)

216

38

(D)

216

39

(E)

216

40

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

26.10.1996 r.

___________________________________________________________________________

4

Zadanie 4.

)XQNFMD JVWRFL GDQD MHVW Z]RUHP







×

∈

+

=

tym

poza

0

)

1

,

0

(

)

1

,

0

(

)

,

(

dla

)

,

(

,

y

x

y

x

y

x

f

Y

X









=

2

1

Y

X

E

wynosi:

(A)

3

1

(B)

12

5

(C)

2

1

(D)

12

7

(E)

3

2

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

26.10.1996 r.

___________________________________________________________________________

5

Zadanie 5. Zmienna losowa N

PD UR]NáDG 3RLVVRQD ] SDUDPHWUHP F]VWRWOLZRFL

λ

,

NWyU\ FKFHP\ RV]DFRZDü 1LHVWHW\ PR*HP\ REVHUZRZDü MHG\QLH ]PLHQQ ORVRZ M,

NWyUD SU]\MPXMH ZDUWRü ]HUR MHOL N UyZQD MHVW ]HUR D ZDUWRü MHGHQ MHOL N jest

ZLNV]D RG ]HUD UHGQL DU\WPHW\F]Q ] SUyENL QLH]DOH*Q\FK REVHUZDFML QD ]PLHQQHM M
oznaczmy przez m

8]\VNDQ\ PHWRG QDMZLNV]HM ZLDU\JRGQRFL HVW\PDWRU SDUDPHWUX

λ

PD SRVWDü

(A)

m

m

−

1

(B)

( )

m

−

exp

(C)

m

ln

−

(D)













−

m

1

1

ln

(E)

(

)

1

exp

−

m

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

26.10.1996 r.

___________________________________________________________________________

6

Zadanie 6.

7HVWXMHP\ QLH]DOH*QRü GZyFK FHFK ] WDEOLF\ kontyngencyjnej. Jedna z

cech przyjmuje n, a druga m

PR*OLZ\FK ZDUWRFL ,ORü REVHUZDFML Z ND*GHM ]

(

)

m

n

⋅

FHOHN NODWHN NRPyUHN MHVW Z\VWDUF]DMFD DE\ ]DVWRVRZDü WHVW QLH]DOH*QRFL chi-

NZDGUDW 2GSRZLHGQLD VWDW\VW\ND EG]LH PLDáD UR]NáDG DV\PSWRW\F]Q\ chi-kwadrat o

LORFL VWRSQL VZRERG\ UyZQHM

(A)

(

) (

)

2

2

−

⋅

−

m

n

(B)

(

) (

)

1

2

2

+

−

⋅

−

m

n

(C)

(

) (

)

2

2

2

+

−

⋅

−

m

n

(D)

(

) (

)

1

1

1

−

−

⋅

−

m

n

(E)

(

) (

)

1

1

−

⋅

−

m

n

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

26.10.1996 r.

___________________________________________________________________________

7

Zadanie 7.

6\JQDá\ SRMDZLDM VL Z F]DVLH ]JRGQLH ] SURFHVHP Poissona, a oczekiwana

LORü V\JQDáyZ QD MHGQRVWN F]DVX Z\QRVL

λ

. Obserwujemy proces od momentu

0

T do

momentu

n

T

SRMDZLHQLD VL nWHJR V\JQDáX SU]\ F]\P n MHVW ] JyU\ XVWDORQ OLF]E

FDáNRZLW UyZQ FR QDMPQLHM 1LHREFL*RQ\P HVW\PDWRUHP SDUDPHWUX

λ

jest:

(A)

n

T

T

n

0

−

(B)

0

T

T

n

n

−

(C)

0

1

T

T

n

n

−

−

(D)

1

0

−

−

n

T

T

n

(E)

0

5

.

0

T

T

n

n

−

−

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

26.10.1996 r.

___________________________________________________________________________

8

Zadanie 8. Zmienna losowa

)

,

,

(

3

2

1

X

X

X

PD UR]NáDG QRUPDOQ\ ] ZDUWRFL

RF]HNLZDQ

)

0

,

0

,

0

(

L PDFLHU] NRZDULDQFML





















1

5

.

0

1

5

.

0

1

5

.

1

1

5

.

1

4

.

-HOL Z\VWSXMFD Z UyZQDQLX

E

X

b

X

a

X

+

⋅

+

⋅

=

3

2

1

zmienna losowa E

PD E\ü nieskorelowana ze zmiennymi losowymi

)

,

(

3

2

X

X

, to

ZVSyáF]\QQLN a PXVL Z\QLHü

(A)

1

(B)

3

4

(C)

3

5

(D)

2

(E)

3

7

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

26.10.1996 r.

___________________________________________________________________________

9

Zadanie 9.

3REUDOLP\ QLH]DOH*Q\FK REVHUZDFML ] UR]NáDGX QRUPDOQHJR R QLH]QDQHM

ZDUWRFL RF]HNLZDQHM

µ

i wariancji

2

σ

1DV] SUDFRZQLN REOLF]\á VXP SR

NROHMQ\FK REVHUZDFML D QDVWSQLH ]JXELá GDQH (UyGáRZH

=DPLDVW ZLF SLHUZRWQ\FK REVHUZDFML

(

)

100

2

1

,

,

,

x

x

x

mamy obserwacje

(

)

10

2

1

,

,

,

y

y

y

, gdzie:

∑

=

−

⋅

=

9

0

10

j

j

i

i

x

y

.

6]DFXMHP\ ZDULDQFM

2

σ

X*\ZDMF HVW\PDWRUD SRVWDFL

(

)

∑

=

−

⋅

10

1

2

i

i

y

y

const

. Estymator

WHQ MHVW QLHREFL*RQ\ ZWHG\ L W\ONR ZWHG\ NLHG\ VWDáD const równa jest:

(A)

9

1

(B)

10

9

1

⋅

(C)

81

1

(D)

90

1

(E)

99

1

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

26.10.1996 r.

___________________________________________________________________________

10

Zadanie 10. Niech X

PD IXQNFM JVWRFL







≤

≤

−

+

⋅

=

tym

poza

0

1

1

dla

5

.

0

5

.

0

)

(

x

x

x

f

X

JVWRü

( )

y

f

Y

zmiennej losowej

2

X

Y

=

dana jest dla

( )

1

,

0

∈

y

wzorem:

(A)

y

2

1

(B)

y

⋅

2

(C)

y

−

2

3

(D)

2

3

4

y

−

(E)

(

)

2

ln

1

1

⋅

+

y

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

26.10.1996 r.

___________________________________________________________________________

11

Egzamin dla

$NWXDULXV]\ ] SD(G]LHUQLND U

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

Arkusz odpowiedzi

*

,PL L QD]ZLVNR ./8&= 2'32:,('=,

Pesel ...........................................

Zadanie nr

2GSRZLHG( Punktacja

♦

1

D

2

A

3

B

4

D

5

D

6

E

7

C

8

B

9

D

10

A

*

2FHQLDQH V Z\áF]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z Arkuszu odpowiedzi.

♦

:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD