Wykład 3
2. I zasada termodynamiki
2.1 Wstęp  rodzaje pracy
I zasadę teromodynamiki sformułowaliśmy jako zasadę
zachowania energii. Sformułowanie jest stosunkowo proste, ale
zastosowanie tej zasady może stać się skomplikowane ze względu
na potrzebę uwzględnienia wszystkich form energii biorących
udział w procesie. W tym rozdziale będziemy chcieli nadać temu
prawu formÄ™ analitycznÄ….
Pamiętamy powtórzone w Wykładzie 2 wyrażenie na prace
mechanicznÄ… (1.1).
r
r
W = F Å" ds = F Å" cos¸ Å" ds
+"+"
cc
Reinhard Kulessa 1
Wyrażenie to zawiera ustalenie znaku pracy.
Praca jest dodatnia wtedy gdy siła i przesunięcie mają ten sam
kierunek.
Praca jest ujemna, gdy majÄ… one kierunek przeciwny.
2.1.1 Praca w polu grawitacyjnym
Siła F którą musimy działać aby podnieść masę
m jest równa ciężarowi P ciała.
m
F = P = mg
h Praca
W=P·h
r
h h
r
(2.1)
W = F Å"ds = Pds = mgh
+" +"
o 0
F P
Reinhard Kulessa 2
2.1.2 Praca prÄ…du elektrycznego
Wykonanie pracy
I(A)
oznacza, że musi
istnieć siła
R
przesuwajÄ…ca Å‚adunki
w odpowiednim
Ogniwo V
kierunku.
Praca prÄ…du elektrycznego: (2.2)
W =V Å" I Å""t
Jak określimy znak pracy? Otóż jeśli ogniwo będzie naszym
układem termodynamicznym, to praca wykonana na spirali
będzie ujemna. Jeśli naszym układem termodynamicznym będzie
spirala, to praca będzie dodatnia.
Reinhard Kulessa 3
2.1.3 Praca pola magnetycznego
z
r
ds
k
Wiemy, że:
r
B
j
r r
r
r
i
v
(2.3)
F = q v × B
y
X
Dla elementu długości
przewodnika ds mamy:
r
I
r ds r
qv = dtÅ" = ds
+"I +"I
dt
r r r
l
r
(2.4)
Czyli
F = I ds × B = -I B l j
+"
0
Reinhard Kulessa 4
Praca wykonana na jednostkę czasu jest równa:
r r
l
r r r
ëÅ‚
Wt = F Å"v =
ìÅ‚ ÷Å‚
+"I ds × BöÅ‚Å"v
0
íÅ‚ Å‚Å‚
Czyli,
r r
(2.5)
Wt =(-I Bl j)Å"(vÅ" j)=-Il Bv
Ujemny znak pracy uzyskujemy dla przypadku, gdy przewodnik
traktujemy jako układ termodynamiczny. Liczymy pracę
wykonaną na przewodniku przez pole magnetyczne. Ażeby
poruszyć przewodnikiem musielibyśmy zadziałać zewnętrzna siłą
równą co do wielkości i odwrotnie skierowaną. Praca wykonana
przez tą siłę byłaby równa;
Wt = I l Bv
(2.5a)
Reinhard Kulessa 5
2.1.4 Praca sprężania lub rozprężania gazu w cylindrze
Przesunięcie tłoka o "x
powoduje wykonanie
F = pA
pA pracy
dW = F Å" "x
Wiedzą że tłok ma powierzchnię A, otrzymujemy po krótkim
przekształceniu
dV
lub
dW = pÅ" A = pÅ"dV
A
V2
W = p Å" dV
(2.6)
+"
V1
Praca wykonana jest dodatnia wtedy gdy dV jest dodatnie. Jest to
praca wykonana na tłoku przez ciśnienie gazu.
Reinhard Kulessa 6
Praca jest dodatnia, gdy tłok jest naszym układem
termodynamicznym.
Jeśli naszym układem będzie gaz, to praca dostarczona temu
układowi będzie ujemna. Wtedy;
V2
W = - p Å" dV
(2.6a)
+"
V1
Z powyższych rozważań wynika, że znak pracy zależy od
wyboru układu termodynamicznego.
p
1
Graficzne przedstawienie pracy
wykonanej przez rozprężający
siÄ™ gaz jest pokazane obok.
2
Drogi od punktu 1 do punktu 2
mogą być różne (różne
przemiany gazowe) V1
V2 V
Reinhard Kulessa 7
Gaz w cylindrze będziemy traktowali jako układ zamknięty.
Metody analizy układów otwartych omówimy póz
niej.
W cylindrze nie uwzględnialiśmy tarcia oraz możliwych
zjawisk nie-kwazistatycznych, czyli takich, że układ nie
przechodzi przez kolejne stany równowagi.
Należy również zaznaczyć, że wyrażenie na pracę (2.6a)
może być ważne również dla cieczy i ciał stałych.
Reinhard Kulessa 8
2.2 Energia wewnętrzna
W poprzednim rozdziale podaliśmy przykłady określenia pracy
wykonanej przez układ lub na układzie termodynamicznym.
Stwierdziliśmy, że praca jest formą energii, która może
przekroczyć granice układu. Aby mogła zostać wykonana praca
musi istnieć oddziaływanie pomiędzy układem a jego
otoczeniem. Praca zależy od rodzaju przemiany i można ją
zauważyć, gdy układ przechodzi z jednego stanu do drugiego.
Pamiętamy, że w mechanice, elektromagnetyce itp. poznaliśmy
pojęcie energii potencjalnej.
Energia potencjalna grawitacji  jest to praca potrzebna do
podniesienia ciężaru ponad poziom odniesienia.
Energię kinetyczną możemy policzyć przez określenia pracy
potrzebnej do nadania ciału pewnej prędkości.
Reinhard Kulessa 9
Pracę wykonana przez siłę nadającą na pewnej drodze
prędkość ciału możemy napisać następująco:
r
r dv
W =
+"FÅ"ds =+"mÅ" Å"ds=
dt
(2.7)
1
=
+"mÅ"vÅ"dv= mv2 = EK
2
Przyśpieszenie ciała od jednej prędkości do drugiej, powoduje
zmagazynowanie wykonanej pracy w postaci energii kinetycznej.
v2
1
2 2
EK2 - EK1 = m v dv = m(v2 - v1 )
+"
v1
2
Identycznie jest z energiÄ… potencjalnÄ….
(2.8)
EP1 - EP2 = " EP = W
Reinhard Kulessa 10
We wzorze (2.8) zmiana energii potencjalnej jest możliwa tylko
przez siły zachowawcze.
I zasada termodynamiki pozwala uogólnić pojęcie energii
potencjalnej.
Rozważmy układ przechodzący ze stanu I do stanu II.
Zakładamy, że układ ten jest dokładnie izolowany, tak że nie
ma wymiany ciepła w żadną stronę. Jedyne oddziaływanie z
otoczeniem może zachodzić przez pracę taką, która nie
zmienia energii potencjalnej.
Q=0
Wad
III
EII
EI
Reinhard Kulessa 11
Zmiana energii układu następuje przez dostarczenie pracy
adiabatycznej przez wszystkie siły działające na układ.
(2.9)
EII - EI = "E = Wad
Jest faktem doświadczalnym, że praca adiabatyczna pomiędzy
dwoma stanami układu jest zawsze taka sama. Jeśli układ
wykonuje pracę, to czyni to kosztem wewnętrznych zasobów.
Przyjmujemy więc, że energia E jest własnością układu i
zależy tylko od stanu układu.
Jeśli dopuścimy takie samo przejście ze stanu I do II znosząc
izolację, to zmiana energii wewnętrznej układu jest taka sama,
gdyż stany są te same. Układ może jednak wymienić ciepło z
otoczeniem.
Reinhard Kulessa 12
(2.10)
W + Q = Wad
Inaczej
W + Q = "E
(2.11)
Ciepło definiujemy jako dodatnie, gdy jest dodane do układu,
a ujemne, gdy jest oddawane przez układ.
Przypominam, że rozważania nasze dotyczyły układów
zamkniętych.
Reinhard Kulessa 13
2.3 I zasada termodynamiki jako zasada zachowania energii
Równanie (2.11) często podaje się jako analityczny zapis I
zasady termodynamiki. Należy pamiętać, że jest to zasada
zachowania energii. Ciepło, praca i energia wewnętrzna
stanowią tu różne formy energii.
Równanie to również możemy uważać jako definicję ciepła
przez pracę i energię wewnętrzną.
Dla układu izolowanego : (2.12)
"E = 0
Całkowita energia wewnętrzna układu izolowanego nie
zmienia siÄ™.
Pamiętamy, że na energię wewnętrzną składa się energia
kinetyczna i potencjalna.
Jeśli do układu izolowanego dostarczymy pracy w sposób
pokazany na następnej stronie, to musi wzrosnąć całkowita
Reinhard Kulessa 14
energia
Q=0
"E=W= "U
Energia wewnętrzna wzrasta, bo
izolacja
wykonaliśmy na układzie pracę.
Po dojściu cieczy do równowagi
stwierdzamy, że nastąpił wzrost
Praca
wewnętrznej energii termicznej.
W
Wzrost ten nastąpił na wskutek
przekazania dodatkowej energii
kinetycznej czÄ…steczkom cieczy.
Energię wewnętrzną  cieplną oznaczymy przez U. Możemy
wtedy napisać;
(2.13)
E = U + Ek + Ep + Echem + Å"Å"Å"
Reinhard Kulessa 15
Jeśli rozważymy proces cykliczny w którym następuje mała
zmiana układu, wtedy I zasadę termodynamiki możemy
zapisać jako;
dQ + dW = dE
Ponieważ energia wewnętrzna jest funkcją stanu, jej zmiana dla
cyklu zamkniętego jest równa zero.
(2.14)
+"dQ + +"dW = 0
Energia wewnętrzna jest funkcją stanu opisaną przez
.
dE = 0
+"
Reinhard Kulessa 16
2.4 Ciepło i ciepło właściwe
Ciepło jest formą energii oddziaływania między układem
termodynamicznym a otoczeniem. Ciepła nie możemy policzyć
przez zastosowanie wzoru na pracę (siła razy droga). Są więc
praca i ciepło zasadniczo różniącymi się typami energii.
Ciepło intuicyjnie łączymy z temperaturą systemu, gdyż
wzrasta ona gdy dodajemy ciepło do układu. Dawniej myślano,
że ciepło jest substancją, którą możemy przekazywać z ciała do
ciała.
Teraz wiemy, że ciepło nie jest substancją zawartą w układzie,
lecz ujawnia się tylko w czasie oddziaływania układu z
otoczeniem podczas przechodzenia układu z jednego stanu do
drugiego.
Pozostałością dawnej teorii jest pojęcie ciepłą właściwego:
Reinhard Kulessa 17
'
ëÅ‚ öÅ‚
d Q
(2.15)
C = ìÅ‚ ÷Å‚
y
ìÅ‚ ÷Å‚
dT
íÅ‚ Å‚Å‚
y
Rozważmy układ termodynamiczny, dla którego zmiany energii
wewnętrznej są spowodowane jedynie zmianą wewnętrznej
energii cieplnej U. Załóżmy również, że oddziaływanie przez
pracę może zachodzić jedynie przez zmianę objętości systemu.
Dla takiego układu równanie (2.11) możemy zapisać jako:
d'Q + d'W = dU
d'Q - pdV = dU
Pamiętając o konwencji znaku pracy, ciepło dodane do układu
piszemy jako;
'
d Q = dU + pdV
Reinhard Kulessa 18
Dla procesu ze stałą objętością dV=0. W oparciu o wzór (2.15)
mamy wtedy:
dQV = cV dT
Małe litery odnoszą się do odpowiednich
wielkości na jednostkę masy.
duV = cV dT
Dla procesu przebiegającego przy stałej objętości, ciepło
właściwe wynosi:
"u
ëÅ‚ öÅ‚
(2.16)
cV =
ìÅ‚ ÷Å‚
"T
íÅ‚ Å‚Å‚V
Jeśli rozważymy proces przy stałym ciśnieniu, to transfer ciepła
na jednostkÄ™ masy wynosi:
d'Qp =up + pdvp
(2.17)
Reinhard Kulessa 19
Wprowadz
my nową własność układu zwaną entalpią.
(2.18)
h = u + pv
Przy stałym ciśnieniu różniczka entalpii na jednostkę masy ma
postać:
dhp = dup + p dvp (2.19)
Z równań (2.11), (2.17) i (2.19) wynika, że;
dQ = dh = c dT
p p p p
oraz
"h
ëÅ‚ öÅ‚
c =
ìÅ‚ ÷Å‚
(2.20)
p
"T
íÅ‚ Å‚Å‚
p
CiepÅ‚o wÅ‚aÅ›ciwe wyrażamy w jednostkach kJ/kg ·0C .
Reinhard Kulessa 20
2.5 Ciepło właściwe gazu idealnego
W następnych wykładach pokażemy, że jeśli gaz spełnia równanie
stanu (1.8), to energia wewnętrzna u i entalpia h są funkcjami
temperatury.
Możemy wtedy napisać
T2
T2
(2.21)
"u = u2 - u1 = cvdT
"h = h2 - h1 = cpdT
(2.22)
+"
+"
T1
T1
Dla stałych wartości ciepła właściwego mamy:
(2.24)
h2 - h1 = cp (T2 - T1)
u2 - u1 = cv (T2 - T1) (2.23)
Wiemy, że dh=cpdT i du=cvdT. Stąd
.
dh-du=(cp -cv)dT
Wiemy również,
że
.
dh=du+d(pv) =du+RdT .
Reinhard Kulessa 21
Czyli
oraz,
RdT = (cp -cv)dT
(2.25)
R=cp -cv
Reinhard Kulessa 22