Nauka o elektrycznej izolacji

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA

Katedra Urządzeń Elektrycznych i Techniki Świetlnej

Część I

Wytrzymałość elektryczna

Wykład 1

1. Wstęp
2. Rozkład pola elektrycznego

w układach izolacyjnych

1. Wstęp

1.1. Informacje ogólne o przedmiocie

Przedmiot TECHNIKA WYSOKICH NAPIĘĆ składa się z 3 części

I. Wytrzymałość elektryczna

- wyznaczanie rozkładu pola elektrycznego,

- wyładowania elektryczne,

- wytrzymałość materiałów i układów izolacyjnych,

- konstrukcja układów izolacyjnych urządzeń.

II. Przepięcia i ochrona przeciwprzepięciowa

- przepięcia atmosferyczne i wewnętrzne,

- zjawiska falowe w układach elektroenergetycznych,

- ochrona przeciwprzepięciowa.

III. Wysokonapięciowa technika probiercza i pomiarowa

- przyrządy i metody pomiarowe w TWN,

- układy probiercze – wytwarzanie napięć probierczych: przemiennych, stałych,

piorunowych, łączeniowych

- badania profilaktyczne urządzeń WN.

1.2. Literatura uzupełniająca

1. Flisowski Z.: Technika wysokich napięć. WNT, Warszawa, 2009

2. Gacek Z.: Wysokonapięciowa technika izolacyjna. Wyd. Politechniki Śląskiej.,

Gliwice, 1996

3. Lidmanowski W.: Zarys teorii wyładowań w dielektrykach. WNT, Warszawa

1988,

4. Wodziński J.: Wysokonapięciowa technika prób i pomiarów. PWN, Warszawa

1997,

5. Praca zbiorowa: Inżynieria wysokich napięć w elektroenergetyce. Tom I. Wyd.

Politechniki Poznańskiej,1996,

6. Praca zbiorowa: Inżynieria wysokich napięć w elektroenergetyce. Tom II. Wyd.

Politechniki Poznańskiej,1999,

7. Stryszowski S., Paciorek Z.: Ćwiczenia laboratoryjne wysokonapięciowe. Pol.

Świętokrzyska

. Materiały pomocnicze nr 99, Kielce, 1999

Zaliczenie – kolokwium zaliczające.

Od układu izolacyjnego wysokonapięciowego wymaga się aby niezawodnie
pracował przez ekonomicznie uzasadniony okres czasu, czyli żeby
charakteryzował się odpowiednią wytrzymałością elektryczną. Wytrzymałość
ta jest ograniczona przez występowanie wyładowań zupełnych, czyli że przy
pewnym napięciu występuje przebicie izolacji, lub, w przypadku izolacji
gazowej, przeskok przeskok elektryczny.

Miarą wytrzymałości elektrycznej są:

- napięcie przeskoku lub przebicia w przypadku układów izolacyjnych (w kV),

- natężenie przeskoku lub przebicia w przypadku materiałów izolacyjnych (w kV/cm

lub w kV/mm), nazywamy to natężenie zazwyczaj wytrzymałością dielektryczną

1.3. Pojęcie wytrzymałości elektrycznej

Rys. 1.1. Obrazy pola elektrycznego w układzie płaskim i ostrzowym

W układach izolacyjnych mamy na ogół do czynienia z nierównomiernym rozkładem
pola elektrycznego. Układ należy zatem projektować tak, aby w żadnym punkcie
układu nie było przekroczone krytyczne natężenie pola elektrycznego przy założonym
napięciu przyłożonym do układu.
Aby określić w którym punkcie układu występuje największe natężenie pola
elektrycznego musimy znać rozkład pola elektrycznego występujący w tym układzie.
Wynika stąd potrzeba wyznaczania rozkładu pola elektrycznego w układach
izolacyjnych.

Układ izolacyjny zbudowany jest z dielektryków. Dobierając materiały izolacyjne dla
projektowanego układu musimy znać ich własności elektryczne, w szczególności
wytrzymałość elektryczną. W przypadku materiałów izolacyjnych wytrzymałość
elektryczna określana jest przez krytyczne natężenie pola elektrycznego (albo dopusz-
czalne natężenie pola przy dodatkowym uwzględnieniu współczynnika bezpieczeń-
stwa).

Tab. 1.1. Orientacyjna wytrzymałość elektryczna niektórych dielektryków

(normalne warunki atmosferyczne, grubość < 1cm, 50 Hz – wartość skuteczna)

Dielektryk

E

p

Dielektryk

E

p

Dielektryk

E

p

[kV/cm]

[kV/cm]

[kV/cm]

Powietrze

21

Olej kondensat.

200



250 Polietylen

300



600

Azot

18

Olej transfor.

150



200 Polistyren

250



400

Tlen

20

Olej silikonowy

200



300 Plexi

230



250

CO

2

25

Olej rycynowy

140



160 Teflon

300



400

SF

6

53

Wazelina

200



250 PCV

250



500

2. Rozkład pola elektrycznego w układach izolacyjnych

2.1. Metody badań rozkładu pola elektrycznego

Metody badań rozkładu pola można podzielić następująco:

a) metody analityczne:

- dokładne,
- przybliżone (metoda różnic skończonych, metoda elementów skończo-

nych, metoda elementów brzegowych),

- specjalne (metoda superpozycji, metoda odbić, metoda przekształceń

konforemnych)

b) metody graficzne,
c) metody eksperymentalne:

- bezpośrednie,
- modelowe (modele rzeczywiste, modele analogowe)

Na wykładach zajmować się będziemy wyłącznie metodą analityczną dokładną. Można ją
stosować w przypadkach kształtów elektrod dających się opisać równaniem matematycznym.
Metoda graficzna (metoda gumki i ołówka) może być stosowana dla dowolnego układu
dwuwymiarowego – jest jednak bardzo pracochłonna.
Metody modelowe, np. metoda wanny elektrolitycznej lub metoda papieru półprzewodzącego,
wykorzystują fakt, że wektor gęstości prądu elektrycznego zmienia się według tego samego
prawa co wektor natężenia pola elektrycznego.

2.2. Metoda analityczna dokładna – podstawy teoretyczne

Modelem teoretycznym dla pola elektrycznego jest pole elektrostatyczne.
Własności pola elektrostatycznego

a) bezwirowość pola (pole potencjalne)





l

0

Edl





































z

V

k

y

V

j

x

V

i

gradV

E

U

AB

= V

A

- V

B

x

V

dx

dV

E













W przypadku tylko jednej współrzędnej

Całka wzdłuż linii zamkniętej równa zeru oznacza, że napięcie między dwoma
punktami określone jest jednoznacznie jako różnica potencjałów

Znak minus mówi, że zwrot wektora E jest przeciwny do kierunku wzrostu
potencjału, lub inaczej – wzrost x (odległości) to malenie potencjału V.

b) pole bez upływności i innych strat dielektrycznych

.

Sprzężenia mają wyłącznie charakter pojemnościowy.

Dlaczego nie wykorzystujemy zależności matematycznych dla rzeczywistego pola
elektrycznego tylko matematyczny model pola elektrostatycznego?

Pole elektryczne przemienne 50 Hz – jeżeli długość fali nie jest porównywalna z
wymiarami układu izolacyjnego to pole to można traktować matematycznie tak jak
pole elektrostatyczne, wirowość pola jest pomijalna.
Straty w materiałach izolacyjnych mają duże znaczenie dla izolacji (starzenie) i
obwodu elektrycznego (straty energii), jednak na rozkład pola nie mają praktycznie
wpływu. Prądy pojemnościowe są o rzędy wielkości większe od prądów upływnoś-
ciowych.

Pole elektryczne stałe – w stanie ustalonym nie jest polem elektrostatycznym ale
upływnościowym. Rozkład pola zależy od sprzężeń upływnościowych. Da się
udowodnić, że w układach z dielektrykiem jednorodnym, rozkład pola jest taki sam
jak dla pola przemiennego. Równania opisujące są podobne.

Jeżeli pole jest wytwarzane tylko przez ładunek powierzchniowy na elektrodach to w dowol-

nym punkcie przestrzeni międzyelektrodowej

0

D

div

z

D

y

D

x

D

z

y

x





















Jeżeli zaś istnieje ładunek o gęstości przestrzennej

























D

div

z

D

y

D

x

D

z

y

x

Pole elektrostatyczne – jest polem źródłowym. Pole to wytwarzają ładunki na elektrodach.
Gęstość powierzchniowa tych ładunków określona jest wektorem indukcji dielektrycznej D.
Między wektorem indukcji i wektorem natężenia pola elektrycznego występuje zależność

S

Q

D



,

E

E

D









0

'







(2.3)

Współczynnik proporcjonalności



nazywany jest przenikalnością dielektryczną ośrodka. Cha-

rakteryzuje on zdolność danego układu do gromadzenia ładunku i jego wartość zależy od rodzaju
ośrodka.

Jednostki: [D] = 1C/m

2

= 1 A



s/m

2

[E] = 1V/m
[



] = 1 A



s/V



m = 1 F/m

Przenikalność próżni (stała dielektryczna)

m

F

10

36

1

9

0











0

)

gradV

(

div

E

div

)

E

(

div

D

div























lub w przypadku występowania ładunku przestrzennego













divgradV

D

div

0

z

V

y

V

x

V

2

2

2

2

2

2



















- równanie Laplace’a

0

V

2















V

2

z

k

y

j

x

i





















Inny zapis

Operator nabla

























2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V

- równanie Poisson’a

Podobieństwo pól: elektrostatycznego i upływnościowego (dla napięcia stałego)
wynika z podobieństwa równań je opisujących.

E

j







E

D







divgradV

D

div









divgradV

j

div









Pole elektrostatyczne

Pole upływnościowe

gdzie:

D - wektor indukcji,

E - wektor natężenia pola elektrycznego,



- przenikalność dielektryczna ośrodka

j – wektor gęstości prądu,



- przewodność elektryczna dielektryka.

Badając rozkład pola elektrycznego przy napięciu stałym, stosujemy te same wzory
matematyczne po zastąpieniu indukcji dielektrycznej gęstością prądu a przenikalności
dielektrycznej przewodnością elektryczną.

2.3. Rozkład pola w układach elektrod z jednym dielektrykiem

2.3.1. Układ płaski

x

a

E

x

x

E

x

V

x

,

V

B

a

V

x

0

0

U

E

x

V

x

,

V

A

0

z

V

y

V

x

V

2

2

2

2

2

2



















0

dx

V

d

2

2



x

B

A

V

x







Warunki brzegowe

dla x = 0



V

x

= V

A

= U

dla x = a



V

x

= 0

zatem: U = A

0 = A + B



a



B = –U/a











 









a

x

1

U

x

a

U

U

V

x

a

U

dx

dV

E

x







Rys. 2.2. Rozkład potencjału i natężenia pola

w układzie płaskim

0





x

a

Materiał izolacyjny układu charakteryzują między innymi:

– przenikalność dielektryczna względna



’,

– rezystywność (lub przewodność) skrośna i powierzchniowa,
– współczynnik strat dielektrycznych tg



,

– wytrzymałość elektryczna

Układ izolacyjny charakteryzuje m. in. pojemność elektryczna określona zależnością:

a

S

'

U

ES

'

U

S

D

U

Q

C

0

0



















U

Q

C



















a

x

e

2

a

y







x

y

a

0,75a

Unikanie efektu krawędziowego

Profil Rogowskiego

Sposób uproszczony

Pojemność układu płaskiego

30 kV

a



’= 1



’= 2,5

30 kV

a

Zadanie 2.1.

Do powietrznego układu płaskiego o wymiarach: S = 250 cm

2

, a = 2cm

Przyłożono napięcie U = 30 kV. Po przyłożeniu napięcia układ ten został zalany cieczą
izolacyjną o przenikalności dielektrycznej względnej



’ = 2,5. Obliczyć natężenie pola E,

indukcję D, ładunek na elektrodach Q oraz pojemność układu przed i po zalaniu.

E = U/a = 30kV/2cm = 15 kV/cm

E = U/a = 30kV/2cm = 15 kV/cm

2

10

3

11

0

0

0

cm

C

10

27

,

13

10

15

36

10

E

E

'

D



























2

10

0

0

cm

C

10

17

,

33

27

,

13

5

,

2

D

'

E

'

D





















Q

0

= D

0



S = 13,27



10

-10



250 = 33,17



10

-8

C

Q = D



S = 33,17



10

-10



250 = 82,94



10

-8

C

F

10

06

,

11

10

30

10

17

,

33

U

Q

a

S

C

12

3

8

0

0























C =



’



C

0

= 27,65



10

-12

F = 27,65 pF

2

2

0

cm

C

cm

s

A

cm

V

cm

V

s

A

cm

V

E

cm

F



































Jednostki

D =



’



0



E

D =



0



E + P

W wyniku zalania wzrósł ładunek na elektrodach układu a więc także indukcja i pojemność
układu. Natężenie pola w przestrzeni międzyelektrodowej pozostało bez zmian. Zjawisko
polaryzacji prowadzi do powstania pola przeciwnie skierowanego do pola wynikającego z
przyłożonego napięcia. Musi dopłynąć dodatkowy ładunek aby to przeciwne pole zrów-
noważyć. Pole E = U/a wytwarzane jest tylko przez ładunek swobodny – ładunek związany
kompensuje pole wytworzone przez ładunek polaryzacyjny.

Rys. 2.3. Zjawisko polaryzacji dielektrycznej

elektroda

dielektryk

ładunek powierzchniowy Q

elektroda

- ładunek swobodny

- ładunek związany

- dipol elektryczny

2.3.2. Układ dwóch walców współosiowych







xl

2

Q

D

E

x

x























A

x

ln

l

2

Q

x

dx

l

2

Q

dx

xl

2

Q

V

x













dla x = R



V

R

= 0, czyli

V

r

= U

0

A

R

ln

l

2

Q











R

ln

l

2

Q

A







Dla x = r mamy

r

R

ln

l

2

Q

U







l

x

R

r

,

dx

dV

E

x

x











dx

E

V

x

x

r

R

ln

l

2

U

Q









r

R

ln

x

R

ln

U

V

x





r

R

ln

x

U

dx

dV

E

x

x







Rys.2.4. Układ walców

współosiowych

x

R

ln

l

2

Q

V

x







r

x

R





U

E

min

E

max

x

x

R

r

0

R

r

0

V

x

E

x

r

R

ln

R

U

E

min



r

R

E

E

min

max



x

r

E

E

max

x



r

R

ln

l

2

U

Q

C









Rys. 2.5. Rozkład potencjału i natężenia pola w układzie walców

współosiowych

Zadanie 2.2.

W układzie walców współosiowych zastosowano dielektryk dla którego

dopuszczalne natężenie pola wynosi E

dop

. Dla jakich wymiarów układu (stosunek R/r) można do

niego przyłożyć najwyższe napięcie?

r

R

ln

r

U

E

dop

dop



r

R

ln

r

E

U

dop

dop







0

r

R

R

r

r

r

R

ln

E

dr

dU

2

dop

dop



































0

1

r

R

ln





1

r

R

ln



....

71828182

,

2

e

r

R





 

r

E

U

dop

max

dop





r

R

0

1

2

3

4

5

6

R/r

U

dop

Rys. 2.6. Zależność dopuszczalnego napięcia

na układzie od stosunku R/r

x

E

x

E

max

0

2r

a

2.3.3. Układ dwóch walców mimoosiowych

r

a

ln

r

2

U

E

max



Rys. 2.7. Układ walców ekscentrycznych

Najwyższa wartość natężenia pola
występuje przy powierzchni przewodu

2.3.4. Kula samotna

E

max

x

r

0

x

x

0

E

x

V

x

U







2

x

x

x

4

Q

D

E





A

x

4

Q

dx

x

1

4

Q

dx

E

V

2

x

x























dla x





V

x

= 0 stąd A = 0,

dla x = r V

x

= U stąd

r

4

Q

U





,

Q = U



4



r

x

r

U

V

x



2

x

x

r

U

E



r

U

E

max



r

4

U

Q

C







Rys. 2.8. Rozkład potencjału i pola

elektrycznego w otoczeniu

kuli samotnej

r

x







2.3.5. Układ kul koncentrycznych

R

E

x

0

0

E

max

U

V

x

x

r

x

R

r

R

r

x

E

min







2

x

x

x

4

Q

D

E





A

x

4

Q

dx

E

V

x

x













r

R

x

R

x

r

U

V

x











2

x

x

)

r

R

(

r

R

U

E











r

)

r

R

(

R

U

E

max









r

R

r

R

4

C









Korzystając z warunków brzegowych, podobnie jak

w przypadku walców współosiowych

x = r



V

x

= U,

x = R



V

x

= 0,

po przekształceniach i podstawieniach otrzymujemy

zależności:

Rys. 2.9. Układ kul koncentrycznych

r

x

R





2.3.6. Układ kul ekscentrycznych (iskierniki pomiarowe)

r

a

r

U

b)

a

+ U/2

-U/2

x

0

E

max

E

x

a)

Rys. 2.10. Niesymetryczny (a) i syme-

tryczny (b) układ kul
ekscentrycznych

z

max

a

U

E







s

max

a

U

E







)

r

a

(

f

z





)

r

a

(

f

s





Układ niesymetryczny

Układ symetryczny

Tab. 2.1. Wartości współczynników



z

i



s

a/r



z



s

0,1

1,03

1,03

0,2

1,06

1,06

0,5

1,17

1,17

1,0

1,52

1,36

1,4

1,62

1,52

2,0

1,97

1,78

5,0

5,17

3,15

E

1t

= E

2t

,

2.4. Rozkład pola w układach izolacyjnych uwarstwionych

– informacje ogólne

2n

E

2

E

2t

E

1n

E

1t

E

1

E

Granica ośrodków

1

2



Rys.2.11. Składowe pola elektrycznego na granicy ośrodków

'

1

'
2

0

'

1

0

'
2

1

2

n

2

n

1

E

E























Rodzaje uwarstwień:
-

uwarstwienie szeregowe

, przy którym linie sił są prostopadłe do granicy ośrodków

(składowe styczne są równe zeru),

-

uwarstwienie równoległe

– linie sił pola są równoległe do granicy ośrodków

(składowe normalne są równe zeru),

-

uwarstwienie ukośne

(lub szeregowo-równoległe) – linie sił padają ukośnie na

granicę ośrodków (rys.2.11).

Ponieważ dla napięć przemiennych
niskiej częstotliwości (50 Hz) wymiary
geometryczne układu izolacyjnego nie
są porównywalne z długością fali, a tg



dielektryków jest dużo mniejszy od
jedności, rozkłady pól elektrostatycz-
nego i elektrycznego 50 Hz można
uważać za równoważne.

Wykorzystujemy model teoretyczny pola elektrostatycznego.

2.5. Rozkład pola w układach izolacyjnych uwarstwionych szeregowo

2.5.1. Układ płaski

Układ płaski uwarstwiony szeregowo zachowuje się w układzie tak jak połączone szeregowo układy
jednowarstwowe. Napięcia na warstwach można więc policzyć korzystając zarówno z teorii pola jak i z teorii
obwodów.

Rys.2.12. Układ płaski uwarstwiony dwoma dielektrykami



2



1 >

U

U

2

U

1



2



1

a

2

a

1

Mamy dwa kondensatory połączone szeregowo.
Na jednym z nich będzie występować napięcie
U

1

na drugim U

2

. Na całym układzie napięcie

U = U

1

+ U

2

Natężenia pola w każdej warstwie będą wynosić

czyli możemy zapisać

U = E

1

a

1

+ E

2

a

2.

,

a

U

E

1

1

1



2

2

2

a

U

E



Natężenia pola w obu warstwach są odwrotnie proporcjonalne do przenikalności
dielektrycznych dielektryków. Układ równań pozwalający obliczyć natężenia pola w
obu warstwach będzie miał postać:

1

2

2

1

2

2

1

1

E

E

a

E

a

E

U











Przy występowaniu

m warstw, natężenie
pola w warstwie x,

wynosi:

Rys.2.13. Rozkład potencjału i natężenia pola w układzie płaskim uwarstwionym dwoma dielektrykami

Podstawiając np. E

1

z drugiego równania

do pierwszego równania, możemy obliczyć E

2

Ponieważ



1

>



2

, więc E

2

> E

1

, silniej naprężany jest dielektryk o mniejszej przenikalności.

Znając natężenia pola możemy obliczyć napięcia z wzorów

U

1

= E

1

a

1

, U

2

= E

2

a

2

.

1

2

2

1

E

E







1

2

1

2

2

a

a

U

E









V

x

0

0

U

x

a

1

a

2

U

2

U

1

V

x

x

E

1

E

2

E

x

a

2

a

1

0

0







m

1

n

n

n

x

x

a

U

E





Zadanie 2.3.

Do układu płaskiego powietrznego o odstępie elektrod a = 4 cm przyłożono

napięcie o wartości szczytowej 110 kV. Sprawdzić wytrzymałość układu wiedząc, że
wytrzymałość elektryczna powietrza wynosi E

p

= 30 kV/cm. Jak zmieni się wytrzymałość

układu jeżeli pomiędzy elektrody wsuniemy płytę szklaną o grubości a

2

= 0,5 cm.

Przenikalność dielektryczna szkła



2

’ = 5, a wytrzymałość elektryczna E

s

= 180 kV/cm.

110 kV

a

110 kV

a

1

a

2

cm

kV

5

,

27

cm

4

kV

110

a

U

E

•







• E < E

p

• 27,5 kV/cm < 30 kV/cm
• w układzie nie nastąpi przeskok iskry.

cm

kV

55

,

30

5

1

5

,

0

5

,

3

110

'

'

a

a

U

E

•

2

1

2

1

pow

















• E

pow

> E

p,

• w powietrzu nastąpi przeskok, całe

napięcie pojawi się na warstwie szkła,

• E

sz

= U/a

2

,

• E

sz

= 110/0,5 = 220 kV/cm,

• nastąpi przebicie szkła.

2

'
2

'

1

pow

1

pow

'
2

'

1

pow

sz

2

sz

1

pow

a

E

a

E

U

E

E

a

E

a

E

U



















2.5.2. Układ walców współosiowych

U











r



r



r

1

2

1

x

1

r

r

ln

x

U

E





dla r

1

< x < r

2

2

3

2

x

2

r

r

ln

x

U

E





dla r

2

< x < r

3

Rys. 2.14. układ walców współosiowych

uwarstwiony dwoma dielektrykami

1

2

2

1

min

1

r

r

ln

r

U

E



2

3

2

2

max

2

r

r

ln

r

U

E



1

2

max

2

min

1

E

E







(2.18)

2

3

2

max

2

1

2

2

min

1

2

1

r

r

ln

r

E

r

r

ln

r

E

U

U

U









1

2

max

2

min

1

E

E







Układ równań

















2

3

1

2

1

2

2

max

2

r

r

ln

r

r

ln

r

U

E







r



r



r

U



r



r



r



U



U

E

x



m ax

E



m ax

E



m in

E

E



m in

V

x

x

0

0

x



r



r



r

V

x

x

0

0

x



r



r



r

E

x



m ax

E

E



m in



m ax

E



m in

E



U



U

U

Rys. 2.15. Rozkład potencjału i natężenia pola w

układzie walców współosiowych

a) przypadek



1

>



2

b) przypadek



1

<



2













m

1

n

n

1

n

n

i

i

m ax

i

r

r

ln

1

r

U

E

U











r



r



r

.

r

r

ln

r

U

E

,

r

r

ln

r

U

E

,

r

r

ln

r

U

E

,

r

r

ln

r

U

E

2

3

3

2

min

2

2

3

2

2

max

2

1

2

2

1

min

1

1

2

1

1

max

1









,

r

r

E

E

,

E

E

,

r

r

E

E

,

r

r

E

E

2

1

2

1

1max

2max

2

1

min

1

max

2

2

3

min

2

max

2

1

2

min

1

max

1

















,

x

r

E

E

r

x

E

E

1

max

1

x

1

1

x

1

max

1







.

x

r

E

E

r

x

E

E

2

max

2

x

2

2

x

2

max

2







Zestawienie wzorów dla układu walców współosiowych

2

1

U

U

U





Zadanie 2.4.

Wyznaczyć rozkład natężenia pola i potencjału w układzie kabla jednożyłowego

uwarstwionego dwoma dielektrykami dla dwóch przypadków: a)



1

/



2

= 3, b)



1

/



2

= 1/3.

Dane:

przyłożone napięcie U = 30 kV,
promień żyły r

1

= 1 cm,

promień granicy ośrodków r

2

= 2 cm,

promień zewnętrzny r

3

= 4 cm.



r



r



r









Rys. 2.16. Układ izolacyjny współosiowy

uwarstwiony

Stosujemy układ równań

Podstawiając do pierwszego równania

możemy obliczyć E

2max

2

3

2

max

2

1

2

2

min

1

r

r

ln

r

E

r

r

ln

r

E

U









1

2

max

2

min

1

E

E







1

2

max

2

min

1

E

E























2

3

1

2

1

2

2

max

2

r

r

ln

r

r

ln

r

U

E





3

1

1

2







3

1

2







cm

kV

23

,

16

2

ln

8

90

2

ln

2

ln

3

1

2

30

E

max

2





















cm

kV

41

,

5

3

1

23

,

16

E

E

1

2

max

2

min

1













cm

kV

82

,

10

2

41

,

5

r

r

E

E

1

2

min

1

max

1









cm

kV

12

,

8

2

1

23

,

16

r

r

E

E

3

2

max

2

min

2









kV

50

,

7

2

ln

2

41

,

5

r

r

ln

r

E

U

1

2

2

min

1

1











kV

5

,

22

50

,

7

30

U

U

U

1

2















cm

kV

41

,

5

2

ln

8

30

2

ln

2

ln

3

2

30

E

max

2









cm

kV

23

,

16

3

41

,

5

E

E

1

2

max

2

min

1













cm

kV

46

,

32

2

23

,

16

r

r

E

E

1

2

min

1

max

1









cm

kV

71

,

2

2

1

41

,

5

r

r

E

E

3

2

max

2

min

2









kV

50

,

22

2

ln

2

23

,

16

r

r

ln

r

E

U

1

2

2

min

1

1











kV

5

,

7

50

,

22

30

U

U

U

1

2











Obliczenia

0

5

10

15

20

0

1

2

3

4

5

x, cm

E

x

, kV

/cm

0

5

10

15

20

25

30

35

0

1

2

3

4

5

x, cm

E

x

, k

V/

cm

0

5

10

15

20

25

30

35

0

1

2

3

4

5

x, cm

V

x

, kV

0

5

10

15

20

25

30

35

0

1

2

3

4

5

x, cm

V

x,

k

V

a) przypadek



2

/



1

= 1/3

b) przypadek



2

/



1

= 3

Rys. 2.17. Rozkłady natężenia pola i potencjału dla dwóch przypadków

uwarstwienia układu

Korzystniejszy jest rozkład w przypadku 1, czyli gdy bliżej żyły znajduje się dielektryk
o większej przenikalności dielektrycznej. Uwarstwienie z powietrzem może być korzystne,
ale warstwa powietrza nie może znajdować się przy żyle. Uwarstwianie układów współosio-
wych pozwala urównomiernić pole i niekiedy zmniejszyć sumaryczną grubość izolacji.

Zadanie 2.5. Wyznaczyć i porównać rozkłady natężenia pola i potencjału w układzie kabla

jednożyłowego 110 kV z izolacją papierowo-olejową dla dwóch przypadków:
• izolacja jednowarstwowa niestopniowana, papier kablowy g = 0,06 mm,



’ = 4,

• izolacja stopniowana, cztery rodzaje papieru o różnej gęstości - o różnym stopniu
skalandrowania (walcowania):

I.



1

= 4,0, g

1

= 0,06mm,

II.



2

= 3,8, g

2

= 0,08mm,

III.



3

= 3,5,

g

3

= 0,12mm,

IV.



4

= 3,0,

g

4

= 0,17mm.

Promień żyły kabla wynosi r = 9 mm, dopuszczalne natężenie pola dla izolacji papierowo-

olejowej wynosi 12 kV/mm (ze współczynnikiem bezpieczeństwa).

018

,

1

12

9

110

E

r

U

r

R

ln

max











Rozwiązanie

ad a) izolacja jednowarstwowa.

Obliczmy grubość izolacji ‘a’ wiedząc, że E

max

= 12 kV/mm a U = 110 kV.

r

R

ln

r

U

E

m ax





018

,

1

12

9

110

E

r

U

r

R

ln

max













018

,

1

e

r

R





Ponieważ warstwa izolacji zwinięta jest z papieru o grubości g = 0,06mm, więc warstwa ta

będzie się składać z n = a/g zwojów.

265

06

,

0

9

,

15

g

a

n







a więc

mm

9

,

15

768

,

1

9

)

1

e

(

r

r

R

a

018

,

1















Minimalne natężenie pola (przy promieniu R) wynosi:

kV

34

,

4

018

,

1

9

,

24

110

r

R

ln

R

U

E

min











Korzystając z wzorów:

018

,

1

x

110

r

R

ln

x

U

E

x









oraz

018

,

1

x

9

,

24

ln

110

r

R

ln

x

R

ln

U

V

x









można wykreślić rozkład natężenia pola i potencjału dla układu kabla jednożyłowego
z dielektrykiem jednorodnym.

0

2

4

6

8

10

12

14

6

10

14

18

22

26

x, mm

E

x

, k

V

/m

m

Rys. 2.18. Rozkład natężenia pola elektrycznego w układzie kabla jednożyłowego z izolacją niestopniowaną

0

20

40

60

80

100

120

6

10

14

18

22

26

x, mm

V

x

, k

V

Rys. 2.19. Rozkład potencjału
w układzie kabla jednożyłowego
z izolacją niestopniowaną

ad b) izolacja stopniowana.

Dla obliczenia grubości czterech warstw zbudowanych z papieru o różnych gęstościach można
wykorzystać wzór:

Zakładamy, że wartość maksymalna natężenia pola w każdej warstwie jest taka sama i równa
wartości dopuszczalnej dla izolacji papierowo-olejowej czyli wynosi 12 kV/mm. Zatem z
powyższego wzoru wynika, że

1

2

1

2

m ax

2

m ax

1

r

r

E

E









1

r

r

E

E

n

1

n

n

1

n

max

)

1

n

(

max

n

















Otrzymamy więc następujące zależności dla promieni poszczególnych warstw:

053

,

1

8

,

3

0

,

4

r

r

2

1

1

2











086

,

1

5

,

3

8

,

3

r

r

3

2

2

3











167

,

1

0

,

3

5

,

3

r

r

4

3

3

4











Ponieważ znany jest promień żyły (r

1

= 9 mm), można z powyższych relacji obliczyć promienie

r

2

, r

3

i r

4

.

r

2

= 9,47 mm, r

3

= 10,29 mm, r

4

= 12,01 mm

Obliczamy napięcia na warstwach U

1

, U

2

, U

3

i U

4

.

kV

54

,

5

053

,

1

ln

9

12

r

r

ln

r

E

U

1

2

1

max

1

1











kV

35

,

9

086

,

1

ln

47

,

9

12

r

r

ln

r

E

U

2

3

2

max

2

2











kV

03

,

19

167

,

1

ln

29

,

10

12

r

r

ln

r

E

U

3

4

3

max

3

3











kV

08

,

76

92

,

33

110

)

U

U

U

(

110

U

3

2

1

4















Pozostaje jeszcze do obliczenia promień r

5

4

5

4

4

max

4

r

r

ln

r

U

E







528

,

0

01

,

12

12

08

,

76

r

r

ln

4

5









695

,

1

r

r

4

5





mm

36

,

20

r

5



.

Jak wynika z wartości r

5

, sumaryczna grubość izolacji czterowarstwowej jest mniejsza niż

grubość izolacji jednowarstwowej (R = 24,9 mm).

Grubości warstw:

a

1

= r

2

– r

1

= 9,47 – 9,00 = 0,47mm,

liczba zwojów

8

06

,

0

47

,

0

g

a

n

1

1

1







,

a

2

= r

3

– r

2

= 10,29 – 9,47 = 0,82mm,

liczba zwojów

10

08

,

0

82

,

0

g

a

n

2

2

2







,

a

3

= r

4

– r

3

= 12,01 – 10,29 = 1,72mm,

liczba zwojów

14

12

,

0

72

,

1

g

a

n

3

3

3







,

a

4

= r

5

– r

4

= 20,36 – 12,01 = 8,35mm,

liczba zwojów

.

49

17

,

0

35

,

8

g

a

n

4

4

4

























r



r



r



r



r

Na rysunku 2.20 przedstawiono (w skali) obliczony
układ izolacyjny z izolacją stopniowaną. Cztery
warstwy

papieru

o

różnych

gęstościach

daje

sumaryczną grubość izolacji mniejszą niż w układzie
jednowarstwowym z jednorodną izolacją papierowo-
olejową.
Rysunki 2.21 i 2.22 przedstawiają rozkład natężenia
pola elektrycznego i rozkład potencjału dla układu z
izolacją stopniowaną.

Rys. 2.20. Układ izolacyjny walców współosiowych z izolacją
stopniowaną

0

2

4

6

8

10

12

14

6

10

14

18

22

26

x, mm

E

x

,

k

V/

m

m

0

20

40

60

80

100

120

6

10

14

18

22

26

x, mm

V

x

, k

V

Rys. 2.21. Rozkład natężenia pola elektrycznego w układzie kabla jednożyłowego z izolacją
stopniowaną, cienką linią zaznaczono rozkład dla przypadku izolacji jednorodnej

Rys. 2.22. Rozkład potencjału w układzie kabla jednożyłowego z izolacją stopniowaną,
cienką linią zaznaczono rozkład potencjału dla przypadku izolacji jednorodnej

KONIEC