Przykład 7.5. Naprężenia styczne pręta skręcanego

Znaleźć naprężenia styczne w obu częściach pręta cienkościennego skręcanego.

Rysunek 1. Pręt skręcany

Rysunek 2. Przekroje poprzeczne pręta

Sztywności:

(

)

3

1

3

2 δ

πr

G

GJ

S

=

,

(

)

(

)

2

1

3

2

3

2













=

=

δ

δ

π

r

GJ

r

G

GJ

S

S

(1)

Warunek równowagi:

ml

M

M

B

A

=

−

(2)

Warunki przemieszczeniowe:

0

=

A

ϕ

,

ϕ

0

=

B

(3)

Obliczamy:

(

) (

)

(

)

(

)

l

GJ

GJ

ml

GJ

l

M

GJ

l

M

S

S

S

A

S

A

B

2

2

2

2

1

0

2

⋅

=

−

+

=

ϕ

(4)

2

1

3

2

ml

r

M

A

=

















+













δ

(5)

1

3

1

2

2

+













=

δ

r

ml

M

A

,

2

2

3

1

6

1

2













+













+

−

=

δ

δ

r

r

ml

M

B

.

(6)

Jeśli

to:

10

/

=

δ

r

602

ml

M

A

=

,

602

601ml

M

B

−

=

.

(7)

Naprężenia

r

ml

r

ml

2

2

1

1204

3

2

3

1

1

602

δ

π

π

δ

τ

=

=

,

δ

π

δ

π

τ

2

2

2

1204

601

2

1

602

601

r

ml

r

ml

−

=

−

=

(8)

Stosunek naprężeń:

20

3

1

.

60

10

1

3

601

3

601

1

2

≈

=

=

=

r

δ

τ

τ

(9)

Sztywności części drugiej jest 300 razy większa, lecz naprężenia w tej części są 20 razy
większe od naprężeń w części pierwszej.

Jeżeli porównać wskaźniki wytrzymałości obu części, to otrzymujemy:

( )

( )

30

3

2

3

1

2

2

2

1

2

=

=

=

δ

π

δ

δ

π

r

r

r

W

W

S

S

.

(10)

2