Cel üwiczenia

Zapoznanie siĊ z procesem wytwarzania obrazów przez soczewki cienkie oraz nabycie umiejĊtnoĞci

wyznaczania odległoĞci ogniskowych soczewek cienkich róĪnymi metodami.

1. Metoda wzoru soczewkowego

Układ i metody pomiarowe

OdległoĞü miĊdzy przedmiotem a obrazem wynosi (100±0,3) cm. Układ pomiarowy prezentuje schemat:

gdzie:
x- odległoĞü przedmiotu P od
soczewki S
y- odległoĞü obrazu O na ekranie od
soczewki S
f- ogniskowa soczewki
Z – Ĩródło Ğwiatła

Do pomiarów wykorzystana była soczewka skupiająca nr 5 (piĊü kropek na oprawce). UzyskaliĞmy dla

niej na ekranie dwa ostre obrazy (pomniejszony oraz powiĊkszony). Aby wyznaczyü ogniskową soczewki
skupiającej zmierzyliĞmy doĞwiadczalnie osiem odległoĞci wytworzonych powiĊkszonych obrazów od soczewki
oraz osiem odległoĞci obrazów pomniejszonych i skorzystaliĞmy ze wzoru soczewkowego:

y

x

f

1

1

1

+

=

Pomiary i obliczenia

a) dla obrazu powiĊkszonego

x

ǻ x

y

ǻ y

f

ǻ f

ǻ f / f ij = 1 / f

ǻ ij

ǻ ij / ij

Nr

soczewki

cm

cm

cm

cm

cm

cm

%

1/m

1/m

%

17,00

83,00

14,1100

0,2153

1,5262

7,0872 0,10816 1,52615

17,10

82,90

14,1759

0,2149

1,5163

7,0542 0,10696 1,51627

17,00

83,00

14,1100

0,2153

1,5262

7,0872 0,10816 1,52615

16,90

83,10

14,0439

0,2157

1,5362

7,1205 0,10938 1,53616

17,00

83,00

14,1100

0,2153

1,5262

7,0872 0,10816 1,52615

17,10

82,90

14,1759

0,2149

1,5163

7,0542 0,10696 1,51627

17,00

83,00

14,1100

0,2153

1,5262

7,0872 0,10816 1,52615

5

17,10

0,3

82,90

0,3

14,1759

0,2149

1,5163

7,0542 0,10696 1,51627

ĝrednia:

17,03

0,18

82,98

0,18

14,1265

0,1244

0,8808

7,0790 0,06235 0,88083

b) dla obrazu pomniejszonego

x

ǻ x

y

ǻ y

f

ǻ f

ǻ f / f ij = 1 / f

ǻ ij

ǻ ij / ij

Nr

soczewki

cm

cm

cm

cm

cm

cm

%

1/m

1/m

%

84,60

15,40

13,0284

0,2218

1,7027

7,6755 0,13069 1,70266

85,00

15,00

12,7500

0,2235

1,7529

7,8431 0,13749 1,75294

84,50

15,50

13,0975

0,2214

1,6905

7,6350 0,12907 1,69051

84,50

15,50

13,0975

0,2214

1,6905

7,6350 0,12907 1,69051

84,40

15,60

13,1664

0,2210

1,6785

7,5951 0,12749 1,67853

84,90

15,10

12,8199

0,2231

1,7401

7,8004 0,13574 1,74011

84,30

15,70

13,2351

0,2206

1,6667

7,5557 0,12593 1,66670

5

84,50

0,3

15,50

0,3

13,0975

0,2214

1,6905

7,6350 0,12907 1,69051

ĝrednia:

84,59

0,18

15,41

0,18

13,0365

0,1300

0,9970

7,6719 0,07648 0,99687

Wzory i przykładowe obliczenia

Przykładowe obliczenia zostaną przeprowadzone dla wartoĞci Ğrednich obrazu powiĊkszonego, dla obrazu

pomniejszonego zostały one wykonane analogicznie. ǻx oraz ǻy podane w tabelach to błĊdy w odczycie
połoĪenia soczewki. W ocenie niepewnoĞci Ğredniej naleĪy uwzglĊdniü równieĪ Ğredni rozrzut pomiarów
podczas ustawiania ostroĞci obrazu. Wzór na tą niepewnoĞü bĊdzie wyglądał nastĊpująco:

3

)

(

)

1

(

1

2

1

2

2

x

x

x

n

n

x

n

i

i

∆

+

−

−

=

∆

¦

=

Podstawiając dane do tak wyprowadzonego wzoru otrzymujemy:

0,18

2

0,17343046

50

0,03007812

0,03

50

0,00007812

≈

=

=

+

=

∆x

cm

Wzór na ogniskową po odpowiednich przekształceniach przyjmie postaü:

cm

y

x

y

x

f

Ğ

r

1265

,

14

98

,

82

03

,

17

98

,

82

03

,

17

≈

+

⋅

=

+

⋅

=

A jej niepewnoĞü:

0,1244cm

0,1194

0,00503

)

(

)

(

2

2

2

2

≈

+

=

∆

+

+

∆

+

=

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

=

∆

y

y

x

x

x

y

x

y

y

y

f

x

x

f

f

Ğ

r

Ğ

r

Ğ

r

Zwróümy tutaj uwagĊ, Īe nie moĪna jak w przypadku ogniskowej policzyü niepewnoĞci dla

poszczególnych pomiarów i uĞredniü wyników. Obliczenia dla poszczególnych pomiarów zawarte są w tabeli,
natomiast dla wartoĞci Ğrednich dodatkowo wytłuszczone.

ZdolnoĞü skupiającą liczymy z zaleĪnoĞci:

m

f

Ğ

r

Ğ

r

1

079

,

7

100

1265

,

14

1

1

≈

⋅

=

=

ϕ

Natomiast niepewnoĞü ǻ

ϕ

z róĪniczki zupełnej:

m

1

0,06235

1265

,

14

1244

,

0

1

2

2

≈

=

∆

−

=

∆

∂

∂

=

∆

Ğ

r

Ğ

r

Ğ

r

Ğ

r

Ğ

r

f

f

f

f

ϕ

ϕ

Wnioski

Z przeprowadzonych pomiarów i obliczeĔ dla soczewki skupiającej widaü, Īe nie uzyskaliĞmy

jednoznacznego wyniku. Dla obrazu powiĊkszonego ogniskowa wyniosła: f = (14,13 ± 0,13) cm, natomiast dla
obrazu pomniejszonego: f = (13,04 ± 0,13) cm. Na róĪnicĊ w otrzymanych wynikach wpływ miały błĊdy
pomiarowe oraz czynniki błĊdu szacunkowego w ostroĞci obrazu. Pomiary wykonywały 4 osoby i kaĪda z nich
wyznaczała odpowiednią (według siebie) ostroĞü obrazu na ekranie.

2. Metoda Bessela

Układ i metody pomiarowe

Metodą tą bĊdziemy wyznaczaü ogniskową soczewki rozpraszającej C (trzy kreski na oprawce). W tym

celu złoĪymy ją z soczewką skupiającą nr 5 w układ soczewek, tak aby całoĞü była skupiająca. Schematycznie
taki układ bĊdzie wyglądał nastĊpująco:

gdzie:
Z- Ĩródło Ğwiatła
L – soczewka skupiająca nr 5
C- soczewka rozpraszająca
P’- obraz dawany przez soczewkĊ L
P”- obraz przedmiotu pozornego P’
tworzonego przez soczewkĊ C
s, s’- odległoĞci obrazów od układu
soczewek

Przy tworzeniu układu pilnujemy, aby odległoĞü miĊdzy przedmiotem a obrazem przedmiotu

wytworzonym na ekranie była wiĊksza od czterokrotnoĞci ogniskowej układu.

Dla takiego układu soczewek uzyskaliĞmy dwa połoĪenia, dla których na ekranie były ostre obrazy (jeden

pomniejszony, drugi powiĊkszony). SytuacjĊ taką z tym, Īe dla soczewki skupiającej prezentuje schemat:

gdzie:
AB - przedmiot
A’B’, A”B” - obraz
f’ - ogniskowa obrazowa
soczewki
c - odległoĞü miĊdzy
połoĪeniami, dla których
uzyskaliĞmy ostry obraz
d – odległoĞü miĊdzy
przedmiotem a ekranem

W naszym przypadku soczewkĊ skupiającą z rysunku zastąpiono wyĪej zaprezentowanym układem

soczewek. Aby wyznaczyü ogniskową układu soczewek zmierzyliĞmy doĞwiadczalnie osiem odległoĞci
wytworzonych powiĊkszonych obrazów od soczewki oraz osiem odległoĞci obrazów pomniejszonych i
skorzystaliĞmy ze wzoru:

¸

¸
¹

·

¨

¨
©

§

−

=

d

c

d

f

ukł

2

'

4

1

, gdzie odległoĞü

'

s

s

d

+

−

=

oraz

s

s

c

+

= '

NastĊpnie korzystając z zaleĪnoĞci dla układu soczewek wyznaczamy szukaną ogniskową soczewki

rozpraszającej:

'

'

'

1

1

1

s

ukł

r

f

f

f

−

=

Do obliczeĔ przyjĊto f’

s

= (14,13 ± 0,13) cm, poniewaĪ wynik charakteryzuje siĊ mniejszymi błĊdami.

Pomiary i obliczenia

d

ǻd

c

1

1

c

¨

1

c

c

2

2

c

¨

2

c

c

¨ c

Nr

soczewki

cm

cm

cm

cm

cm

cm

cm

cm

cm

cm

40,90

61,70

41,10

62,80

43,20

63,10

41,30

63,10

42,80

62,80

40,50

62,90

41,40

62,70

5 + C

100

0,3

42,40

41,7000 0,3854

63,00

62,7625 0,2360 21,0625 0,4520

'

ukł

f

'

ukł

f

∆

i

ukł

f

'

ukł

f

∆

'

ukł

f

∆

/

i

ukł

f

cm

cm

cm

cm

%

23,8909 0,1005 23,8909 0,1005

0,4206

NiepewnoĞci Ğrednich wartoĞci c

1

oraz c

2

policzymy tak jak w przypadku metody wzoru soczewkowego

uwzglĊdniając Ğredni rozrzut pomiarów podczas ustawiania ostroĞci obrazu oraz niepewnoĞü pomiaru
wynikającą z przyrządu pomiarowego. Wzór na tą niepewnoĞü bĊdzie wyglądał nastĊpująco:

3

)

(

)

1

(

1

1

2

1

2

1

1

2

c

c

c

n

n

c

n

i

i

∆

+

−

−

=

∆

¦

=

Za wartoĞü ǻc

1

i ǻc

2

przyjĊliĞmy 0,3 cm.

Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy:

0,38545

0,14857

0,03

0,11857

1

≈

=

+

=

∆c

cm

Analogicznie postĊpujemy dla c

2

.

ǻ

c jest liczona ze wzoru:

2

2

1

2

2

c

c

c

∆

+

∆

=

∆

cm

0,4520

0,20426

4

0,05569196

0,14857

≈

=

+

=

∆c

Natomiast ogniskowa układu soczewek:

cm

d

c

d

f

ukł

8909

,

23

100

0625

,

21

100

4

1

4

1

2

2

'

≈

¸

¸
¹

·

¨

¨
©

§

−

=

¸

¸
¹

·

¨

¨
©

§

−

=

NiepewnoĞü ogniskowej układu liczymy z wzoru na złoĪoną niepewnoĞü standardową. Dla naszych

danych wzór ten bĊdzie wyglądał:

cm

c

c

c

d

d

c

d

f

ukł

0,1005

0,0101

0,0023

0,0078

2

3

4

2

2

2

2

2

2

2

'

≈

=

+

=

∆

⋅

¸

¹

·

¨

©

§

+

∆

⋅

¸

¸
¹

·

¨

¨
©

§

⋅

+

=

∆

Wyniki obliczeĔ ogniskowej soczewki rozpraszającej zebrane zostały w tabeli:

f’

r

ǻ f’

r

ǻ f’

r

/ f’

r

ij = 1 / f’

r

ǻ ij

ǻ ij / ij

Nr soczewki

cm

cm

%

1/m

1/m

%

C

-34,5634

0,9552

2,7637

-2,8932

0,0800

2,7637

Po odpowiednich przekształceniach wzoru zaleĪnoĞci dla układu soczewek otrzymujemy:

≈

⋅

=

−

⋅

=

23,8909

-

14,1265

14,1265

8909

,

23

'

'

'

'

'

ukł

s

s

ukł

r

f

f

f

f

f

-34,5634 cm

NiepewnoĞü ogniskowej soczewki rozpraszającej policzymy metodą róĪniczki zupełnej.

0,9552cm

7

0,21032405

9

0,74489865

)

(

)

(

'

2

'

'

2

'

'

2

'

'

2

'

'

'

'

'

'

'

'

≈

+

=

∆

−

+

∆

−

=

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

=

∆

ukł

ukł

s

s

s

ukł

s

ukł

ukł

ukł

r

s

s

r

r

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

ZdolnoĞü skupiającą liczymy z zaleĪnoĞci:

m

f

r

1

893

,

2

100

5634

,

34

1

1

'

−

≈

⋅

−

=

=

ϕ

Natomiast niepewnoĞü ǻ

ϕ

z róĪniczki zupełnej:

m

1

0800

,

0

5634

,

34

9552

,

0

1

2

2

≈

−

=

∆

−

=

∆

∂

∂

=

∆

r

r

r

r

f

f

f

f

ϕ

ϕ

Wnioski

Metoda Bessela jest podobno dokładniejszą metodą pomiaru ogniskowych soczewek cienkich. Jednak na

podstawie przeprowadzonych do tej pory obliczeĔ nie jesteĞmy w stanie tego oceniü. Nie moĪemy porównywaü
niepewnoĞci uzyskanych dla jednej soczewki metodą wzoru soczewkowego oraz niepewnoĞci układu soczewek
uzyskanych metodą Bessela. GdybyĞmy wykonali pomiary dla tej samej soczewki lub układu soczewek dwoma
w/w metodami moglibyĞmy porównaü otrzymane wyniki i w ten sposób oceniü, która metoda jest dokładniejsza.

Nie przeszkadza to jednak zinterpretowaü otrzymanych wyników. Dla soczewki rozpraszającej

otrzymaliĞmy ogniskową równą f’

r

= ( -34,56 ± 0,96 ) cm. Na niepewnoĞci pomiarowe miały wpływ błĊdy

pomiarowe, czynniki błĊdu szacunkowego w ostroĞci obrazu oraz nowy czynnik jakim jest moĪliwoĞü
niepoprawnego zmontowania układu soczewek (gdyby soczewka skupiająca i rozpraszająca znajdowały siĊ dalej
od siebie wyniki były by dokładniejsze).

3. Metoda sferometru

Układ i metody pomiarowe

Do pomiaru strzałek ugiĊcia posłuĪyliĞmy siĊ sferometrem. Dla kaĪdej z soczewek mierzyliĞmy dwie

powierzchnie, przy czym okazało siĊ, Īe soczewka 5 jest soczewką płasko-wypukłą, a soczewka C płasko-
wklĊsłą. Schemat pomiaru w przypadku obu soczewek skupiającej 5 i rozpraszającej C prezentują odpowiednio
schematy a i b:

gdzie:
h- strzałka czaszy
2R- Ğrednica czaszy
r- promieĔ krzywizny
T- trzpieĔ czujnika
P- pierĞcieĔ
2R

w

, 2R

z

– Ğrednice pierĞcieni sferometru

DokładnoĞü pomiaru przyjĊliĞmy jako najmniejszą wartoĞü podziałki sferometru czyli 0,01 mm.

NastĊpnie kilkakrotnie zmierzyliĞmy suwmiarką Ğrednice wewnĊtrzną i zewnĊtrzną pierĞcieni sferometru. Tutaj
równieĪ za dokładnoĞü pomiaru przyjĊliĞmy najmniejszą wartoĞü podziałki suwmiarki czyli 0,01 mm.

NastĊpnie obliczyliĞmy promieĔ krzywizny obu soczewek ze wzoru:

h

h

R

r

2

2

2

+

=

, gdzie R=R

z

dla wklĊsłej powierzchni soczewki oraz R=R

w

dla powierzchni wypukłej.

W tej metodzie ogniskową oraz zdolnoĞü skupiającą liczymy ze wzoru:

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

−

¸

¹

·

¨

©

§

−

=

2

1

'

1

1

1

1

r

r

n

n

f

, gdzie r

1

,r

2

- promienie krzywizn odpowiednio pierwszej i drugiej powierzchni, a

'

n

n

- współczynnik załamania szkła wzglĊdem powietrza, za który w naszych obliczeniach przyjĊliĞmy

1,52±0,01.

Pomiary i obliczenia

Dla soczewki skupiającej uzyskaliĞmy nastĊpujące wyniki:

h

Ğr

ǻ h

Ğr

2R

ǻ 2R

r

ǻ r

f

ǻ f

ǻ f / f

ij = 1 / f

ǻ ij

ǻ ij / ij

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

%

1/m

1/m

%

1,44 0,0058

28

0,0058

68,7756

0,3261

132,2607

0,6502

4,916

7,5608

0,3717

4,91607

A dla rozpraszającej:

h

Ğr

ǻ h

Ğr

2R

ǻ 2R

r

ǻ r

f

ǻ f

ǻ f / f

ij = 1 / f

ǻ ij

ǻ ij / ij

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

%

1/m

1/m

%

-1,05

0,0058

36

0,0058 -154,811 0,74649

-297,713

0,79135

2,6581 -3,35894 0,08928

2,6581

NiepewnoĞci Ğrednich wartoĞci h dla obu soczewek policzymy tak jak w przypadku metody wzoru

soczewkowego oraz metody Bessela uwzglĊdniając Ğredni rozrzut pomiarów podczas ustawiania ostroĞci obrazu
oraz niepewnoĞü pomiaru wynikającą z przyrządu pomiarowego. Przykładowe obliczenia bĊdą dotyczyły
soczewki skupiającej. Wzór na tą niepewnoĞü bĊdzie wyglądał nastĊpująco:

mm

h

h

R

r

mm

h

h

h

n

n

h

n

i

i

78

,

68

44

,

1

2

44

,

1

36

2

006

,

0

0058

,

0

0

3

)

(

)

1

(

1

2

2

2

2

1

2

1

2

2

≈

⋅

+

=

+

=

≈

+

=

∆

+

−

−

=

∆

¦

=

0,3261mm

0,26997

0,05613

2

5

,

0

2

2

=

+

=

∆

+

∆

»

»
¼

º

«

«
¬

ª

−

=

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

=

∆

R

h

R

h

h

R

R

R

r

h

h

r

r

mm

132,2607

52

,

0

68,7756

52

,

0

=

=

=

r

f

0,6502mm

≈

∆

∂

∂

=

∆

r

r

f

f

Ogniskową i jej niepewnoĞci obliczaliĞmy analogicznie jak w poprzednich metodach.

Wnioski

Po obliczeniu ogniskowych tą metodą otrzymaliĞmy wyniki:

-

dla soczewki skupiającej: ( 13,227 ± 0,065)cm

-

dla soczewki rozpraszającej: ( -29,78 ± 0,08 ) cm

Na tej podstawie moĪemy dokonaü porównania dokładnoĞci otrzymanych wyników dla poszczególnych

soczewek. Dla soczewki skupiającej otrzymaliĞmy wynik zawierający siĊ w przedziale wyznaczonym przy
pomocy wzoru soczewkowego. Wynik jest bliĪszy dolnej granicy przedziału, co by mogło sugerowaü, Īe nasza
decyzja o wykorzystaniu wyĪszej wartoĞci ogniskowej w metodzie Bessela nie była trafnym wyborem. Mogła
bowiem negatywnie wpłynąü na otrzymany wynik dla soczewki rozpraszającej.

Porównując otrzymane ogniskowe soczewki rozpraszającej widzimy duĪy rozdĨwiĊk miĊdzy

otrzymanymi wynikami. Wynika to jak juĪ wczeĞniej zauwaĪono z wielu czynników, do których moĪemy
miĊdzy innymi zaliczyü: błĊdne zmontowanie układu, zły dobór ogniskowej skupiającej oraz błĊdy wynikające z
róĪnic ostroĞci obrazu, które wpłynĊły bezpoĞrednio na pomiary odczytu odległoĞci.