wyk3

PODSTAWY AUTOMATYKI
Wykład 3
Własności dynamiczne podstawowych
elementów automatyki
Ocena własności układów liniowych
-analizując i projektując układy automatyki musimy mieć mo\liwość
porównywania ich właściwości,
- w tym celu stosuje się określone testowe sygnały wejściowe,
umo\liwiające porównanie odpowiedzi badanych układów na te
sygnały,
- powszechnie wykorzystywanymi testowymi sygnałami
wejściowymi są funkcje: skokowa, liniowa, impulsowa,
sinusoidalna, itp,
- dla tych sygnałów testowych mo\na łatwo przeprowadzić analizę
matematyczną i eksperymentalną układów sterowania,
poniewa\ sygnały te są bardzo prostymi funkcjami do wygenerowania.
Ocena własności układów liniowych
Właściwości układu liniowego o stałych parametrach (stacjonarnego)
mo\na opisać za pomocą liniowego równania ró\niczkowego o
stałych współczynnikach, którego postać ogólna jest następująca:
n n-1 m m-1
d y d y d x d x
an + an-1 + ...+ a0 y = bm + bm-1 + ... + b0x
dtn dtn-1 dtm dtm-1
n e" m
gdzie:
z powy\szego równania wynika charakterystyka statyczna, na podstawie
której wnioskujemy o właściwościach statycznych układu:
b0
y = x
a0
- właściwości dynamiczne układu ocenia się zwykle na podstawie
przebiegu sygnału wyjściowego y(t), będącego wynikiem wprowadzenia
określonego sygnału wejściowego x(t)
Najczęściej stosowane wymuszenia
Charakterystyki czasowe dają mo\liwość (w odniesieniu do układów
jednowymiarowych) bezpośredniej oceny układu.
Charakterystyka czasowa jest przebiegiem w czasie odpowiedzi
układu dynamicznego y(t) na określone wymuszenie x(t).
- wymuszenie skokiem jednostkowym 1(t) (tzw. funkcja Heaviside a)
odpowiedz skokowa układu h(t)
0 dla t < 0
ńł
x(t) =1(t) =
�ł1 dla t e" 0
ół
1
L[1(t)]=
s
- wymuszenie impulsowe (tzw. impuls Diraca) odpowiedz impulsowa układu g(t)
" dla t = 0
ńł
x(t) = �(t) =
�ł0 dla t `" 0
ół
L[�(t)]=1
Własności podstawowych elementów
liniowych automatyki
Element proporcjonalny (bezinercyjny)
Element inercyjny pierwszego rzędu
Element całkujący
Element całkujący rzeczywisty
Element ró\niczkujący
Element ró\niczkujący rzeczywisty
Element oscylacyjny
Element inercyjny drugiego rzędu
Element opózniający
Element proporcjonalny (bezinercyjny)
Równanie opisujące element bezinercyjny:
y(t) = k �" x(t)
gdzie:
x(t) sygnał wejściowy,
y(t) sygnał wyjściowy,
k współczynnik wzmocnienia. Charakterystyka statyczna:
y0
Transmitancja operatorowa:
Y (s)
G(s) = = k
X (s)
arctg k
x0
Odpowiedz skokowa i impulsowa elementu proporcjonalnego
(bezinercyjny)
Y (s)
G(s) = = k
odpowiedz skokowa
X (s)
1
Wymuszenie skokowe: X(s) = L{1(t)}=
s
1
Y (s) = G(s) �" X (s) = k �"
s
1 1
�ł �ł
L-1ńłk = k �" L-1ńłk = k �"1(t) y(t) = h(t) = k
�ł �ł
sżł sżł
ół �ł ół �ł
odpowiedz impulsowa
Wymuszenie impulsowe:
X(s) = L{�(t)}=1
Y (s) = G(s) �" X (s) = k
L-1{k}= k �"�(t) y(t) = g(t) = k �"�(t)
Przykłady elementów proporcjonalnych (bezinercyjnych)
Przykłady elementów proporcjonalnych (bezinercyjnych)
Element inercyjny pierwszego rzędu
Równanie opisujące element inercyjny:
dy(t)
T + y(t) = k �" x(t)
dt
gdzie:
k współczynnik wzmocnienia,
T stała czasowa.
Transmitancja operatorowa:
Y (s) k
G(s) = =
X (s) Ts +1
Element inercyjny 1-go rzędu - odpowiedz skokowa
Y (s) k
G(s) = =
X (s) Ts +1
1
wymuszenie skokowe: X(s) = L{1(t)}=
s
k k 1
Y (s) = G(s) �" X (s) = = �"
1
s(Ts +1) T �ł
s�ł s +
�ł �ł
T
�ł łł
Korzystając z tablic przekształceń Laplace a:
ńł 1 �ł 1
L-1�ł = (1- e-at)
(s
ółs + a)żł a
�ł
1
gdzie: a =
T
Otrzymujemy funkcje odpowiedzi skokowej:
t
�ł �ł
-
�ł �ł
T
y(t) = h(t) = k�ł1- e
�ł
�ł �ł
�ł łł
Element inercyjny 1-go rzędu - odpowiedz impulsowa
Y (s) k
G(s) = =
X (s) Ts +1
k 1
wymuszenie impulsowe: X(s) = L{�(t)}=1
Y (s) = G(s) �" X (s) = �"
1
T �ł �ł
s +
�ł �ł
T
�ł łł
Korzystając z tablic przekształceń
Laplace a:
ńł 1 �ł
L-1�ł = e-at
(s + a)żł
ół �ł
Stąd odpowiedz impulsowa:
t
-
k
T
y(t) = g(t) = �" e
T
Odpowiedz impulsowa jest pochodną
funkcji odpowiedzi skokowej:
t
�ł �ł
-
�ł �ł
d e
�ł1- T �ł
�ł �ł
dh(t)
�ł łł
g(t) = = k
dt dt
Przykłady elementów inercyjnych 1-go rzędu
Idealny element całkujący
Postać równania ró\niczkowego:
dy(t)
dy(t)
lub
T = x(t)
= k �" x(t)
dt
dt
gdzie:
k współczynnik wzmocnienia,
T stała czasowa akcji całkującej.
Transmitancja operatorowa idealnego elementu całkującego:
Y (s) 1
Y (s) k
lub
G(s) = =
G(s) = =
X (s) Ts
X (s) s
Idealny element całkujący - odpowiedz skokowa
Y (s) k Y (s) 1
G(s) = = G(s) = =
lub
X (s) Ts
X (s) s
1
X(s) = L{1(t)}=
wymuszenie skokowe:
s
1
k
Y (s) =
Y (s) = lub
Ts2
s2
odpowiedz na wymuszenie skokowe:
y(t) = h(t) = k �"t
lub
t
y(t) = h(t) =
T
Idealny element całkujący - odpowiedz impulsowa
Y (s) k Y (s) 1
G(s) = = G(s) = =
lub
X (s) Ts
X (s) s
wymuszenie impulsowe: X(s) = L{�(t)}=1
1
k
lub Y (s) =
Y (s) =
Ts
s
odpowiedz na wymuszenie impulsowe:
1
y(t) = g(t) = k =
T
Przykłady elementów całkujących
Element całkujący rzeczywisty
Postać równania ró\niczkowego:
2
d y(t) dy(t)
T + = k �" x(t)
dt
dt2
gdzie:
k współczynnik wzmocnienia,
T stała czasowa.
Transmitancja operatorowa elementu całkującego rzeczywistego:
Y (s) k
1
k
G(s) = =
(Ts +1)
X (s) s(Ts +1)
s
Element całkujący rzeczywisty - odpowiedz skokowa
Y (s) k
G(s) = =
X (s) s(Ts +1)
1
wymuszenie skokowe:
X(s) = L{1(t)}=
s
k
Y (s) =
s2(Ts +1)
Z tablic przekształceń Laplace a:
ńł �ł
1
�ł
L-1�ł 2 = t -T(1- e-t /T)
�ł żł
�ł �ł
(Ts +1)�ł
ółs
odpowiedz na wymuszenie skokowe:
t
�ł �ł
�ł �ł
y(t) = h(t) = kt - kT�ł1- eT �ł
�ł �ł
�ł łł
Element całkujący rzeczywisty - odpowiedz impulsowa
Y (s) k
G(s) = =
X (s) s(Ts +1)
X(s) = L{�(t)}=1
wymuszenie impulsowe:
k k 1
Y (s) = =
1
s(Ts +1) T �ł
s�ł s +
�ł �ł
T
�ł łł
z tablic przekształceń Laplace a:
ńł 1 �ł 1
L-1�ł = (1- e-t / a)
(s
ółs + a)żł a
�ł
odpowiedz na wymuszenie impulsowe:
t
�ł �ł
-
�ł �ł
T
y(t) = g(t) = k�ł1- e
�ł
�ł �ł
�ł łł
Przykład elementu całkującego rzeczywistego
Idealny element ró\niczkujący
Postać równania ró\niczkowego: Transmitancja operatorowa:
dx(t)
Y (s)
y(t) = k
G(s) = = ks
dt
X (s)
1
wymuszenie skokowe: X(s) = L{1(t)}=
s
odpowiedz skokowa:
Y (s) = X (s)G(x) = k
y(t) = h(t) = k �"�(t)
Rzeczywisty element ró\niczkujący
Postać równania ró\niczkowego: Transmitancja operatorowa:
Y (s) ks
dy(t) dx(t)
G(s) = =
T + y(t) = k �"
X (s) Ts +1
dt dt
1
wymuszenie skokowe: X(s) = L{1(t)}=
s
odpowiedz skokowa: odpowiedz skokowa:
k k 1
Y (s) = X (s)G(x) = = �"
1
Ts +1 T
s +
T
Odwrotna transmitancja Laplace a:
ńł 1 �ł
L-1�ł = e-at
(s + a)żł
ół �ł
Odpowiedz skokowa:
t
-
k
T
y(t) = h(t) = �"e
T
Rzeczywisty element ró\niczkujący
- odpowiedz impulsowa
Funkcję odpowiedzi impulsowej obliczamy poprzez zró\niczkowanie
funkcji odpowiedzi skokowej rzeczywistego elementu ró\niczkującego.
dh(t)
y(t) = g(t) =
dt
stąd:
t t
�ł �ł'
- -
�ł k �ł
k
T
y(t) = g(t) = �"e = - �"e
2
�łT T �ł
T
�ł �ł
�ł łł
Przykłady rzeczywistych elementów ró\niczkujących
Element oscylacyjny 2-go rzędu
Postać równań ró\niczkowych:
2
2
d y(t) dy(t)
d y(t) dy(t)
+ 2��n + �2 y(t) = k�n �" x(t)
lub
T + 2�T + y(t) = k �" x(t)
n
dt
dt
dt2
dt2
� - bezwymiarowy współczynnik tłumienia
�n
- pulsacja drgań własnych
2 2
Warunek powstawania drgań: 4�2T - 4T < 0
czyli: -1< � <1
� < 0
- drgania o amplitudzie rosnącej do nieskończoności,
- drgania tłumione.
0 < � <1
Postać transmitancji operatorowych:
Y (s) k�n
Y (s) k
G(s) = =
G(s) = =
X (s)
X (s)
s2 + 2��ns + �2
Ts2 + 2�Ts +1
n
Element oscylacyjny 2-go rzędu
Y (s) k�n
G(s) = =
X (s)
s2 + 2��ns + �2
n
Pierwiastki równania charakterystycznego:
s2 = -��n - j�n 1- �2
s1 = -��n + j�n 1- �2
Transmitancję elementu oscylacyjnego 2-go rzędu mo\emy zapisać:
Y (s) k�n k�n
G(s) = = =
X (s) (s - s1)(s - s2) �ł
s + ��n - j�n 1- �2 �ł�ł s + ��n + j�n 1- �2 �ł
�ł �ł�ł �ł
�ł łł�ł łł
� = 0 - drgania nietłumione o stałej amplitudzie,
0 < � <1 - drgania tłumione,
� e"1
- odpowiedz aperiodyczna, nieoscylacyjna
(dwa pierwiastki rzeczywiste element inercyjny 2-go rzędu).
Element oscylacyjny 2-go rzędu - odpowiedz skokowa
1
X(s) = L{1(t)}=
wymuszenie skokowe:
s
k�n
Y (s) = X (s) �"G(s) =
s�ł s + ��n - j�n 1- �2 �ł�ł s + ��n + j�n 1- �2 �ł
�ł �ł�ł �ł
�ł łł�ł łł
Wzory Eulera:
Twierdzenie Borela o splocie:
ńłt �ł
L{f " g}= L�ł+" f (�) �" g(t - �)d�żł
erą ju = er (cosu ą jsin u)
ół0 �ł
Odpowiedz skokowa jest funkcją:
�ł �ł
e-��nt
1- �2
y(t) = k�ł1- sin�ł�n 1- �2t + ��ł�ł
�ł �ł�ł
gdzie: � = arctg
�ł
łł
1- �2 �ł �
�ł łł
Element oscylacyjny 2-go rzędu - odpowiedz skokowa
Element oscylacyjny 2-go rzędu - odpowiedz impulsowa
X(s) = L{�(t)}=1
wymuszenie impulsowe:
n
k�ne-�� t
�ł
y(t) = g(t) = sin�ł�n 1- �2t
odpowiedz impulsowa: �ł �ł
�ł łł
1- �2
Przykłady elementów oscylacyjnych 2-go rzędu
2
d y dy
F = m + b + ky
dt
dt2
Element inercyjny 2-go rzędu
Postać równania ró\niczkowego:
2
d y(t) dy(t)
2
T1 e" 2T2
gdzie:
T2 + T1 + y(t) = k �" x(t)
dt
dt2
Transmitancja operatorowa:
Y (s) k k
1 1
2
G(s) = = =
T3,4 = T1 ą T12 -T2
gdzie:
2
X (s) (T3s +1)(T4s +1)
2 4
T2 s2 + T1s +1
Człon inercyjny 2-go rzędu mo\na przedstawić jako układ szeregowo
połączonych elementów inercyjnych 1-go rzędu:
k 1
(T3s +1) (T4s +1)
Element inercyjny 2-go rzędu
odpowiedz skokowa i impulsowa
Odpowiedz skokowa:
�ł �ł
1
�ł �ł
y(t) = h(t) = k�ł1- (T3e-t /T3 -T4e-t /T4)
�ł
T3 -T4
�ł łł
Odpowiedz impulsowa:
k
y(t) = g(t) = (e-t /T3 - e-t /T4)
T3 -T4
odpowiedz skokowa
odpowiedz impulsowa
Element opózniający
Postać równania opisującego Transmitancja operatorowa:
element opózniający:
Y (s)
G(s) = = k �"e-�s
y(t) = k �" x(t - �)
X (s)
Odpowiedz skokowa: Odpowiedz impulsowa:
y(t) = g(t) = k �"�(t - �)
y(t) = h(t) = k �"1(t - �)
�
�
Podsumowanie
ogólna postać równania/
odpowiedz skokowa odpowiedz impulsowa
element
transmitancja operatorowa
y(t) = k �" x(t)
proporcjonalny
(bezinercyjny)
Y (s)
G(s) = = k
X (s)
dy(t)
T + y(t) = k �" x(t)
dt
inercyjny
1-go rzędu
Y (s) k
G(s) = =
X (s) Ts +1
Y (s) k
inercyjny
G(s) = =
2-go rzędu
X (s) (T1s +1)(T2s +1)
dy(t)
dy(t)
lub
T = x(t)
= k �" x(t)
dt
dt
całkujący
(idealny)
Y (s) k
Y (s) 1
G(s) = =
lub G(s) = =
X (s) s
X (s) Ts
ogólna postać równania/
odpowiedz skokowa odpowiedz impulsowa
element
transmitancja operatorowa
2
d y(t) dy(t)
T + = k �" x(t)
całkujący z
dt2 dt
inercją
Y (s) k
(rzeczywisty)
G(s) = =
X (s) s(Ts +1)
dy(t) dx(t)
T + y(t) = k �"
dt dt
ró\niczkujący
Y (s) ks
rzeczywisty
G(s) = =
X (s) Ts +1
2
d y(t) dy(t)
+ 2��n + �2 y(t) = k�n �" x(t)
n
dt
dt2
oscylacyjny
2-go rzędu
Y (s) k�n
G(s) = =
X (s)
s2 + 2��ns + �2
n
y(t)
y(t) = k �" x(t - �)
opózniający
Y (s)
G(s) = = k �" e-�s
X (s)
t
� �

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
pr pracy Monika Gładoch wyk3
wyk3 d
wyk3
Fot wyk3 int
Wyk3 kalibracja komory
czesc1 wyk3
IB wyk3
Wyk3 term
WYK3
wyk3[1]
Wyk3
wyk3
md wyk3
WYK3 optymalizacja

więcej podobnych podstron