Cel üwiczenia
Zapoznanie siĊ z procesem wytwarzania obrazów przez soczewki cienkie oraz nabycie umiejĊtnoĞci
wyznaczania odległoĞci ogniskowych soczewek cienkich róĪnymi metodami.
1. Metoda wzoru soczewkowego
Układ i metody pomiarowe
OdległoĞü miĊdzy przedmiotem a obrazem wynosi (100±0,3) cm. Układ pomiarowy prezentuje schemat:
gdzie:
x- odległoĞü przedmiotu P od
soczewki S
y- odległoĞü obrazu O na ekranie od
soczewki S
f- ogniskowa soczewki
Z – Ĩródło Ğwiatła
Do pomiarów wykorzystana była soczewka skupiająca nr 5 (piĊü kropek na oprawce). UzyskaliĞmy dla
niej na ekranie dwa ostre obrazy (pomniejszony oraz powiĊkszony). Aby wyznaczyü ogniskową soczewki
skupiającej zmierzyliĞmy doĞwiadczalnie osiem odległoĞci wytworzonych powiĊkszonych obrazów od soczewki
oraz osiem odległoĞci obrazów pomniejszonych i skorzystaliĞmy ze wzoru soczewkowego:
y
x
f
1
1
1
+
=
Pomiary i obliczenia
a) dla obrazu powiĊkszonego
x
ǻ x
y
ǻ y
f
ǻ f
ǻ f / f ij = 1 / f
ǻ ij
ǻ ij / ij
Nr
soczewki
cm
cm
cm
cm
cm
cm
%
1/m
1/m
%
17,00
83,00
14,1100
0,2153
1,5262
7,0872 0,10816 1,52615
17,10
82,90
14,1759
0,2149
1,5163
7,0542 0,10696 1,51627
17,00
83,00
14,1100
0,2153
1,5262
7,0872 0,10816 1,52615
16,90
83,10
14,0439
0,2157
1,5362
7,1205 0,10938 1,53616
17,00
83,00
14,1100
0,2153
1,5262
7,0872 0,10816 1,52615
17,10
82,90
14,1759
0,2149
1,5163
7,0542 0,10696 1,51627
17,00
83,00
14,1100
0,2153
1,5262
7,0872 0,10816 1,52615
5
17,10
0,3
82,90
0,3
14,1759
0,2149
1,5163
7,0542 0,10696 1,51627
ĝrednia:
17,03
0,18
82,98
0,18
14,1265
0,1244
0,8808
7,0790 0,06235 0,88083
b) dla obrazu pomniejszonego
x
ǻ x
y
ǻ y
f
ǻ f
ǻ f / f ij = 1 / f
ǻ ij
ǻ ij / ij
Nr
soczewki
cm
cm
cm
cm
cm
cm
%
1/m
1/m
%
84,60
15,40
13,0284
0,2218
1,7027
7,6755 0,13069 1,70266
85,00
15,00
12,7500
0,2235
1,7529
7,8431 0,13749 1,75294
84,50
15,50
13,0975
0,2214
1,6905
7,6350 0,12907 1,69051
84,50
15,50
13,0975
0,2214
1,6905
7,6350 0,12907 1,69051
84,40
15,60
13,1664
0,2210
1,6785
7,5951 0,12749 1,67853
84,90
15,10
12,8199
0,2231
1,7401
7,8004 0,13574 1,74011
84,30
15,70
13,2351
0,2206
1,6667
7,5557 0,12593 1,66670
5
84,50
0,3
15,50
0,3
13,0975
0,2214
1,6905
7,6350 0,12907 1,69051
ĝrednia:
84,59
0,18
15,41
0,18
13,0365
0,1300
0,9970
7,6719 0,07648 0,99687
Wzory i przykładowe obliczenia
Przykładowe obliczenia zostaną przeprowadzone dla wartoĞci Ğrednich obrazu powiĊkszonego, dla obrazu
pomniejszonego zostały one wykonane analogicznie. ǻx oraz ǻy podane w tabelach to błĊdy w odczycie
połoĪenia soczewki. W ocenie niepewnoĞci Ğredniej naleĪy uwzglĊdniü równieĪ Ğredni rozrzut pomiarów
podczas ustawiania ostroĞci obrazu. Wzór na tą niepewnoĞü bĊdzie wyglądał nastĊpująco:
3
)
(
)
1
(
1
2
1
2
2
x
x
x
n
n
x
n
i
i
∆
+
−
−
=
∆
¦
=
Podstawiając dane do tak wyprowadzonego wzoru otrzymujemy:
0,18
2
0,17343046
50
0,03007812
0,03
50
0,00007812
≈
=
=
+
=
∆x
cm
Wzór na ogniskową po odpowiednich przekształceniach przyjmie postaü:
cm
y
x
y
x
f
Ğ
r
1265
,
14
98
,
82
03
,
17
98
,
82
03
,
17
≈
+
⋅
=
+
⋅
=
A jej niepewnoĞü:
0,1244cm
0,1194
0,00503
)
(
)
(
2
2
2
2
≈
+
=
∆
+
+
∆
+
=
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
∆
y
y
x
x
x
y
x
y
y
y
f
x
x
f
f
Ğ
r
Ğ
r
Ğ
r
Zwróümy tutaj uwagĊ, Īe nie moĪna jak w przypadku ogniskowej policzyü niepewnoĞci dla
poszczególnych pomiarów i uĞredniü wyników. Obliczenia dla poszczególnych pomiarów zawarte są w tabeli,
natomiast dla wartoĞci Ğrednich dodatkowo wytłuszczone.
ZdolnoĞü skupiającą liczymy z zaleĪnoĞci:
m
f
Ğ
r
Ğ
r
1
079
,
7
100
1265
,
14
1
1
≈
⋅
=
=
ϕ
Natomiast niepewnoĞü ǻ
ϕ
z róĪniczki zupełnej:
m
1
0,06235
1265
,
14
1244
,
0
1
2
2
≈
=
∆
−
=
∆
∂
∂
=
∆
Ğ
r
Ğ
r
Ğ
r
Ğ
r
Ğ
r
f
f
f
f
ϕ
ϕ
Wnioski
Z przeprowadzonych pomiarów i obliczeĔ dla soczewki skupiającej widaü, Īe nie uzyskaliĞmy
jednoznacznego wyniku. Dla obrazu powiĊkszonego ogniskowa wyniosła: f = (14,13 ± 0,13) cm, natomiast dla
obrazu pomniejszonego: f = (13,04 ± 0,13) cm. Na róĪnicĊ w otrzymanych wynikach wpływ miały błĊdy
pomiarowe oraz czynniki błĊdu szacunkowego w ostroĞci obrazu. Pomiary wykonywały 4 osoby i kaĪda z nich
wyznaczała odpowiednią (według siebie) ostroĞü obrazu na ekranie.
2. Metoda Bessela
Układ i metody pomiarowe
Metodą tą bĊdziemy wyznaczaü ogniskową soczewki rozpraszającej C (trzy kreski na oprawce). W tym
celu złoĪymy ją z soczewką skupiającą nr 5 w układ soczewek, tak aby całoĞü była skupiająca. Schematycznie
taki układ bĊdzie wyglądał nastĊpująco:
gdzie:
Z- Ĩródło Ğwiatła
L – soczewka skupiająca nr 5
C- soczewka rozpraszająca
P’- obraz dawany przez soczewkĊ L
P”- obraz przedmiotu pozornego P’
tworzonego przez soczewkĊ C
s, s’- odległoĞci obrazów od układu
soczewek
Przy tworzeniu układu pilnujemy, aby odległoĞü miĊdzy przedmiotem a obrazem przedmiotu
wytworzonym na ekranie była wiĊksza od czterokrotnoĞci ogniskowej układu.
Dla takiego układu soczewek uzyskaliĞmy dwa połoĪenia, dla których na ekranie były ostre obrazy (jeden
pomniejszony, drugi powiĊkszony). SytuacjĊ taką z tym, Īe dla soczewki skupiającej prezentuje schemat:
gdzie:
AB - przedmiot
A’B’, A”B” - obraz
f’ - ogniskowa obrazowa
soczewki
c - odległoĞü miĊdzy
połoĪeniami, dla których
uzyskaliĞmy ostry obraz
d – odległoĞü miĊdzy
przedmiotem a ekranem
W naszym przypadku soczewkĊ skupiającą z rysunku zastąpiono wyĪej zaprezentowanym układem
soczewek. Aby wyznaczyü ogniskową układu soczewek zmierzyliĞmy doĞwiadczalnie osiem odległoĞci
wytworzonych powiĊkszonych obrazów od soczewki oraz osiem odległoĞci obrazów pomniejszonych i
skorzystaliĞmy ze wzoru:
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
−
=
d
c
d
f
ukł
2
'
4
1
, gdzie odległoĞü
'
s
s
d
+
−
=
oraz
s
s
c
+
= '
NastĊpnie korzystając z zaleĪnoĞci dla układu soczewek wyznaczamy szukaną ogniskową soczewki
rozpraszającej:
'
'
'
1
1
1
s
ukł
r
f
f
f
−
=
Do obliczeĔ przyjĊto f’
s
= (14,13 ± 0,13) cm, poniewaĪ wynik charakteryzuje siĊ mniejszymi błĊdami.
Pomiary i obliczenia
d
ǻd
c
1
1
c
¨
1
c
c
2
2
c
¨
2
c
c
¨ c
Nr
soczewki
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
40,90
61,70
41,10
62,80
43,20
63,10
41,30
63,10
42,80
62,80
40,50
62,90
41,40
62,70
5 + C
100
0,3
42,40
41,7000 0,3854
63,00
62,7625 0,2360 21,0625 0,4520
'
ukł
f
'
ukł
f
∆
i
ukł
f
'
ukł
f
∆
'
ukł
f
∆
/
i
ukł
f
cm
cm
cm
cm
%
23,8909 0,1005 23,8909 0,1005
0,4206
NiepewnoĞci Ğrednich wartoĞci c
1
oraz c
2
policzymy tak jak w przypadku metody wzoru soczewkowego
uwzglĊdniając Ğredni rozrzut pomiarów podczas ustawiania ostroĞci obrazu oraz niepewnoĞü pomiaru
wynikającą z przyrządu pomiarowego. Wzór na tą niepewnoĞü bĊdzie wyglądał nastĊpująco:
3
)
(
)
1
(
1
1
2
1
2
1
1
2
c
c
c
n
n
c
n
i
i
∆
+
−
−
=
∆
¦
=
Za wartoĞü ǻc
1
i ǻc
2
przyjĊliĞmy 0,3 cm.
Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy:
0,38545
0,14857
0,03
0,11857
1
≈
=
+
=
∆c
cm
Analogicznie postĊpujemy dla c
2
.
ǻ
c jest liczona ze wzoru:
2
2
1
2
2
c
c
c
∆
+
∆
=
∆
cm
0,4520
0,20426
4
0,05569196
0,14857
≈
=
+
=
∆c
Natomiast ogniskowa układu soczewek:
cm
d
c
d
f
ukł
8909
,
23
100
0625
,
21
100
4
1
4
1
2
2
'
≈
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
−
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
−
=
NiepewnoĞü ogniskowej układu liczymy z wzoru na złoĪoną niepewnoĞü standardową. Dla naszych
danych wzór ten bĊdzie wyglądał:
cm
c
c
c
d
d
c
d
f
ukł
0,1005
0,0101
0,0023
0,0078
2
3
4
2
2
2
2
2
2
2
'
≈
=
+
=
∆
⋅
¸
¹
·
¨
©
§
+
∆
⋅
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
⋅
+
=
∆
Wyniki obliczeĔ ogniskowej soczewki rozpraszającej zebrane zostały w tabeli:
f’
r
ǻ f’
r
ǻ f’
r
/ f’
r
ij = 1 / f’
r
ǻ ij
ǻ ij / ij
Nr soczewki
cm
cm
%
1/m
1/m
%
C
-34,5634
0,9552
2,7637
-2,8932
0,0800
2,7637
Po odpowiednich przekształceniach wzoru zaleĪnoĞci dla układu soczewek otrzymujemy:
≈
⋅
=
−
⋅
=
23,8909
-
14,1265
14,1265
8909
,
23
'
'
'
'
'
ukł
s
s
ukł
r
f
f
f
f
f
-34,5634 cm
NiepewnoĞü ogniskowej soczewki rozpraszającej policzymy metodą róĪniczki zupełnej.
0,9552cm
7
0,21032405
9
0,74489865
)
(
)
(
'
2
'
'
2
'
'
2
'
'
2
'
'
'
'
'
'
'
'
≈
+
=
∆
−
+
∆
−
=
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
∆
ukł
ukł
s
s
s
ukł
s
ukł
ukł
ukł
r
s
s
r
r
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
ZdolnoĞü skupiającą liczymy z zaleĪnoĞci:
m
f
r
1
893
,
2
100
5634
,
34
1
1
'
−
≈
⋅
−
=
=
ϕ
Natomiast niepewnoĞü ǻ
ϕ
z róĪniczki zupełnej:
m
1
0800
,
0
5634
,
34
9552
,
0
1
2
2
≈
−
=
∆
−
=
∆
∂
∂
=
∆
r
r
r
r
f
f
f
f
ϕ
ϕ
Wnioski
Metoda Bessela jest podobno dokładniejszą metodą pomiaru ogniskowych soczewek cienkich. Jednak na
podstawie przeprowadzonych do tej pory obliczeĔ nie jesteĞmy w stanie tego oceniü. Nie moĪemy porównywaü
niepewnoĞci uzyskanych dla jednej soczewki metodą wzoru soczewkowego oraz niepewnoĞci układu soczewek
uzyskanych metodą Bessela. GdybyĞmy wykonali pomiary dla tej samej soczewki lub układu soczewek dwoma
w/w metodami moglibyĞmy porównaü otrzymane wyniki i w ten sposób oceniü, która metoda jest dokładniejsza.
Nie przeszkadza to jednak zinterpretowaü otrzymanych wyników. Dla soczewki rozpraszającej
otrzymaliĞmy ogniskową równą f’
r
= ( -34,56 ± 0,96 ) cm. Na niepewnoĞci pomiarowe miały wpływ błĊdy
pomiarowe, czynniki błĊdu szacunkowego w ostroĞci obrazu oraz nowy czynnik jakim jest moĪliwoĞü
niepoprawnego zmontowania układu soczewek (gdyby soczewka skupiająca i rozpraszająca znajdowały siĊ dalej
od siebie wyniki były by dokładniejsze).
3. Metoda sferometru
Układ i metody pomiarowe
Do pomiaru strzałek ugiĊcia posłuĪyliĞmy siĊ sferometrem. Dla kaĪdej z soczewek mierzyliĞmy dwie
powierzchnie, przy czym okazało siĊ, Īe soczewka 5 jest soczewką płasko-wypukłą, a soczewka C płasko-
wklĊsłą. Schemat pomiaru w przypadku obu soczewek skupiającej 5 i rozpraszającej C prezentują odpowiednio
schematy a i b:
gdzie:
h- strzałka czaszy
2R- Ğrednica czaszy
r- promieĔ krzywizny
T- trzpieĔ czujnika
P- pierĞcieĔ
2R
w
, 2R
z
– Ğrednice pierĞcieni sferometru
DokładnoĞü pomiaru przyjĊliĞmy jako najmniejszą wartoĞü podziałki sferometru czyli 0,01 mm.
NastĊpnie kilkakrotnie zmierzyliĞmy suwmiarką Ğrednice wewnĊtrzną i zewnĊtrzną pierĞcieni sferometru. Tutaj
równieĪ za dokładnoĞü pomiaru przyjĊliĞmy najmniejszą wartoĞü podziałki suwmiarki czyli 0,01 mm.
NastĊpnie obliczyliĞmy promieĔ krzywizny obu soczewek ze wzoru:
h
h
R
r
2
2
2
+
=
, gdzie R=R
z
dla wklĊsłej powierzchni soczewki oraz R=R
w
dla powierzchni wypukłej.
W tej metodzie ogniskową oraz zdolnoĞü skupiającą liczymy ze wzoru:
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
−
¸
¹
·
¨
©
§
−
=
2
1
'
1
1
1
1
r
r
n
n
f
, gdzie r
1
,r
2
- promienie krzywizn odpowiednio pierwszej i drugiej powierzchni, a
'
n
n
- współczynnik załamania szkła wzglĊdem powietrza, za który w naszych obliczeniach przyjĊliĞmy
1,52±0,01.
Pomiary i obliczenia
Dla soczewki skupiającej uzyskaliĞmy nastĊpujące wyniki:
h
Ğr
ǻ h
Ğr
2R
ǻ 2R
r
ǻ r
f
ǻ f
ǻ f / f
ij = 1 / f
ǻ ij
ǻ ij / ij
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
%
1/m
1/m
%
1,44 0,0058
28
0,0058
68,7756
0,3261
132,2607
0,6502
4,916
7,5608
0,3717
4,91607
A dla rozpraszającej:
h
Ğr
ǻ h
Ğr
2R
ǻ 2R
r
ǻ r
f
ǻ f
ǻ f / f
ij = 1 / f
ǻ ij
ǻ ij / ij
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
%
1/m
1/m
%
-1,05
0,0058
36
0,0058 -154,811 0,74649
-297,713
0,79135
2,6581 -3,35894 0,08928
2,6581
NiepewnoĞci Ğrednich wartoĞci h dla obu soczewek policzymy tak jak w przypadku metody wzoru
soczewkowego oraz metody Bessela uwzglĊdniając Ğredni rozrzut pomiarów podczas ustawiania ostroĞci obrazu
oraz niepewnoĞü pomiaru wynikającą z przyrządu pomiarowego. Przykładowe obliczenia bĊdą dotyczyły
soczewki skupiającej. Wzór na tą niepewnoĞü bĊdzie wyglądał nastĊpująco:
mm
h
h
R
r
mm
h
h
h
n
n
h
n
i
i
78
,
68
44
,
1
2
44
,
1
36
2
006
,
0
0058
,
0
0
3
)
(
)
1
(
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
≈
⋅
+
=
+
=
≈
+
=
∆
+
−
−
=
∆
¦
=
0,3261mm
0,26997
0,05613
2
5
,
0
2
2
=
+
=
∆
+
∆
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
−
=
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
∆
R
h
R
h
h
R
R
R
r
h
h
r
r
mm
132,2607
52
,
0
68,7756
52
,
0
=
=
=
r
f
0,6502mm
≈
∆
∂
∂
=
∆
r
r
f
f
Ogniskową i jej niepewnoĞci obliczaliĞmy analogicznie jak w poprzednich metodach.
Wnioski
Po obliczeniu ogniskowych tą metodą otrzymaliĞmy wyniki:
-
dla soczewki skupiającej: ( 13,227 ± 0,065)cm
-
dla soczewki rozpraszającej: ( -29,78 ± 0,08 ) cm
Na tej podstawie moĪemy dokonaü porównania dokładnoĞci otrzymanych wyników dla poszczególnych
soczewek. Dla soczewki skupiającej otrzymaliĞmy wynik zawierający siĊ w przedziale wyznaczonym przy
pomocy wzoru soczewkowego. Wynik jest bliĪszy dolnej granicy przedziału, co by mogło sugerowaü, Īe nasza
decyzja o wykorzystaniu wyĪszej wartoĞci ogniskowej w metodzie Bessela nie była trafnym wyborem. Mogła
bowiem negatywnie wpłynąü na otrzymany wynik dla soczewki rozpraszającej.
Porównując otrzymane ogniskowe soczewki rozpraszającej widzimy duĪy rozdĨwiĊk miĊdzy
otrzymanymi wynikami. Wynika to jak juĪ wczeĞniej zauwaĪono z wielu czynników, do których moĪemy
miĊdzy innymi zaliczyü: błĊdne zmontowanie układu, zły dobór ogniskowej skupiającej oraz błĊdy wynikające z
róĪnic ostroĞci obrazu, które wpłynĊły bezpoĞrednio na pomiary odczytu odległoĞci.