æ
EGZAMIN Z ANALIZY (II sem, 19.IX 2002)
1. Znale´
z´
c zbi´
or warto´
sci przyjmowanych przez funkcj¸
e F (x, y, z) = x + 2y + z na
zbiorze S = {(x, y, z) ∈ R
3
: x
2
+ 4y
2
≤ z ≤ 8} (wiemy, e S jest spjny).
2. Znale´
z´
c ekstrema lokalne funkcji
g(x, y, z) = 2x +
y
2
8x
+
z
2
y
+
2
z
w zbiorze {(x, y, z) ∈ R
3
: xyz 6= 0}. Nast¸
epnie okre´
sli´
c warto´
s´
c
inf{g(x, y, z) : x > 0, y > 0, z > 0}.
3. Zbada´
c ci¸
ag lo´
s´
c i r´
o˙zniczkowalno´
s´
c w punkcie (1, 0) funkcji
h(x, y) =
x +
(x − 1)
3
sin y
(x − 1)
4
+ y
2
dla
(x, y) 6= (1, 0)
1
dla
(x, y) = (1, 0).
4. Wyznaczy´
c r´
o˙zniczk¸
e odwzorowania z = z(x, y) uwik lanego w r´
ownaniu
x cos y + y cos z + z cos x = 1.
Dla jakich warto´
sci parametru α p laszczyzna x + αy + z = 0 jest r´
ownoleg la
do powierzchni (stycznej do) z = z(x, y) w punkcie (0,0,1)?
5. Dany jest ci¸
ag zst¸
epuj¸
acy zbior´
ow niepustych, domkni¸
etych i ograniczonych
E
n+1
⊂ E
n
⊂ . . . ⊂ R
3
oraz funkcja ci¸
ag la f : R
3
→ R
2
. Wykaza´
c, ˙ze obraz
zbioru E :=
T
∞
n=1
E
n
jest:
(i) zbiorem ograniczonym i niepustym,
(ii) zbiorem r´
ownym
T
∞
n=1
f (E
n
).
................
ROZWIzania
1. Obraz F (S) jest zwarty i sp´
ojny, wi¸
ec r´
owny przedzia lowi [m, M ], gdzie m =
min
S
F, M = max
S
F .
Funkcja nie ma p.
stacjonarnych w R
3
, ekstrema
osi¸
aga wi¸
ec na brzegu zbioru S, r´
ownym S
1
∪ D, gdzie S
1
= {(x, y, z) ∈ S :
z = x
2
+ 4y
2
}, D jest to elipsa {x
2
+ 4y
2
≤ 8, z = 8}.
Gdy x
2
0
+ 4y
2
0
< 8, to ∃
> 0 takie, ˙ze punkty (x
0
± , y
0
, 8) le˙z¸
a w S, za´
s
F przyjmuje w nich warto´
sci silnie mniejsze (odp. wieksze) od F (x
0
, y
0
, 8).
Ekstrem´
ow na D trzeba wi¸
ec szuka´
c na linii D∩S
1
, czyli dla warunku x
2
+4y
2
=
8. Otrzymamy fynkcj¸e Lagrange’a Φ(x, y, λ) = F (x, y, 8)+λ(x
2
+4y
2
−8) Teraz
Φ
0
x
= 0 dla 2λx = −1, Φ
0
y
= 0 dla 4λy = −1 ⇔ x = 2y, co daje 2 punkty stacj.
: (-2,-1,8) oraz (2,1,8) odpow. warto´
scom: 4, 12. [M=12]
Na pow. bocznej: S
1
mamy F (x, y, z) = x+2y+x
2
+4y
2
= u(x, y), x
2
+4y
2
< 8.
W p. stacj. u mamy 1 + 2x = 0, 2 + 8y = 0 i w tym punkcie F = −
1
2
[= m].
2. W p. stacj. 0 = g
0
x
= 2 −
y
2
8x
2
, 0 = g
0
y
=
2y
8x
+
z
2
y
2
, 0 = g
0
z =
2z
y
−
2
z
2
. St¸
ad
y
2
= 16x
2
, y = ±4x. Z drugiego zwi¸
azku,
y
4x
=
z
2
y
2
, wi¸
ec y = 4x, z = ±y Znak
”-” wyklucza ostatni zw., daj¸
ac te˙z: y = z = ±1. Istnieja tylko 2 p. stacj.
: P = (
1
4
, 1, 1) oraz −P . Funkcja g jest nieparzysta, gdy w P b¸
edzie min.
lokalne, to w −P - b¸
edzie maksimum lok.
˙
Ze tak jest, sprawdzamy badaj¸
ac dodatnio´
s´
c d
2
P
g.
W oktancie x > 0, y > 0, z > 0 zmierzanie punktu do brzegu wymaga, by
jedna ze wsp´
o lrz. zmierza la do 0. Gdyby z → 0, to
2
z
→ ∞. Gdy
2
z
pozostaje
ograniczone, ograniczono´
s´
c g -a wi¸
ec i
z
2
y
implikuje y 6→ 0.
