Przykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.

Wyznacz rozkład naprężenia stycznego w przekroju podporowym belki wspornikowej

o przekroju cienkościennym obciążonej na swobodnym końcu pionową siłą P. Siła ustawiona
jest w środku sił poprzecznych.

Wyznacz położenie środka sił poprzecznych.
Wymiary przekroju poprzecznego belki podane są na rysunku zamieszczonym

poniżej.
Oblicz naprężenia przyjmując następujące wartości liczbowe:
P=20kN, a=4cm, δ=3mm

δ

δ

4a

2a

Przekrój poprzeczny

P

Rozwiązanie
Wyznaczymy rozkład naprężenia stycznego τ ze wzoru:

y

s

y

z

z

s

z

y

I

s

s

S

T

I

s

s

S

T

s

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

δ

δ

τ

, gdzie:

s- współrzędna łukowa o początku na brzegu przekroju,
T

y

– siła tnąca skierowana wzdłuż osi y,

T

z

– siła tnąca skierowana wzdłuż osi z,

s

z

S - moment statyczny względem osi centralnej z odciętej części przekroju,

T

z

T

y

y

s

δ

z

s

y

S - moment statyczny względem osi centralnej y odciętej części przekroju,

δ(s)- szerokość przekroju,
I

z

- moment bezwładności przekroju względem osi głównej centralnej z,

I

y

- moment bezwładności przekroju względem osi głównej centralnej y.

W omawianym zadaniu składowa pozioma siły tnącej równa jest zeru. Zatem wyrażenie na
naprężenie styczne upraszcza się do postaci:

z

s

z

y

I

s

s

S

T

s

⋅

⋅

−

=

)

(

)

(

)

(

δ

τ

Obliczmy poszczególne składniki powyższego wzoru.

Z treści zadania wynika, że siła tnąca T

y

jest stała i wynosi P.

Obliczmy moment statyczny I

z

z

c

2a

2a

2a

y

δ

Do wyznaczenia momentu bezwładności
I

z

wystarczy ustalenie położenia poziomej

osi głównej centralnej. Ponieważ przekrój
poprzeczny ma poziomą oś symetrii oś ta
jest także osią główną centralną.
Moment bezwładności względem osi z
obliczymy wykorzystując wzór Steinera.
Wyrażenia, w których występuje mała
wyższego rzędu

będziemy pomijać.

3

δ

δ

δ

δ

3

2

3

3

64

2

)

2

(

2

12

)

4

(

a

a

a

a

I

z

=

⋅

⋅

+

⋅

=

Wyznaczmy naprężenie styczne w dolnej półce przekroju dla

)

2

,

0

(

a

s

∈

z

s

2a

2a

y

δ

Obliczmy moment statyczny odciętej części przekroju

)

(

)

(

s

F

s

y

S

s

z

⋅

=

)

(s

y

- oznacza współrzędną środka ciężkości odciętej

części przekroju

)

(s

F

pole powierzchni odciętej części przekroju

Dla

)

2

,

0

(

a

s

∈

δ

s

a

s

F

s

y

S

s

z

⋅

=

⋅

=

2

)

(

)

(

Podstawiając do wzoru na naprężenie styczne obliczoną funkcję momentu statycznego
otrzymamy:

2

δ

δ

δ

δ

δ

τ

2

3

64

6

3

64

2

)

(

)

(

)

(

a

s

P

a

as

P

I

s

s

S

T

s

z

s

z

y

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

−

=

Znak minus oznacza , że zwrot naprężenia stycznego jest przeciwny do kierunku wzrostu
współrzędnej łukowej s.

Wyznaczmy naprężenie styczne w ściance środnika dla

)

6

,

2

(

a

a

s

∈

Obliczmy moment statyczny odciętej części przekroju

z

δ

y

s

2a-1/2 (s-2a)

2a

2a

dla

)

6

,

2

(

a

a

s ∈

)

(

)

(

s

F

s

y

S

s

z

⋅

=

δ

δ

)

2

(

)

2

(

2

1

2

4

)

(

)

(

2

a

s

a

s

a

a

s

F

s

y

S

s

z

−

⋅









−

−

+

=

⋅

=

δ













−

+

−

=

2

2

2

4

2

1

a

sa

s

S

s

z

Podstawiając do wzoru na naprężenie styczne obliczoną funkcję momentu statycznego
otrzymamy:

δ

δ

δ

δ

δ

τ

3

2

2

3

2

2

64

2

4

2

1

3

3

64

2

4

2

1

)

(

)

(

)

(

a

a

sa

s

P

a

a

sa

s

P

I

s

s

S

T

s

z

s

z

y













−

+

−

⋅

−

=













−

+

−

⋅

−

=

⋅

⋅

−

=

Znak minus oznacza , że zwrot naprężenia stycznego jest przeciwny do kierunku wzrostu
współrzędnej łukowej s

Wyznaczmy naprężenie styczne w górnej półce przekroju dla

)

8

,

6

(

a

a

s

∈

Wprowadźmy nową współrzędną łukową s’, której początek znajduje się na krawędzi górnej
półki.



Obliczmy moment statyczny odciętej części przekroju

z

δ

y

s’

2a

2a

2a

)

'

(

)

'

(

'

s

F

s

y

S

s

z

⋅

=

Dla

)

2

,

0

(

'

a

s

∈

δ

'

2

)

'

(

)

'

(

,

s

a

s

F

s

y

S

s

z

⋅

−

=

⋅

=

Podstawiając do wzoru na naprężenie styczne obliczoną funkcję momentu statycznego
otrzymamy:

3

δ

δ

δ

δ

δ

τ

2

3

'

,

64

'

6

3

64

'

2

)

(

)

(

)

(

a

s

P

a

as

P

I

s

s

S

T

s

z

s

z

y

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅

−

=

Narysujmy wykresy wyznaczonych funkcji naprężenia.
Oznaczymy zwroty naprężenia strzałkami.

τ

max

=(18/64) P/aδ=46.88 [MPa]

A

τ

A

=(12/64) P/aδ=31.25 [MPa]

τ

B

τ

B

=(12/64) P/aδ=31.25 [MPa]

Wyznaczmy położenie środka sił poprzecznych.

Policzmy sumę naprężeń stycznych działających w półkach górnej i dolnej oraz w środniku.

t

g

t

s

t

d

Sumę naprężeń

δ

τ

2

'

64

'

6

)

(

a

s

P

s

⋅

=

na górnej półce t

g

obliczymy z całki:

∫

∫

⋅

=

⋅

=

=

=

a

a

s

s

g

ds

a

Ps

ds

t

2

0

2

2

'

0

'

64

'

6

'

δ

δ

τδ

4

P

a

s

P

ds

a

Ps

t

a

a

g

16

3

64

'

2

1

6

64

'

6

2

0

2

2

2

0

2

=

=

⋅

=

∫

δ

δ

Suma naprężeń na dolnej półce t

d

jest oczywiście taka sama jak na górnej.

g

d

t

t

=

Sumę naprężeń

δ

τ

3

2

2

64

2

4

2

1

3

)

(

a

a

sa

s

P

s













−

+

−

⋅

−

=

w środniku t

s

obliczymy z całki:

∫

∫

⋅













−

+

−

⋅

=

⋅

=

=

=

a

a

a

s

a

s

s

ds

a

a

sa

s

P

ds

t

6

2

3

2

2

6

2

64

2

4

2

1

3

δ

δ

τδ

P

t

s

=

Położenie środka siłą poprzecznych obliczymy z warunku zerowania się momentów od sił w
półkach i środniku. Ponieważ środek sił poprzecznych znajduje się na osi symetrii do
wyznaczenia pozostaje tylko współrzędna pozioma.

2a

2a

t

g

ξ=?

t

s

k

t

d

0

2

2

=

−

+

=

∑

ξ

s

d

g

k

t

a

t

a

t

M

⇒

0

2

16

3

2

16

3

=

⋅

−

⋅

+

⋅

ξ

P

a

P

a

P

⇒

]

[

3

4

3

cm

a

⋅

=

=

ξ

5