Z
A
KŁ
D
M
S
Y
N
EL
TR
C
H
A
A
Z
Y
YN
Z
EK
C
*
*
* PO
L
IM N
i PE
WR
.
.
Politechnika Wrocławska
Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Materiał ilustracyjny
do przedmiotu
ELEKTROTECHNIKA
Prowadzący:
Dr inż. Piotr Zieliński (I-29, A10 p.408, tel. 320-32 29)
(Cz. 2)
Wrocław 2005/6
PRĄD ZMIENNY
Klasyfikacja prądów zmiennych
Prąd zmienny
jednokierunkowy
dwukierunkowy
okresowy
nieokresowy
okresowy
nieokresowy
pulsujący
przemienny
sinusoidalnie zmienny
odkształcony
Indukcja elektromagnetyczna
Prawo indukcji elektromagnetycznej
Jeżeli wartość strumienia magnetycznego sprzężonego z obwodem
elektrycznym zmienia się w czasie, to w obwodzie tym indukuje się
siła elektromotoryczna o wartości:
dt
d
e
φ
=
d
Φ / dt>0
e
Φ
e
Reguła Lenza
Zwrot indukowanej sem jest taki, że prąd płynący pod jej
wpływem przeciwstawia się zachodzącym zmianom strumienia.
Strumień magnetyczny sprzężony
d
Φ / dt>0
e
e
Φ
z
φ
ψ
z
=
dt
d
dt
d
z
e
ψ
φ
=
=
gdzie: z - liczba zwojów
ψ - sprzężenie magnetyczne
Samoindukcja
e
i
Φ
i
L
=
ψ
i
∝
ψ
Współczynnik
proporcjonalności
L
jest
nazywany
współczynnikiem
indukcyjności własnej
lub
indukcyjnością
.
dt
d
e
ψ
=
i
def
ψ
L
=
0
;
0
≠
≠
dt
d
dt
di
ψ
[L]=1H (henr)
dt
i
d
L
e
=
Współczynnik samoindukcji
i
Φ
z
i
L
=
=
ψ
R
z
i
Φ
=
Podstawienie w miejsce
Φ
zależności wynikającej z prawa
Ohma dla obwodu magnetycznego....
.... daje wzór ilustrujący, jak indukcyjność
danego obiektu zależy od jego parametrów
konstrukcyjnych.
R
2
z
L
=
Samoindukcja – zasady strzałkowania
e
2
L
i
2
e
1
L
i
1
dt
di
L
e
1
1
−
=
dt
di
L
e
2
2
=
Zjawisko indukcji wzajemnej – transformacja (1)
i
1
i
2
Φ
1r
Φ
2r
Φ
12
e
1
e
2
Φ
21
dt
di
L
dt
di
L
e
2
21
1
1
1
+
=
21
11
1
e
e
e
+
=
sem samoindukcji
sem indukcji
wzajemnej
Sem indukowana w uzwojeniu 1.
1
11
1
i
L
ψ
=
2
21
21
i
L
ψ
=
- współczynnik indukcji własnej uzwojenia 1.
- współczynnik indukcji wzajemnej między uzwojeniem 2 i 1.
2
12
2
i
L
ψ
=
1
12
12
i
L
ψ
=
dt
di
L
dt
di
L
e
1
12
2
2
2
+
=
12
22
2
e
e
e
+
=
Analogicznie,
sem indukowana
w uzwojeniu2.
gdzie:
Zjawisko indukcji wzajemnej – transformacja (2)
L
1
L
12
e
2
i
1
i
2
L
2
e
1
i
1
i
2
Φ
1r
Φ
2r
Φ
12
e
1
e
2
Φ
21
Znaki
(+)
w wyrażeniach na e
1
i e
2
wystąpią
gdy obydwa prądy wpływają do zacisków
jednoimiennych. W przeciwnym przypadku
wystąpią znaki
(-)
. Zaciski jednoimienne na
schemacie powyżej oznaczono kropkami.
dt
di
L
dt
di
L
e
2
21
1
1
1
±
=
dt
di
L
dt
di
L
e
1
12
2
2
2
±
=
Można udowodnić, że współczynniki indukcji
wzajemnej
L
12
i
L
21
są sobie równe. W literaturze są
one często oznaczane literą
M
.
M
L
L
=
=
21
12
Siła elektromotoryczna ruchu
B
e
v
e
l
dx
[
]
B
v
×
= l
e
Reguła prawej dłoni
Jeżeli prawą dłoń umieścimy w polu
magnetycznym tak by linie sił pola były
skierowane ku dłoni a odgięty kciuk
wskazywał kierunek ruchu przewodnika to
wyciągnięte palce wskażą
kierunek
indukowanej sem.
v
l
B
e
=
Jeśli B,l,v są wzajemnie prostopadłe to:
Energia pola magnetycznego
i
Φ
dt
di
L
e
=
i
,ψ
t
I
0
T
i
L
ψ
=
Po uwzględnieniu:
dt
i
e
dW
=
i
∫
=
di
i
L
W
0
2
i
W
ψ
=
2
2
i
L
W
=
Prąd zmienny sinusoidalny
(przemienny)
ω
Wytwarzanie napięcia sinusoidalnego
ω
e
e
e
B
B
ω
α
d
)
cos
(
α
φ
Bld
dt
d
dt
d
e
−
=
−
=
t
E
e
m
ω
sin
=
Bld
E
t
m
ω
ω
α
=
=
;
Parametry przebiegu sinusoidalnego
e
ωt
T
ψ
E
m
)
sin(
ψ
ω +
=
t
E
e
m
E
m
– wartość maksymalna
f
T
π
π
ω
2
2 =
=
Pulsacja -
f
– częstotliwość
f
T
1
=
ψ
– faza początkowa
Okres -
Przedstawianie przebiegów sinusoidalnych
za pomocą wirujących wektorów
ω
B
C
a
b
c
ω t
A
Sumowanie przebiegów sinusoidalnych
Wartość skuteczna prądu zmiennego
i ( I
sk
)
R
Wartość skuteczna prądu zmiennego okresowego jest równa wartości prądu
stałego, który płynąc w ciągu jednego okresu przez taką samą rezystancję co
prąd zmienny wywołuje taki sam skutek cieplny.
W przypadku przebiegu sinusoidalnego
T
R
I
dt
R
i
sk
T
2
0
2
=
∫
t
T
I
i
m
π
2
sin
=
∫
=
T
def
sk
dt
i
T
I
0
2
1
2
m
sk
I
I
I
=
=
Zatem
Rezystancja obwodzie prądu przemiennego
R
i
u
R
R
=
t
I
i
R
R
ω
sin
2
=
t
R
I
u
R
R
ω
sin
2
=
R
I
U
R
R
=
t
U
u
R
R
ω
sin
2
=
t
I
U
i
u
p
R
R
R
R
ω
2
sin
2
=
=
R
U
R
I
I
U
P
R
R
R
R
2
2
=
=
=
i
R
;I
R
u
R
;U
R
R
U
R
I
R
u
R
i
R
u
R
i
R
t
p
P = P
sr
R
R
T
R
R
śr
I
U
dt
t
I
U
T
P
P
=
=
=
∫
0
2
sin
2
1
ω
Prąd płynący przez rezystancję R jest w fazie względem napięcia na
tym elemencie.
Indukcyjność w obw. prądu przemiennego
dt
di
L
u
L
L
=
t
I
i
L
L
ω
sin
2
=
i
L
;I
L
u
L
;
U
L
X
L
U
L
I
L
u
L
i
L
u
L
i
L
t
f
p
)
sin(
2
2
π
ω
ω
+
=
t
L
I
u
L
L
)
sin(
2
2
π
ω +
=
t
U
u
L
L
L
X
def
L
ω
=
- reaktancja ind. [
Ω
]
L
L
L
X
I
U
=
Prąd płynący przez indukcyjność L jest opóźniony względem
napięcia na tym elemencie o kąt f= 90
o
Moc odbiornika indukcyjnego
L
L
L
L
L
def
L
X
U
X
I
I
U
Q
L
2
2
=
=
=
t
I
U
i
u
p
L
L
L
L
ω
2
sin
=
=
0
=
=
śr
P
P
i
L
;I
L
u
L
;
U
L
X
L
U
L
I
L
u
L
i
L
u
L
i
L
t
f
p
p
t
I
i
L
L
ω
sin
2
=
)
sin(
2
2
π
ω +
=
t
U
u
L
L
Moc bierna -
Moc czynna -
[var]
Pojemność w obw. prądu przemiennego
I
C
U
C
C
U
C
I
C
u
C
i
C
u
C
i
C
t
f
p
)
sin(
2
2
π
ω
ω
+
=
t
C
U
i
C
C
t
U
u
C
C
ω
sin
2
=
C
C
C
X
U
I
=
dt
u
C
d
dt
dq
C
)
(
=
=
C
U
I
C
C
ω
=
C
X
def
C
ω
1
=
i
- reaktancja poj. (
Ω
)
)
sin(
2
2
π
ω +
=
t
I
i
c
C
Prąd płynący przez pojemność C wyprzedza napięcie na tym
elemencie o kąt f= 90
o
Moc odbiornika pojemnościowego
I
C
U
C
C
U
C
I
C
u
C
i
C
u
C
i
C
t
f
p
t
I
U
i
u
p
C
C
C
C
ω
2
sin
2
=
=
t
U
u
C
C
ω
sin
2
=
)
sin(
2
2
π
ω +
=
t
I
i
c
C
0
=
=
śr
P
P
C
C
C
C
C
C
def
C
X
U
X
I
I
U
Q
2
2
=
=
=
Moc bierna -
Moc czynna -
[var]
Szeregowe połączenie elementów R,L,C
U
U
R
U
L
L
U
C
R
C
I
U
R
U
U
L
I
U
C
Z
X
R
f
f
u
C
u
R
u
u
L
i
ω t
2
2
)
(
C
L
R
U
U
U
U
−
+
=
I
U
Z
def
=
- impedancja (
Ω
)
C
L
)
(
X
X
R
Z
−
+
=
2
2
2
2
X
R
Z
+
=
Reaktancja
zastępcza
C
L
X
X
X
−
=
)
(
)
(cos
R
X
tg
arc
Z
R
arc
=
=
ϕ
Rezonans napięć
C
L
X
X
=
U
U
R
U
L
X
L
U
C
R
X
C
I
C
f
L
f
π
π
2
1
2
=
LC
f
r
π
2
1
=
Częstotliwość
rezonansowa
U
R
U
U
L
I
U
C
R
U
U
=
Dobroć obwodu
rezonansowego
R
Z
=
R
U
I
=
R
L
def
U
U
Q
=
Równoległe połączenie elementów R,L,C
U
I
R
I
L
L
I
C
R
C
I
I
R
U
I
L
I
I
C
f
Y
G
f
i
L
i
R
i
i
L
u
ω t
B
2
2
)
(
C
L
R
I
I
I
I
−
+
=
Z
U
I
Y
def
1
=
=
2
2
)
(
C
L
B
B
G
Y
−
+
=
C
L
B
B
B
−
=
2
2
B
G
Y
+
=
Z wykresu wektorowego:
Po podzieleniu przez napięcie U otrzymamy:
gdzie:
R
U
I
G
R
1
=
=
susceptancja
ind.(poj) –
)
(
)
(
)
(
1
C
L
C
L
def
C
L
X
U
I
B
=
=
– susceptancja
zastępcza
[S]
[S]
[S]
admitancja –
konduktancja –
Rezonans prądów (obwód idealny)
U
I
L
X
L
I
C
X
C
I
C
L
C
L
X
X
B
B
=
⇒
=
C
f
L
f
π
π
2
1
2
=
Częstotliwość
rezonansowa
LC
f
r
π
2
1
=
U
I
L
I
C
I=0
∞
=
⇒
=
Z
I 0
Rezonans prądów (obwód rzeczywisty)
C
L
C
L
X
X
B
B
=
⇒
=
U
I
R
I
L
X
L
I
C
R
X
C
I
Częstotliwość
rezonansowa
LC
f
r
π
2
1
=
G
U
R
U
I
I
R
=
=
=
L
L
L
B
U
X
U
I
=
=
C
C
C
B
U
X
U
I
=
=
U
I
L
I
C
I=I
R
I
R
R
L
I
I
Q
=
Dobroć obwodu rezonansowego
Moc odbiornika prądu przemiennego
∫
=
=
T
śr
dt
i
u
T
P
P
0
1
P
sr
0
ϕ
u
i
u
i
t
p
p
U
I
I
cz
I
b
P
Q
S
ϕ
ϕ
I
U
Z
Moc czynna -
gdzie:
t
U
u
ω
sin
2
=
)
sin(
2
ϕ
ω −
=
t
I
i
- prąd odbiornika
- napięcie odbiornika
Po podstawieniu i przekształceniach
otrzymujemy:
cz
I
U
I
U
P
=
=
ϕ
cos
Moc czynna -
b
UI
I
U
Q
=
=
ϕ
sin
Moc bierna -
Trójkąt mocy
2
2
Q
P
I
U
S
+
=
=
Moc pozorna -
f
odb
U
I
odb
f
I
C
I
C
I
Kompensacja mocy biernej
Poprawa współczynnika mocy
I
odb
U
P
odb
cos
f
odb
I
I
C
C
I
odb
U
P
odb
cosf
odb
Obliczenie pojemności C jaką należy włączyć na
zaciski odbiornika aby zwiększyć współczynnik
mocy z cosf
odb
na cosf:
f
odb
U
I
odb
C
U
I
C
ω
=
odb
odb
odb
U
P
I
ϕ
cos
=
C
odb
odb
odb
odb
I
I
tg
I
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
sin
cos
ϕ
ϕ
ϕ
cos
odb
C
odb
I
I
tg
tg
−
=
)
(
2
ϕ
ϕ
ω
tg
tg
U
P
C
odb
odb
−
=
otrzymujemy:
odb
odb
odb
I
U
P
ϕ
cos
=
Po podstawieniu:
oraz
Kompensacja mocy biernej (2)
I
odb
U
P
odb
cos
f
odb
I
I
C
C
odb
C
odb
odb
P
Q
Q
P
Q
tg
−
=
=
ϕ
odb
odb
tg
P
Q
ϕ
=
ϕ
ϕ
tg
P
tg
P
Q
odb
odb
odb
C
−
=
f
P
S
Q
I
C
U
I
odb
I
C
I
f
odb
f
I
odb
cosf
odb
I
odb
sinf
odb
)
(
ϕ
ϕ
tg
tg
P
Q
odb
odb
C
−
=
C
U
X
U
Q
C
C
ω
2
2
=
=
)
(
2
ϕ
ϕ
ω
tg
tg
U
P
C
odb
−
=
Obliczanie obwodów prądu
sinusoidalnego przy użyciu rachunku
zespolonego
Liczby zespolone (postać algebraiczna)
y
x
jW
W
W
+
=
Im
Re
α
W
W
x
W
y
1
−
=
j
)
Re(W
W
x
=
)
Im(W
W
y
=
W
W
=
Warto zapamiętać!
2
2
y
x
W
W
W
+
=
j
j
−
=
1
1
2
−
=
j
α
α
sin
cos
W
j
W
W
+
=
Liczby zespolone (postać wykładnicza)
α
j
We
W
=
Im
Re
α
W
W
x
W
y
W
W
=
α
α
α
sin
cos
j
e
j
+
=
j
e
j
=
2
π
1
sin
cos
2
2
=
+
=
α
α
α
j
e
Wielkości sinusoidalne na płaszczyźnie
zespolonej
α
α
α
sin
cos
j
e
j
+
=
1
sin
cos
2
2
=
+
=
α
α
α
j
e
Im
I
Re
ω
α
Wektor o amplitudzie wirujący na płaszczyźnie zespolonej z prędkością
ω
.
I
2
)
sin(
2
)
cos(
2
2
)
(
α
ω
α
ω
α
ω
+
+
+
=
+
t
I
j
t
I
Ie
t
j
)
sin(
2
)
2
Im(
)
(
α
ω
α
ω
+
=
=
+
t
I
Ie
i
t
j
Wartość chwilowa
I
Ie
j
=
α
Skuteczna wartość zespolona
Obwody z elementami R,L,C
I
R
U
R
R
U
R
I
R
R
I
U
R
R
=
L
L
L
jX
I
U
=
I
L
U
L
X
L
U
L
I
L
f
L
L
X
jX
=
L
L
L
X
I
U
=
)
(
C
C
C
jX
I
U
−
=
I
C
U
C
X
C
U
C
I
C
f
C
C
X
jX
=
−
C
C
C
X
I
U
=
Szeregowe łączenie R,L,C
U
U
R
U
L
X
L
U
C
R
X
C
I
U
R
U
U
L
I
U
C
f
C
L
R
U
U
U
U
+
+
=
I
U
Z
def
=
zastępcza impedancja
zespolona
C
L
jX
jX
R
Z
−
+
=
Z
X
R
f
Trójkąt impedancji
C
L
X
X
R
Z
+
+
=
ϕ
j
Ze
Z
=
)
(
)
(cos
R
X
tg
arc
Z
R
arc
=
=
ϕ
2
2
)
(
C
L
X
X
R
Z
−
+
=
X
R
Z
+
=
gdzie:
)
(
C
L
X
X
j
X
−
=
gdzie:
Równoległe łączenie R,L,C
U
I
R
I
L
X
L
I
C
R
X
C
I
C
L
R
I
I
I
I
+
+
=
Po podzieleniu powyższego przez U otrzymujemy:
admitancja zespolona
C
L
jB
jB
G
Y
+
−
=
Z
U
I
Y
1
=
=
I
R
U
I
L
I
I
C
f
2
2
)
(
C
L
R
I
I
I
I
−
+
=
2
2
B
G
Y
+
=
Y
B
G
f
Trójkąt admitancji
C
L
B
B
B
−
=
Moc zespolona
I
*
I
U
S
=
Moc zespolona -
Im
Re
y
U
y
I
f
U
I
Z
Po podstawieniu:
U
U
j
Ue
U
ψ
=
I
j
Ie
I
ψ
−
=
*
oraz
otrzymujemy:
ϕ
ψ
ψ
j
j
e
I
U
Ie
U
S
I
U
=
=
−
)
(
ϕ
j
e
S
S
=
ϕ
ϕ
sin
cos
I
jU
I
U
S
+
=
Q
j
P
S
+
=
S
P
Q
Trójkąt mocy
2
2
Q
+
= P
S
Szeregowe łączenie impedancji
Z
1
Z
2
Z
3
U
1
U
3
U
I
U
2
3
2
1
U
U
U
U
+
+
=
I
U
I
U
I
U
I
U
3
2
1
+
+
=
zastępcza impedancja
zespolona
⋅⋅
⋅
+
+
+
=
3
2
1
Z
Z
Z
Z
z
Równoległe łączenie impedancji
Z
1
Z
2
Z
3
I
1
I
2
I
3
I
U
3
2
1
I
I
I
I
+
+
=
U
I
U
I
U
I
U
I
3
2
1
+
+
=
⋅⋅
⋅
+
+
+
=
3
2
1
1
1
1
1
Z
Z
Z
Z
z
zastępcza admitancja
zespolona
⋅⋅
⋅
+
+
+
=
3
2
1
Y
Y
Y
Y
z
Układy prądu trójfazowego
Napięcie trójfazowe (wytwarzanie)
U
a
U
c
U
b
120
o
120
o
120
o
U
U
U
U
c
b
a
=
=
=
B
ω
U
U
a
=
u
a
u
b
u
c
ω t
U
a
e
U
U
j
b
2
3
2
=
=
−
π
U
a
e
U
U
j
c
=
=
3
2
π
3
2
π
j
e
a
=
przy czym:
Prądnica napięcia trójfazowego
(zasada konstrukcji)
W
W ’
U
U ’
V
V ’
Φ
stojan
wirnik
U
V
W
+
-
U
A
I
A
U
B
U
C
I
B
I
C
f
f
f
U
A
I
A
f
U
B
I
B
f
U
C
I
C
f
C
B
A
I
I
I
I
+
+
=
0
I
A
U
B
U
C
U
A
I
B
I
C
U
A
U
B
U
C
Z
f
Z
f
Z
f
I
A
U
B
U
C
U
A
I
B
I
C
U
A
U
B
U
C
U
CA
U
AB
U
BC
I
0
=0
Z
f
Z
f
Z
f
Układ trójfazowy jako zespół 3.symetrycznych obwodów jednofazowych
I
A
U
B
U
C
U
A
I
B
I
C
U
A
U
B
U
C
U
CA
U
AB
U
BC
Z
f
Z
f
Z
f
0
0
=
I
W układzie symetrycznym:
I
A
U
C
U
CA
U
AB
U
BC
I
B
I
C
I
O
U
A
U
B
Układ czteroprzewodowy
napięcia fazowe
f
C
B
A
U
U
U
U
=
=
=
napięcia przewodowe (międzyfazowe)
U
U
U
U
CA
BC
AB
=
=
=
Układ połączeń w gwiazdę
f
p
I
I
=
U
C
U
B
U
A
I
C
I
A
I
B
-U
A
U
CA
U
BC
U
AB
-U
C
-U
B
30
o
30
o
30
o
f
f
f
I
A
U
B
U
C
U
A
I
B
I
C
U
A
U
B
U
C
U
CA
U
AB
U
BC
Z
Z
Z
f
p
I
I
=
B
A
AB
U
U
U
−
=
C
B
BC
U
U
U
−
=
A
C
CA
U
U
U
−
=
f
p
U
U
3
=
Układ połączeń w trójkąt
U
BC
U
CA
U
AB
A
B
C
I
A
I
B
I
C
U
CA
U
AB
U
BC
A
B
C
I
AB
I
BC
I
CA
Z
f
Z
f
Z
f
U
AB
30
o
I
C
I
A
I
B
U
CA
U
BC
30
o
30
o
I
AB
-I
CA
f
f
f
-I
AB
I
CA
I
BC
-I
CB
f
p
U
U
=
Z wykresu wektorowego wynika:
CA
AB
A
I
I
I
−
=
°
=
30
cos
2
f
p
I
I
AB
BC
B
I
I
I
−
=
Zatem:
f
p
I
I
3
=
BC
CA
C
I
I
I
−
=
Moc w układzie 3-fazowym
Gwiazda
f
C
B
A
f
P
P
P
P
P
1
3
3
=
+
+
=
I
A
U
B
U
C
U
A
I
B
I
C
U
CA
U
AB
U
BC
Z
f
Z
f
Z
f
A
B
C
Trójkąt
U
BC
U
CA
U
AB
A
B
C
I
A
I
B
I
C
U
CA
U
AB
U
BC
A
B
C
I
AB
I
BC
I
CA
Z
f
Z
f
Z
f
f
C
B
A
f
P
P
P
P
P
1
3
3
=
+
+
=
ϕ
ϕ
cos
3
cos
1
I
U
I
U
P
f
f
f
=
=
ϕ
ϕ
cos
3
cos
1
I
U
I
U
P
f
f
f
=
=
ϕ
cos
3 I
U
P
gwiaz
=
ϕ
cos
3 I
U
P
trójk
=
I
U
S
f
3
3
=
ϕ
sin
3
3
I
U
Q
f
=
Analogicznie:
oraz