X L V I I I K O N F E R E N C J A N AU K O W A

KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN

I KOMITETU NAUKI PZITB

Opole – Krynica

2002

Magdalena JAKUBEK

1

Ewa PABISEK

2

Zenon WASZCZYSZYN

3

OSZACOWANIE PARAMETRÓ W CHARAKTERYSTYK

PODATNYCH POŁ Ą CZEŃ STALOWYCH

ZA POMOCĄ SIECI NEURO-ROZMYTEJ

1. Wprowadzenie, cel i zakres pracy

W normie europejskiej EC3 [1] zaproponowano proste modele charakterystyki M –

F

dla

połą czenia ‘rygiel-słup’, gdzie: M – przywę złowy moment zginają cy rygiel,

F

– wzajemny

ką t obrotu stycznych do osi rygla i słupa, schodzą cych się w wę ź le. Parametry modelu
charakterystyki mają być wyznaczone na podstawie wynikó w badań doświadczalnych na
materialnych modelach laboratoryjnych.

Tą drogą poszły pró by zastosowania sztucznych sieci neuronowych do identyfikacji

parametró w modeli proponowanych w EC3, opierają ce się na bankach danych doświad-
czalnych [2-6]. Niestety, wyniki tych prac nie zakończyły się znaczą cym powodzeniem.
Głó wnym powodem były mało reprezentatywne badania, ograniczane do niepowtarzalnych
doświadczeń na mało licznych zbiorach połą czeń. Prowadziło to do wynikó w o niskiej
dokładności predykcji neuronowej.

W naszym referacie podejmujemy pró bę ponownej analizy problemu wyznaczania

parametró w prostej biliniowej charakterystyki ale nie w odniesieniu do wartości ostrych lecz
rozmytych w sensie wartości przedziałowych. W tym celu zbudowano sieć jednokierunkową
o parametrach rozmytych, opierają c się na metodzie zaproponowanej w [7]. Metoda polega
na uczeniu sieci na oddzielnych wzorcach celem wyznaczenia funkcji przynależności dla
parametró w sieci jednokierunkowej.

Tak otrzymaną sieć neuro-rozmytą zastosujemy do wyznaczenia przedziałowych war-

tości parametró w grupy 30 połą czeń analizowanych w [4].

2. Sieć neuro-rozmyta

Ró żnego typu sieci neuro-rozmyte są omawiane w [9]. W naszym referacie zajmujemy się
siecią o parametrach rozmytych, a wię c siecią , któ ra może odwzorowywać rozmyte wartości

1

Mgr inż., Wydział Inżynierii Lą dowej Politechniki Krakowskiej

2

Dr inż., Wydział Inżynierii Lą dowej Politechniki Krakowskiej

3

Prof. dr hab. inż., Wydział Inżynierii Lą dowej Politechniki Krakowskiej

70

wejść w rozmyte wartości wyjść , ale też dla ostrych wejść dawać rozmyte wyjścia. Uczenie
takiej sieci za pomocą operacji na zbiorach rozmytych jest bardzo trudne i ze wzglę du na
efektywność numeryczną wymaga znacznych uproszczeń modelu, np. w odniesieniu do
przyjmowanych funkcji przynależności [9].

Z tych powodó w oparliśmy się na pomyśle algorytmu zaproponowanego w [6]. Polega

on na wstę pnym uczeniu sieci na zbiorze wzorcó w uczą cych:

L = {( x

(p)

, z

(p)

)

|

p = 1,...,L } . (1)

Po nauczeniu sieci zbió r parametró w sieci (wartości wag synaptycznych i wartości

progowych ), oznaczony w skró cie jako {w

i

o

|

i = 1,...,LPS } gdzie LPS jest liczba paramet-

ró w sieci, przyjmujemy jako zbió r parametró w począ tkowych do uczenia sieci dla kolejnych
wzorcó w p = 1,...,L . Obliczone parametry służą do wyznaczania funkcji zależności dla
parametró w sieci i = 1,...,LPS.

Algorytm budowania sieci neuro-rozmytej omó wiono szczegó łowo w [10]. Składa się

on z trzech etapó w. W Etapie I sieć jest uczona na całym zbiorze uczą cym (1). Ten etap jest
poprzedzony etapem wstę pnym projektowania sieci, por. [10]. W Etapie II proces uczenia
jest powtarzany L razy, kolejno dla każdego wzorca uczą cego p. Po obliczeniu zbioru
parametró w {w

i

(p)

½

p=1,...,L; i=1,...,LPA }. W Etapie III obliczamy funkcje przynależności

m

i

=

m

(w

i

) dla wszystkich parametró w sieci i . Dochodzimy w ten sposó b do sieci rozmytej,

któ ra po pozytywnym sprawdzeniu na zbiorze testują cym może być używana w etapie
operacyjnym do predykcji neuronowej dla innych zbioró w niż wcześniej wykorzystane
zbiory uczą cy i testują cy.

W [11] omó wiono dwie metody obliczania funkcji przynależności. Prostsza metoda,

wzię ta z [6], zakłada funkcje tró jką tne, por. rys. 1a (t), gdzie długości podstawy są obliczone
dla standardowych odchyleń

s

L

i

s

R

odmierzanych od wartości średniej w , gdzie dla

uproszczenia pominię to indeks i parametru sieci. Przekroje

a

odpowiadają wartości przyna-

leżności i wartości przedziałowych [w

L

, w

R

]

a

= [ w

L

a

, w

R

a

] .

Rys. 1. Funkcje przynależności parametru sieci neuro-rozmytej:

a) funkcja tró jką tna (t), b) funkcja nieliniowa (n)

Druga metoda wyznaczania nieliniowej funkcji przynależności parametró w sieci, por.

rys. 1a (n), polega na liczeniu empirycznej dystrubuanty dla parametró w w

min

£

w

(p)

<

w

oraz w

£

w

(p)

£

w

max

. Numery wzorcó w w

L

a

i w

R

a

obliczamy z nieró wności:

71

(

1

-

2 K/L

)

£

a

<

(

1

-

2 (K

-

1) /L

)

, (2)

gdzie: K = k

L

a

, k

R

a

– numery parametró w liczone na lewo lub na prawo od wartości średniej

w . Jeśli zajdzie przypadek, że

a

Î

(K

-

1 , K ) to wartości w

L

a

, w

R

a

są obliczane z

interpolacji liniowej wartości z przedziału ( w

K-1

, w

K

), por. [11].

Po wyznaczeniu funkcji przynależności dla każdego parametru sieci możemy ją

wykorzystać dla obliczania wartości przedziałowych wyjść [ y

L

, y

R

]

a

dla ustalonej wartości

przekroju

a

. Zmieniają c wartości

a

możemy odtworzyć funkcje przynależności wyjść . Na

skutek rozmycia parametró w sieci, rozmyte wyjścia otrzymamy nie tylko dla rozmytych ale
też ostrych wejść . Po wprowadzeniu wartości przedziałowych składowych wektoró w wejść
[ x

j

L

, x

j

R

] dalej są wykonywane działania na nich zgodnie z rachunkiem przedziałowym [9].

W przypadku ostrych wartości wejść dla wszystkich

a

przyjmujemy x

j

L

, =

x

j

R

.

3. Dane doświadczalne

Z obszernego banku danych Sericon, zgromadzonego w RWTH Aachen [8], przyję to zbió r
30 połą czeń analizowanych w [4]. Na rys. 2a pokazano konstrukcję połą czenia, określonego
6-ma parametrami, któ re przyję to jako składowe wektora wejścia x . Na rys. 2b pokazana
jest krzywa doświadczalna (d) charakterystyki M

-

F

jednego z analizowanych połą czeń.

Aproksymację liniową (b) wykonano w [4] przez obliczenie takich wartości

F

Rd

, M

Rd

i

F

Cd

, któ re dają ró wność powierzchni

D

1

=

D

2

zawartych mię dzy krzywymi (a) i (b). W [4]

przytoczono tablicę z 6-ciu danymi i obliczonymi 3-ma parametrami aproksymacji
biliniowej dla wszystkich wartości 30-tu połą czeń.

Rys. 2. a) Analizowane połą czenie, b) Charakterystyki M

-

F

połą czenia:

(d) krzywa doświadczalna, (b) aproksymacja biliniowa

4. Aproksymacja neuronowa

Tak samo jak w [4] przyję to wektory wejścia i wyjścia o nastę pują cych składowych, por.
rys. 2a:

x

(6x1)

=

{

}

f

b

w

f

c

a

b

h

t

t

h

,

,

,

,

,

, y

(3x1)

=

{

}

Cd

Rd

Rd

Φ

Φ

M

,

,

, (3)

72

gdzie wszystkie składowe (

·

) przeskalowano do przedziału (0, 0.9).

W dalszym cią gu zajmujemy się tylko jednym przypadkiem, oznaczonym [4] jako

przypadek II/3, w któ rym zbió r testują cy składał się z połą czeń o numerach 9, 17, 29, a
pozostałe 27 połą czeń tworzą zbió r uczą cy. Do uczenia zbioru wstę pnych parametró w sieci
{w

i

o

} oraz zbioru parametró w dla indywidualnych wzorcó w {w

i

(p)

}, t.zn. do realizacji Eta-

pó w I i II algorytmu omowionego wyżej w p. 1, zastosowano sieć 6-7-3 o sigmoidalnych
neuronach w warstwie ukrytej i wyjściowej. Posługują c się symulatorem [12] zastosowano
do uczenia sieci metoda Levenberga-Marquardta (LM). Błą d aproksymacji mierzono miarą :

1

V 3

RMS (V ) =

¾

(

å

å

(

z

j

(p

-

y

j

(p)

)

2

)

1/2

, (4)

V

p=1 j=1

gdzie: z

j

(p)

, y

j

(p)

– przeskalowane znane i obliczone siecią wartości wyjść j dla wzorca p,

V = L, T, P – liczba elementó w w zbiorach uczą cym i testują cym oraz pełnym zbiorze P =
L+T .

Uczenie w Etapie I wymagało mniej niż 100 epok aby osią gną ć dokładność rzę du

RMS(L)

»

1

×

10

-3

. Uczenie w Etapie II wymagało ok. 20 epok aby osią gną ć dokładność

RMS(p)

»

1

×

10

-6

. W Tabl. 1 zestawiono błę dy Etapu I i Etapu II dla przekroju

a

= 1.0 ,

określane wzorami:

avr epV

j

=

å

=

V

p

j

ep

V

1

1

, max epV

j

= max {ep

j

½

p=1,...,V } , (5)

dla ep

j

=

½

1

-

y

j

(p)

/ z

j

(p)

½

· 100% .

W tablicy przytoczono też wartości wspó łczynnika korelacji r

P

obliczonego dla wszystkich

par ( y

j

(p)

, z

j

(p)

) całego zbioru P = 30 połą czeń.

Tablica 1. Błę dy neuronowej predykcji

Błę dy sieci

RMS(V)

´

10

2

Błę dy wzglę dne [%]
dla V = P:

M - Rd

Phi - Rd

Phi - Cd

Wspó łczynnik

korelacji r

P

dla

:

Sieć

6-7-3

V = L

V = T

avr

max

avr

max

avr

max

M-Rd

Phi-Rd Phi-Cd

Etap I 3.09 18.87 5.22 27.33 6.42 33.20 5.41 40.13 0.988 0.997 0.977

a

=1.0 8.96 17.28 10.89 23.29 8.64 24.04 15.68 34.46 0.987 0.988 0.989

W tablicy podano błę dy dla wstę pnego uczenia sieci na wszystkich wzorcach (Etap I).

W nastę pnym wierszu zestawiono błę dy dla sieci rozmytej i przekroju

a

= 1.0 . Widać , że

średnie błę dy wzglę dne są wyższe dla sieci rozmytej ale obniżają się błę dy maksymalne.
Dokładność obliczania momentu M

Rd

i obrotu

F

Rd

jest wię ksza niż granicznego obrotu

F

Cd

Na rys. 3 pokazano funkcje przynależne funkcji wyjściowych dla y

j

(p)

=

M

Rd

,

F

Rd ,

F

Rd

dla wzorcó w testują cych p = 9, 17, 29. Funkcje przynależności pokazano przy założeniu
funkcji przynależności wag parametró w sieci o kształtach tró jką tnych (t) i nieliniowych (n),
por. rys. 1. Na rysunkach zaznaczono przez

◊

punkty odpowiadają ce wartościom przedzia-

łowym dla przekrojó w

a

= 0.0, 0.25, 0.75, 0.9, 1.0. Przez

Ú

zaznaczono położenie znanych

wartości wyjściowych z

j

(p)

. Wyniki dla funkcji przynależności (t) są bliskie wynikó w otrzy-

73

manych za pomocą funkcji (n) dla przekroju

a

= 0.9. Dlatego dalszy rysunek jest wyko-

nany dla funkcji (t) i przekrojó w

a

= 1.0 i 0.9 .

Rys. 3. Funkcje przynależności dla wielkości wyjściowych M

Rd

,

F

Rd

i

F

Cd

dla połą czeń 9, 17, 29 przy posługiwaniu się funkcjami przynależności parametró w

sieci oznaczonymi przez: (t)

¾

◊

¾

◊

¾

,

(n)

--◊--◊-- ; Ú

-

wartość doświadczalna

74

W poró wnaniu z pracą [4], w któ rej identyfikacja parametró w charakterystyki

biliniowej była mało dokładna zwłaszcza dla połą czenia testują cego 17, zastosowanie sieci
neuro-rozmytej daje oszacowanie przedziałowe, któ re dla

a

= 0.9 nie obejmuje tylko doś-

wiadczalnej wartości

F

Rd

.

Na rys. 4 poró wnano wartości parametró w charakterystyki biliniowej M-

F

, obliczo-

nych na podstawie wynikó w doświadczeń, z wartościami obliczonymi siecią neuro-rozmytą .

Rys. 4 a,b. Poró wnanie wartości doświadczalnie wyznaczonych parametró w M

Rd

i

F

Rd

charakterystyki biliniowej (na rysunku oznaczone przez

Ú

)

z wartościami

przedziałowymi dla przekroju

a

= 0.9 dla całego zbioru połączeń

75

Rys. 4 c. Poró wnanie wartości doświadczalnie wyznaczonych parametró w

F

Cd

charakterystyki biliniowej (na rysunku oznaczone przez

Ú

)

z wartościami

przedziałowymi dla przekroju

a

= 0.9 dla całego zbioru połączeń

Pokazano wartości przedziałowe dla przekroju

a

= 0.9 . Dla zdecydowanej wię kszości

połą czeń obliczone wartości przedziałowe [ y

j

L

, y

j

R

]

a

= 0.9

obejmują doświadczalne wartości

zaznaczone na Rys.4 przez

Ú

.

Wielkość przedziałó w odpowiada dokładności neuronowej

identyfikacji jak też wrażliwości pomiaró w w odniesieniu do wartości identyfikowanych
zmiennych wyjściowych. Zgodnie z oszacowaniem błę dó w podanych w tab. 1 ta uwaga
odnosi się przede wszystkim do granicznego obrotu

F

Cd

, gdyż relatywna długość

przedziałó w jest najwię ksza dla tej wartości wyjściowej.

5. Uwagi koń cowe

1. Kró tko omó wiono nową sieć rozmytą o tró jką tnych (t) lub nieliniowych (n)

funkcjach przynależności parametró w sieci.

2. Sieć rozmytą zastosowano do identyfikacji parametró w biliniowej charakterystyki

dla grupy 30 połą czeń, analizowaną w [4].

3. Praca jest pierwsza pró bą zastosowania sieci rozmytych do identyfikacji parametró w

charakterystyk połą czeń podatnych. Zbliża ona wyniki analizy do specyfiki problemu przez
założenie, że bliższe rzeczywistości są wartości przedziałowe identyfikowanych parametró w
niż wartości ostre.

4. Szereg zgromadzonych wnioskó w na temat perspektyw stosowania pro-

ponowanej sieci rozmytej do analizy problemó w doświadczalnych teorii kon-
strukcji wymaga jeszcze dalszych uzasadnień na tle wię kszej liczby przykładó w
zastosowań.

Literatura

[1] Eurocode 3: Design of Steel Structures, ENV 1993-1-1, 6.9. Beam-to-column

connections.

76

[2] STAVROULAKIS G.E., AVDELAS A.V., ABDALLA K.M., PANAGIOTOPOULOS

P.D., A back-propagation based neural network approach for connections, Steel Struc-
tures - Eurosteel’95, Balkema, Rotterdam 1995, 263-270.

[3] ANDERSON D., HINES E.L., ARTHURS J., EIAP E.L., Application of artificial neural

networks to the prediction of minor axis steel connections, Computers & Structures, 63
(1997), 685-692.

[4] WASZCZYSZYN Z., PETIT J., Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych do

identyfikacji charakterystyk stalowych połą czeń podatnych, XLIII Konferencja Naukowa
KILiW PAN i KN PZITB, Materiały T.2, Poznań-Krynica 1997, 149-156.

[5] MILLER B., PIĄ TKOWSKI G., ZIEMIAŃ SKI L., Determination of parameters of

a semi-rigid beam-to-column connections, Proc. 4th Conf. on Neural Networks and their
Appllications, Czę stochowa-Zakopane 1999, 357-362.

[6] URBAŃ SKA A., KALISZUK J., WASZCZYSZYN Z., Neuronowa analiza połą czeń

rurowych w ramach stalowych, X Międzynarodowa Konf. Naukowo-Techn. Konstrukcje
Metalowe - Gdański 2001, T.2, 325-334.

[7] NI S.H., LU P.C, JUANG C.H., A fuzzy neural network approach to evaluation of slope

failure potential, Microcomputers in Civil Engineering, 11 (1996), 59-66.

[8] WEYNAND K., Sericon – data bank on joints in building frames, COST1 First State-of-

the-Art Workshop, ANSAIS, Polytechnicum L. Pasteur, Strasbourg 1992.

[9] RAJASEKARAN S., FEBIN M.F., RAMASAMY J.V., Artificial fuzzy neural networks

in civil engineering, Computers & Structures, 61 (1996), 291-302.

[10] WASZCZYSZYN Z. (Ed.), Neural Networks in the Analysis and Design of Structures,

CISM Courses and Lectures No.404, Wien - New York, Sp[ringer, 1999.

[11] PABISEK E., Jakubek M., Waszczyszyn Z., A Fuzzy neural network for the analysis of

experimental mechanics problems, Proc. 6th Conf .on Neural Networks and Soft
Computing, Zakopane (2002), (w druku).

[12] DEMUTH H., BEALE M., Neural Network Toolbox for Use with MATLAB, User's

Guide, Version 3, Natick, The Math Works Inc., 1998.

ESTIMATION OF PARAMETERS OF SEMI-RIGID STEEL

CONNECTIONS BY A FUZZY NEURAL NETWORK

Summary

A new fuzzy network, developed on the base of approach in [7] is discussed. The
membership functions of the network parameters are formulated on the base of network
training by individual patterns. The network is applied to a group of 30 beam-to-column
connections analyzed in [4]. Intervals of parameters to the bilinear approximation of M

-F

characteristics were computed as a closer approach to the experimental reality.

Praca została wykonana w ramach projektu badawczego KBN Nr 8 T07E 002 20 pt.
"Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych do analizy konstrukcji stalowych".