1

PRz – AiS – W9

METODY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

Charakterystyka ogólna. Zapas fazy i zapas modułu. Przeregulowanie i czas regulacji. Obiekt
z opóźnieniem. Twierdzenie Nyquista. Dobór wzmocnienia. Automatyczny eksperyment
Zieglera–Nicholsa.

CHARAKTERYSTYKA OGÓLNA

1.

Historia i cechy metod częstotliwościowych

•

Historia

1932 – Nyquist – badanie stabilności na podstawie charakterystyk częstotliwościowych

1942 – Bode – charakterystyki logarytmiczne i dobór wzmocnienia

1943 – Ziegler i Nichols – eksperymentalny dobór nastaw regulatorów PID po

doprowadzeniu do granicy stabilności.

•

Cechy metod częstotliwościowych

1.

Do projektowania służą charakterystyki częstotliwościowe a nie transmitancja, nie
ma więc ograniczeń na rząd obiektu (aproksymacja niepotrzebna).

2.

Charakterystyki częstotliwościowe otrzymuje się eksperymentalnie za pomocą
szybkiej transformaty Fouriera (FFT) pobudzając obiekt sygnałem o rosnącej
częstotliwości (chirp).

3.

Samostrojenie częstotliwościowe można przeprowadzić dla złożonych obiektów z
wzajemnymi interakcjami, gdzie odpowiedzi skokowe nie są powtarzalne (nie można
nastrajać na podstawie odpowiedzi skokowej).

4.

Metody częstotliwościowe są rozpowszechnione w pokrewnych dziedzinach – teoria
sygnałów, telekomunikacja, elektronika.

Wady

2.

Instrukcje Matlaba

•

w = logspace(d1,d2,n) – generowanie n punktów częstotliwości

ω

rozmieszczonych

równomiernie w skali logarytmicznej w przedziale
10

d1

...10

d2

w =logspace(d1,d2)

– standardowo 50 punktów

- chirp

FFT – Fast Fourier Transform

(Matlab, Java for Process Control)

moduł - M(

ω

)

F(

ω

) - faza

2

•

[M,F] = bode(l,m,w)

– wyznaczenie modułu M i fazy F transmitancji

m

l

dla

częstotliwości

ω

, gdzie F jest w stopniach

•

subplot(211)

– wybór górnej połowy ekranu do umieszczenia wykresu

semilogx(w,M), grid

– wykres modułu w skali półlogarytmicznej

subplot(212)

– wybór dolnej połowy ekranu

semilogx(w,F), grid

– wykres fazy

clg

– ekran standardowy (następny wykres pojedynczy, np. step()).

•

Zalecenia

1.

W typowych problemach wystarczy 50 punktów na dekadę.

2.

Przedział 10

d1

...10

d2

powinien objąć częstotliwości charakterystyczne lub graniczne,

którymi są odwrotności najmniejszej i największej stałej czasowej.

3.

Transmitancja II rzędu

2

2

2

2

)

(

n

n

n

s

s

s

G

ω

ξω

ω

+

+

=

)

2

(

)

2

(

)

(

2

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

4

4

3

4

4

4

4

2

1

4

4

4

4

3

4

4

4

4

2

1

ω

ω

ω

ξω

ω

ξω

ω

ω

ω

ω

ω

ξω

ω

ω

ω

−

−

+

−

=

+

+

−

=

=

n

n

arctg

j

e

j

j

s

G

n

n

n

n

n

n

Matlab -

ω

n

= 1

l = 1
w = logspace(-1,1,100);
ksi = 1
m = [1 2*ksi 1]
[M, F] = bode(l,m,w);
subplot(211)
semilogx(w,M), grid


subplot(212)
semilogx(w,F), grid

ksi = 0.6
..............
ksi = 0.4
..............
ksi = 1.5
..............

ξξξξ

= 0.4

ξξξξ

= 1.5

ξξξξ

= 0.4

ξξξξ

= 1.5

M(

ω

)

- moduł

F(

ω

)

- faza

3

Częstotliwością charakterystyczną jest

ω

n

= 1. Przedział 0.1...10 w logspace (-1,1,100)

obejmuje ją po dekadzie z lewej i prawej strony.

Wnioski

1.

Wzrost tłumienia

ξ

powoduje:

– zmniejszenie modułu szczytowego M

p

(peak) i jego częstotliwości

ω

p,

– zmniejszenie pasma przenoszenia BW (band-width), gdzie

.

707

.

0

2

/

1

≅

=

M

2.

Częstotliwość

ω

p

jest nieco niższa niż częstotliwość naturalna

ω

n

= 1.

3.

Faza F ustala się na wartości -180

°

, ponieważ stopnie licznika i mianownika

różnią się o 2

)

180

)

90

(

2

(

o

o

−

=

−

⋅

.

4.

Dla częstotliwości

ω

n

faza wynosi - 90

°

(niezależnie od

ξ

).

ZAPAS FAZY I ZAPAS MODUŁU

Są to pojęcia związane z układem otwartym.

1.

Serwomechanizm napięciowy

,

)

2

(

)

1

(

)

1

(

)

(

2

n

n

otw

s

s

T

s

s

T

k

Ts

s

k

s

G

ξω

ω

+

=

+

=

+

=

gdzie:

T

T

k

n

n

1

2

,

2

=

=

ξω

ω

2

2

2

2

2

2

)

2

(

1

)

2

(

)

(

n

n

n

n

n

n

n

zam

s

s

s

s

s

s

s

G

ω

ξω

ω

ξω

ω

ξω

ω

+

+

=

+

+

+

=

•

Charakterystyki układu otwartego

4

4 3

4

4 2

1

4

4

4

3

4

4

4

2

1













−

−

⋅

⋅

+

=

+

=

n

j

M

n

n

n

n

otw

e

j

j

j

G

ξω

ω

ξω

ω

ω

ω

ξω

ω

ω

ω

ω

2

arctan

90

2

2

2

2

)

2

(

)

2

(

)

(

Dane:

1

,

1

=

=

n

ω

ξ

(czyli p

%

= 0, t

r

= 4 ).

Matlab

l = 1
m = [1 2 0]
w = logspace(-1,1,100);
[M, F] = bode(l,m,w);
subplot(211)
semilogx(w,M), grid

– standardowy układ II rzędu

„omega dla jedynki”

)

2

(

2

n

n

s

s

ξω

ω

+

)

1

(

+

Ts

s

k

F

4

subplot(212)
semilogx(w,F), grid

[ w’ M F ]
..........................

0.4863 0.9991 -103.6

Tok obliczeń

PM=180

°

-103.6

°

= 76.4

°

•

Obliczenia „ręczne”

)

2

arctg

90

(

2

4

1

)

2

(

1

)

(

,

)

2

(

1

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−

−

+

=

+

=

+

=

o

j

otw

otw

e

j

j

j

G

s

s

s

G

4858

.

0

2

5

0

1

4

1

4

1

)

(

1

2

4

2

1

≅

−

=

→

=

−

+

→

=

+

→

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

j

G

:

otw

o

o

o

o

o

4

.

76

6

.

103

180

PM

6

.

103

2

4858

.

0

atan

90

)

(

1

=

−

=

→

−

=

−

−

=

∠

ω

j

G

2.

Układ III rzędu

•

Stabilność wg. Hurwitza (pierwiastki wielomianu ujemne lub o ujemnych częściach
rzeczywistych).
Układ zamknięty 3-go rzędu o dodatnich współczynnikach a

0

…a

3

w mianowniku

0

1

2

2

3

3

a

s

a

s

a

s

a

+

+

+

jest stabilny wtedy i tylko wtedy jeśli wyznacznik

0

0

3

1

2

1

0

3

2

2

>

−

=

=

∆

a

a

a

a

a

a

a

a

jest dodatni. Inaczej mówiąc, iloczyn współczynników środkowych ma być większy od
iloczynu wyrazów skrajnych.

Niech M(

ω

), F(

ω

) będą charakterystykami częstotliwościowymi układu otwartego,

a

ω

1

częstotliwością, taką że M(

ω

1

) =1. Zapasem fazy PM (phase margin)

nazywamy kąt określony wzorem

)

(

180

1

ω

F

PM

+

=

o

)

(

180

PM

)

(

1

)

(

1

1

1

1

ω

ω

ω

ω

j

G

j

G

j

G

otw

otw

otw

∠

+

=

→

∠

→

→

=

o

ω

1

1

≅

F(

ω

1

)

5

•

Określenie

k

kr

1

3

3

)

1

(

1

)

1

(

)

(

2

3

3

3

+

+

+

+

=

+

+

+

=

k

s

s

s

k

s

k

s

k

s

G

zam

Hurwitz:

8

,

8

1

3

3

=

<

→

+

>

⋅

kr

k

k

k

Wybieramy np. k = 4, aby układ był stabilny.

•

Charakterystyki układu otwartego

Matlab

l = 4; m = [1 3 3 1];
w = logspace(-1,1,200);
[M, F] = bode(l,m,w);
subplot(211)
semilogx(w,M), grid


subplot(212)
semilogx(w,F), grid

[ w’ M F ]
..........................

1.722 0.5062 -179.59

Powyżej

,

2

1

≅

M

zatem GM = 2.

•

Obliczenia „ręczne”

)

arctg

3

(

2

3

2

3

)

1

(

4

)

1

(

4

)

(

ω

ω

ω

ω

−

+

=

+

=

j

e

j

j

G

otw

ω

2

:

3

180

arctg

3

2

=

→

−

=

−

ω

ω

o

ω

2

≅

1/2 -180

°

Niech

ω

2

będzie częstotliwością, taką że F(

ω

2

) = –180

°

.

Zapasem modułu GM

nazywamy odwrotność modułu

M(

ω

2

), tzn.

)

(

1

2

ω

M

GM

=

6

→

=

=

=

+

=

2

1

8

4

4

4

)

3

1

(

1

)

(

2

3

2

3

2

ω

j

G

otw

GM = 2

Uwaga. Zapas modułu mówi, ile razy należy zwiększyć wzmocnienie, aby osiągnąć
granicę stabilności, tzn.

.

kr

k

GM

k

=

⋅

Z kryterium Hurwitza:

8

2

4

8

=

⋅

→

=

kr

k

Zapas modułu rozważa się tylko wtedy, gdy różnica stopni licznika i mianownika
transmitancji układu otwartego wynosi przynajmniej 3, albo gdy w układzie występuje
opóźnienie. Wtedy bowiem charakterystyka fazowa schodzi poniżej -180

°

i można

wyznaczyć częstotliwość

ω

2

.

PRZEREGULOWANIE I CZAS REGULACJI

1.

Przeregulowanie a zapas fazy

•

Układ II rzędu – serwomechanizm napięciowy

n

n

n

j

G

j

G

otw

otw

ξω

ω

ω

ξω

ω

ω

ω

ω

2

arctg

90

)

(

,

)

2

(

)

(

2

2

2

−

−

=

∠

+

=

o

•

Częstotliwość

ω

1

2

4

1

2

2

1

2

1

4

1

2

1

4

1

]

)

2

(

[

1

)

(

ξ

ξ

ω

ω

ξω

ω

ω

ω

ω

−

+

=

→

=

+

→

=

n

n

n

otw

j

G

Matlab

ksi = 0:0.01:1;
KW=ksi

.* ksi;

w1=sqrt(sqrt(4*KW

.*KW+1)-2*KW);

clg - pełen ekran
plot(ksi,w1), grid

W typowych układach sterowania zapas fazy PM wynosi 40

°

...75

°

, a zapas modułu

GM od 2 do 4. Im którykolwiek zapas mniejszy, tym większa skłonność do
oscylacji.

2

2

2

2

)

(

n

n

n

zam

s

s

s

G

ω

ξω

ω

+

+

=

)

2

(

2

n

n

s

s

ξω

ω

+

7

Wniosek. Im większe tłumienie

ξ

tym niższa częstotliwość

ω

1

, dla której układ

osiąga zapas fazy.

•

Zapas fazy PM

ξ

ξ

ξ

ξω

ω

ω

2

2

1

4

arctan

90

2

arctan

90

)

(

180

2

4

1

1

−

+

−

°

=

−

=

<

+

=

n

j

G

PM

otw

o

o

Przeregulowanie a zapas fazy

p

%

ξ

PM

37.2

25.4

16.3

9.5

4.6

4.3

0

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

1/

2

1

33.3

43.1

51.8

59.2

65.1

65.5

76.3

Wniosek. „Inżynierski” wzór

ξ

⋅

≅

100

PM

jest dobrym przybliżeniem pełnego wzoru

na zapas fazy PM, ale tylko dla przeregulowań nie mniejszych niż 10%

)

0.6

(

≤

ξ

.

ξ

ξ

ξ

ξ

⋅

≅

−

+

−

°

=

100

2

2

1

4

atan

90

PM

2

4

2.

Czas regulacji a częstotliwość

α

α

=

→

=

=

x

x

x

arctg

1

tg

,

x

x

1

arctg

90

1

)

tg(90

=

−

→

=

−

α

α

o

o

x

x

1

arctg

arctg

90

=

−

o

Ponieważ

,

2

arctg

90

PM

1

n

ξω

ω

−

=

o

więc również

1

2

arctg

PM

ω

ξω

n

=

albo

1

2

tg

ω

ξω

n

PM

=

oraz

PM

n

tg

2

1

1

ω

ξω

=

. Czas regulacji:

PM

t

n

r

tg

2

1

4

4

1

ω

ξω

=

=

PM

t

r

tg

8

1

ω

=

lub

PM

t

r

tg

8

1

=

ω

Matlab

PM=90-atan(w1

./(2*ksi))*180/pi;

plot(ksi, PM, ksi, 100*ksi), grid

8

•

Idea projektowania

Podobnie mając charakterystyki częstotliwościowe układu otwartego w dziedzinie
częstotliwości wyznaczamy z nich PM i

ω

1

. Na podstawie powyższych wzorów

określamy

100

PM

≅

ξ

, przeregulowanie p

%

i czas regulacji t

r

.

– p

%

a

ξ

:

OBIEKT Z OPÓŹNIENIEM

1.

Przykład

s

s

G

e

s

s

G

52

.

0

)

(

1

2

56

.

0

)

(

−

′

+

=

3

2

1

,

π

ω

ω

ω

180

52

.

0

)

(

)

(

−

′

∠

=

∠

j

G

j

G

Częstotliwości charakterystyczne:

5

.

0

2

1

=

,

92

.

1

52

.

0

1

=

→

zakres 0.1 ... 10

2.

Matlab

w = logspace(-1,1,100);
[M, Fprim] = bode(0.56,[2 1],w);
F=Fprim-0.52*w'*180/pi;
subplot(211)
semilogx(w,20*log10(M)), grid
subplot(212)
semilogx(w,F), grid

20*log10(M) – dB (decyble)

Uwaga. Charakterystyka fazowa obiektu z opóźnieniem osiąga silnie ujemne
wartości dla wyższych częstotliwości.

Mając dane p

%

i t

r

za pomocą powyższych wzorów przechodzimy na PM i

ω

1

w

dziedzinie częstotliwości.

%,

100

2

1

%

ξ

πξ

−

−

=

e

p

100

%

2

ln

2

100

%

ln

p

p

+

=

π

ξ

9

TWIERDZENIE NYQUISTA

Nyquist – 1932, Bell Telephone Laboratories, USA (telekomunikacja)

4.

Przykład. Układ III rzędu

•

Dany jest układ jak na rysunku

Wykreślić charakterystyki częstotliwościowe:

a)

układu na granicy stabilności

b)

układu stabilnego z zapasem modułu GM=2

c)

układu niestabilnego z „zapasem” GM=0.5.

•

Rozwiązanie

ad a) Granica stabilności – mianownik układu zamkniętego – pierwiastki urojone

0

)

(

1

=

+

s

G

otw

→

ω

j

s

=

→

0

)

(

1

=

+

ω

j

G

otw

0

)

1

(

1

2

=

+

+

ω

ω

j

j

k

→

kr

k

,

kr

ω

0

)

2

1

(

2

=

+

−

+

k

j

j

ω

ω

ω

→

Re:

0

2

2

=

+

−

k

ω

, Im:

0

)

1

(

2

=

−

ω

ω

1

=

kr

ω

,

2

=

kr

k

ad b)

GM

k

k

kr

⋅

=

1

2

2

=

=

=

GM

k

k

kr

ad c)

4

5

.

0

2

=

=

k

Uwaga. Wszystkie warianty układu
mają jednakowe charakterystyki fazowe.

k

2

)

1

(

1

+

s

s

Układ otwarty

M

1

ω

1

-180

F

PM

1/GM

ω

2

ω

ω

10

0

10

0

10

Matlab

w=logspace(-0.1,0.3,200);

995

.

1

10

3

.

0

=

l=2
m=[1 2 1 0]
[M1,F]=bode(l,m,w);
[M2,F]=bode(0.5*l,m,w);
[M3,F]=bode(2*l,m,w);
subplot(211)
semilogx(w,M1, w,M2, w,M3), grid
subplot(212)
semilogx(w,F), grid

•

Wykresy powyższe ilustrują następujące twierdzenie:

Twierdzenie Nyquista

Jeśli charakterystyki

),

(

ω

M

)

(

ω

F

układu otwartego, który nie ma biegunów w

prawej półpłaszczyźnie (tzn. jest stabilny przynajmniej granicznie), przechodzą
przez punkty:

−

°

−

=

180

)

(

2

ω

F

,

1

)

(

2

=

ω

M

, to układ zamknięty znajduje się na granicy

stabilności

oscylując z częstotliwością

kr

ω

ω

=

2

,

−

°

−

=

180

)

(

2

ω

F

,

1

)

(

2

<

ω

M

, to układ zamknięty jest stabilny, a zapas modułu

GM wynosi

)

(

1

2

ω

M

,

−

°

−

=

180

)

(

2

ω

F

,

1

)

(

2

>

ω

M

, to układ zamknięty jest niestabilny.

Wnioski

−

O stabilności układu zamkniętego wnosi się na podstawie charakterystyk układu
otwartego (inaczej niż u Hurwitza).

−

Potrzebne są charakterystyki częstotliwościowe, które można otrzymać eksperymentalnie
(transmitancja służy tutaj tylko do wykreślenia charakterystyk).

DOBÓR WZMOCNIENIA

1.

Dane przeregulowanie p

%

– lub zapas fazy PM

Problem

−

dane

%

p

,

)

(

ω

M

,

)

(

ω

F

−

szukane

,

k

r

t

Charakterystyki układu otwartego

M

F

ω

ω

1

ω

2

=

= 1

ω

kr

-180

niestabilny

Układ zamknięty:

na granicy
stabilności

stabilny

k

)

(

),

(

ω

ω

F

M

Obiekt

11

•

Tok projektowania

)

(

1

1

)

(

:

)

(

1

)

(

1

1

1

%

1

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ξ

ω

ω

ω

M

k

j

G

M

PM

p

M

k

otw

M

F

=

→

=

→

→

→

→

⋅

43

42

1

tgPM

t

r

1

8

ω

=

Przykład. Układ jak poprzednio

.

5

.

9

%

=

p

6

.

0

5

.

9

%

=

→

=

ξ

p

,

2

.

59

2

2

1

90

6

.

0

2

°

=

−

+

−

=

=

ξ

ξ

ξ

ξ

4

4

arctg

PM

)

(

)

(

s

G

k

s

G

otw

=

,

2

)

1

(

1

)

(

+

=

s

s

s

G

)

)

(

2

90

(

)

(

2

2

)

1

(

1

)

1

(

1

)

(

4

4 8

4

4 7

6

4

3

42

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

F

arctg

j

M

e

j

j

j

G

−

−

+

=

+

=

)

(

180

1

ω

F

PM

+

=

,

°

=

→

−

−

=

4

.

15

2

90

180

2

.

59

1

1

ω

ω

arctg

arctg

2754

.

0

4

.

15

1

=

=

tg

ω

2962

.

0

)

(

1

375

.

3

)

1

(

1

)

(

1

2

1

1

1

=

=

→

=

+

=

ω

ω

ω

ω

M

k

M

3

.

17

2

.

59

2754

.

0

8

8

1

=

⋅

=

=

tg

tgPM

t

r

ω

•

Matlab

clg
l=0.2962*[0 0 0 1];
m=[1 2 1 0];
t=0:0.2:20;
y=step(l, l+m, t);
plot(t, y), grid
max(y)

54

.

8

%

=

p

k

2

)

1

(

1

+

s

s

ew.

°

=

≅

60

100

ξ

PM

12

2.

Dany zapas modułu GM

Problem

−

dane

,

GM

),

(

ω

M

)

(

ω

F

−

szukane

,

k

,

%

p

r

t

•

Tok projektowania

)

(

1

1

)

(

:

)

(

180

)

(

2

2

2

2

2

)

2

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

M

GM

k

GM

j

G

M

F

M

k

M

F

otw

⋅

=

→

=

→

→

°

−

=

⋅

43

42

1

•

Przykład. Układ – jak na rysunku,

dB

12

=

dB

GM

roots([0.05, 0.6, 1])

→

2, 10

zakres

ω

1...100

•

Matlab

w=logspace(0, 2, 200);
l=1
m=[0.05, 0.6, 1, 0]
[M,F]=bode(l,m,w);
[w’, M, F]
...
4.50 0.0823 –180.27

2

ω

)

(

2

ω

M

180

−

≅

3

03

.

3

0873

.

0

4

1

≅

=

⋅

=

k

•

Określenie p

%

i t

r

%

1

1

1

100

)

(

)

(

3

)

(

180

1

)

(

p

F

PM

j

G

F

M

otw

→

→

+

=

→

→

=

⋅

ξ

ω

ω

ω

ξ

ω

ω

,

tgPM

t

r

1

8

ω

=

c.d. Matlab

[w’,

3*M,

F]

2.049 1.0018

-147.27

1

ω

1

≅

)

(

1

ω

F

73

.

32

27

.

147

180

=

−

=

PM

7

.

33

327

.

0

100

%

=

→

=

≅

p

PM

ξ

08

.

6

7

.

32

049

.

2

8

=

⋅

=

tg

t

r

)

1

6

.

0

05

.

0

(

2

+

+

s

s

s

k

GM

GM

dB

log

20

=

4

98

.

3

10

10

20

/

12

20

/

≅

=

=

=

dB

GM

GM

1

ω

1

PM

ω

ω

|G

otw

|

G

otw

3M

F

0.25

ω

2

1/GM

13

t=0:0.15:15;
l=3*[0,0,0,l]
y=step(l,l+m,t);
plot(t,y), grid
max(y)

39

.

38

%

=

p

AUTOMATYCZNY EKSPERYMENT ZIEGLERA–NICHOLSA

1.

Reguły Zieglera-Nicholsa

Ziegler i Nichols – 1943 – eksperymentalny dobór nastaw regulatora PID przez
doprowadzenie do granicy stabilności, a potem przez odpowiednią redukcję nastaw.

•

Kroki eksperymentu Z-N

1.

Ustawić regulator na działanie proporcjonalne P.

2.

Stopniowo zwiększając

p

k

doprowadzić układ zamknięty do granicy stabilności.

3.

Zapisać wzmocnienie krytyczne

kr

p

k

,

i okres oscylacji

kr

T .

4.

Określić nastawy według reguł podanych w tabeli dla wybranego typu regulatora.

Regulator

p

k

i

T

d

T

P

kr

p

k

,

5

.

0

–

–

PI

kr

p

k

,

45

.

0

kr

T

85

.

0

–

PID

kr

p

k

,

6

.

0

kr

T

5

.

0

kr

T

125

.

0

Uwagi

−

Regulator PID ma podwójne zero, bo

i

d

T

T

4

1

=

.

−

Reguły Z-N nie określają jakiego przeregulowania, ani czasu regulacji można się
spodziewać. Zazwyczaj przebiegi są oscylacyjne.

−

Obecnie eksperyment Z-N jest wykonywany automatycznie przez regulatory
niektórych firm (np. regulator RF-537 – laboratorium).

14

2.

Sterowanie przekaźnikowe

•

1984 – Åstrӧm i Hägglund

T – Tune (nastrajanie)
Regulator firmy Satt Control
(obecnie ABB)

Sterowanie przekaźnikowe ±U
i aproksymacja pierwszą harmoniczną

A

kr

– amplituda, T

kr

– okres

±H – histereza przekaźnika

•

Idea – ze względu na odporność układu ze sprzężeniem zwrotnym na przybliżenia
można ograniczyć się do pierwszej harmonicznej sygnału u(t) (szereg Fouriera) i
wyznaczyć „transmitancję” (tzw. funkcją opisującą)

A

jC

B

A

N

1

1

)

(

+

=

,

∫

=

A

d

sin

sin

A

f

B

0

1

)

(

1

φ

φ

φ

π

kr

A

A

=

Przybliżenie układu

←

granica stabilności

•

Przekaźnik idealny – bez histerezy (wystarcza dla obiektów inercyjnych,

nieodpowiedni dla całkujących)

kr

p

k

A

U

A

U

A

U

A

N

,

3

.

1

27

.

1

4

)

(

=

≅

=

=

π

Wniosek. Na podstawie

kr

p

k

,

i

kr

T

z reguł Zieglera–Nicholsa można dobrać nastawy

regulatora typu PID.

N(A)

Obiekt

U

+H

-H

A

kr

T

kr

y

+U

-U

u

PID

Obiekt

w

e

u

T

A, M

funkcja
przeka

ź

nika

cosφ dla C

1

15

3.

Redukcja wzmocnienia względem granicy stabilności

•

Przykład – obiekt „trudny” z regulatorem PID

zob. Przebiegi oscylacyjne

PID:

77

.

0

=

p

k

,

69

.

1

2

⋅

=

i

T

,

4

/

i

d

T

T

=

5

=

D

– bezpieczne

nastawy

(przebiegi

aperiodyczne krytyczne)

•

Można sprawdzić, że powyższy układ znajdzie się na granicy stabilności przy
wzmocnieniu regulatora PID wynoszącym

.

08

.

4

,

=

kr

p

k

– ponad 5–krotny wzrost wzmocnienia w stosunku do

wzmocnienia bezpiecznego.

Wniosek. Nastawy Zieglera–Nicholsa, które odpowiadają 2–krotnej redukcji
czułości regulatora względem granicy stabilności, dają w wyniku przebiegi
oscylacyjne. W celu uzyskania przebiegów bliskich aperiodycznym
krytycznym, należy jeszcze 2–krotnie zmniejszyć wzmocnienie

p

k

w stosunku

do wzmocnienia wynikającego z reguł Zieglera–Nicholsa (4–krotnie względem
wzmocnienia krytycznego).

•

Sterowanie przekaźnikowe

step: S.t.1 Relay:

S.on p eps, S.off p. – eps

I.v.0

Out. on 1

Out. off 0

F.v. 0.5

PID

(

)

5

1

1

+

s

29

.

5

77

.

0

08

.

4

.

,

,

=

=

bezp

p

kr

p

k

k

16

Ziegler-Nichols:

2U = 1.0, U=0.5
2A=0.446, A=0.223
T

kr

=8.8

•

Układ z regulatorem PID

P=1.75, I=1.75/4.4, D=1.75·1.1

91

.

2

223

.

0

5

.

0

3

.

1

3

.

1

,

=

=

=

A

U

k

kr

p

75

.

1

91

.

2

6

.

0

64

.

0

,

=

⋅

=

=

kr

p

p

k

1

.

1

4

1

,

4

.

4

5

.

0

=

=

=

=

i

d

ur

i

T

T

T

T