Laboratorium Podstaw Fizyki
Nr ćwiczenia: 77
Temat ćwiczenia: Pomiar odległości ogniskowych soczewek.
Nazwisko i Imię prowadzącego kurs:
| Wykonawca: | |
|---|---|
Imię i Nazwisko nr indeksu, wydział |
|
| Termin zajęć: dzień tygodnia, godzina | |
| Numer grupy ćwiczeniowej | |
| Data oddania sprawozdania: | |
| Ocena końcowa |
Zatwierdzam wyniki pomiarów.
Data i podpis prowadzącego zajęcia ............................................................
Adnotacje dotyczące wymaganych poprawek oraz daty otrzymania
poprawionego sprawozdania
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia było zapoznanie się z procesem wytwarzania obrazów przez soczewki cienkie, a także, przy użyciu dwóch różnych metod, wyznaczenie ogniskowych takich soczewek.
Metoda wzoru soczewkowego
Pomiary przeprowadzane były dla trzech sytuacji:
1° - gdy odległość przedmiotu od soczewki (s) była równa dwóm długościom szacowanej ogniskowej (~f’) → s=2*(~f’)
2° - gdy odległość przedmiotu od soczewki (s) była większa, niż dwie długości szacowanej ogniskowej (~f’) → s>2*(~f’)
3° - gdy odległość przedmiotu od soczewki (s) była większa, niż szacowana długość ogniskowej (~f’) i równocześnie mniejsza, niż podwojona wartość tej długości → ~f’< s<2*(~f’)
Wyniki zostały przedstawione w dwóch tabelach.
W pierwszej znajdują się pomiary i obliczenia wykonane dla układu optycznego, który zawierał jedną soczewkę skupiającą.
W tabeli 2 znajdują się pomiary i wyniki obliczeń, które zostały wykonane dla układu składającego się z dwóch soczewek – skupiającej i rozpraszającej – który był w rezultacie ich złożenia układem skupiającym.
Tabela 1: Wyniki uzyskane dla pojedynczej soczewki skupiającej
grupa pomiarowa |
nr pomiaru |
s | Δs | s' | $$\overset{\overline{}}{\mathbf{s'}}$$ |
$$\mathbf{}\overset{\overline{}}{\mathbf{s'}}$$ |
̴f' | f' | f′ |
$$\frac{\mathbf{f'}}{\mathbf{f'}}$$ |
ϕ | Δϕ | $$\frac{\mathbf{\varphi}}{\mathbf{\varphi}}$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [%] | [1/m] | [1/m] | [%] | ||
| 1° | 1 | 0,260 | 0,002 | 0,158 | 0,158 | 0,002 | 0,1300 | 0,0981 | 0,0009 | 0,9 | 10,2 | 0,09 | 0,9 |
| 2 | 0,155 | ||||||||||||
| 3 | 0,160 | ||||||||||||
| 2° | 1 | 0,300 | 0,1430 | 0,1443 | 0,0007 | 0,0974 | 0,0004 | 0,31 | 10,3 | 0,04 | 0,31 | ||
| 2 | 0,1450 | ||||||||||||
| 3 | 0,1450 | ||||||||||||
| 3° | 1 | 0,200 | 0,200 | 0,199 | 0,002 | 0,0997 | 0,0004 | 0,34 | 10,1 | 0,04 | 0,34 | ||
| 2 | 0,196 | ||||||||||||
| 3 | 0,200 |
Tabela 2: Wyniki pomiarów uzyskanych dla układu skupiającego dwóch soczewek
grupa pomiarowa |
nr pomiaru |
s | Δs | s' | $$\overset{\overline{}}{\mathbf{s'}}$$ |
$$\mathbf{}\overset{\overline{}}{\mathbf{s'}}$$ |
̴f' | f' | f′ |
$$\frac{\mathbf{f'}}{\mathbf{f'}}$$ |
ϕ | Δϕ | $$\frac{\mathbf{\varphi}}{\mathbf{\varphi}}$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [%] | [1/m] | [1/m] | [%] | ||
| 1° | 1 | 0,500 | 0,002 | 0,2100 | 0,2117 | 0,0009 | 0,2500 | 0,1487 | 0,0007 | 0,41 | 6,72 | 0,03 | 0,41 |
| 2 | 0,2120 | ||||||||||||
| 3 | 0,2130 | ||||||||||||
| 2° | 1 | 0,600 | 0,2000 | 0,1997 | 0,0004 | 0,1499 | 0,0002 | 0,13 | 6,675 | 0,009 | 0,13 | ||
| 2 | 0,1990 | ||||||||||||
| 3 | 0,2000 | ||||||||||||
| 3° | 1 | 0,400 | 0,2350 | 0,2363 | 0,0009 | 0,1486 | 0,0004 | 0,23 | 6,73 | 0,02 | 0,23 | ||
| 2 | 0,2360 | ||||||||||||
| 3 | 0,2380 |
s – odległość przedmiotu od soczewki
Δs – niepewność pomiaru odległości przedmiotu od soczewki
s’ – odległość obrazu przedmiotu od soczewki
$\overset{\overline{}}{s'}$ – średnia odległość obrazu przedmiotu od soczewki
Δ$\overset{\overline{}}{s'}$ – niepewność pomiaru średniej odległości obrazu przedmiotu od soczewki
~f’ – szacowana odległość ogniskowa soczewki
f’ – obliczona odległość ogniska soczewki
Δf’ – niepewność bezwzględna pomiarowa ogniskowej soczewki
$\frac{f'}{f'}$ – niepewność względna pomiaru ogniskowej soczewki
ϕ – zdolność skupiająca soczewki
Δϕ – niepewność bezwzględna pomiaru zdolności skupiającej soczewki
$\frac{\varphi}{\varphi}$ – niepewność względna pomiaru zdolności skupiającej soczewki
Wzory i przykładowe obliczenia (z wykorzystaniem danych z grupy 1° z Tabeli 1):
$\overset{\overline{}}{s'} = \frac{0,158 + 0,155 + 0,160}{3} = 0,1576667$ [m]
Niepewność pomiaru średniej odległości obrazu przedmiotu od soczewki wyznaczono wykorzystując wzór:
$$\overset{\overline{}}{s'} = \sqrt{\frac{1}{n\left( n - 1 \right)}*\sum_{i = 1}^{n}{\left( {s'}_{i} - \overset{\overline{}}{s'} \right)^{2} + \frac{\left( s \right)^{2}}{3}}}$$
$\overset{\overline{}}{s'} = \sqrt{\frac{1}{3\left( 3 - 1 \right)}*\left\lbrack \left( 0,158 - 0,1576 \right)^{2} + \left( 0,155 - 0,1576 \right)^{2} + \left( 0,16 - 0,1576 \right)^{2} \right\rbrack + \frac{\left( 0,002 \right)^{2}}{3}} = 0,001453$ [m]
Odległość ogniskową soczewki skupiającej wyznaczono przy wykorzystaniu równania soczewki:
$\frac{1}{f'} = \frac{1}{s} + \frac{1}{\overset{\overline{}}{s'}}$ ,zatem $f^{'} = \frac{1}{\frac{1}{s} + \frac{1}{\overset{\overline{}}{s'}}}$ $f^{'} = \frac{s^{'}*s}{s + s'}$
$f^{'} = \frac{1}{\frac{1}{0,26} + \frac{1}{0,157666667}} = 0,098148$ [m]
Niepewność pomiaru odległości ogniskowej wyznaczono przy użyciu metody różniczki zupełnej:
$$f^{'} = \left| \frac{\delta f'}{\text{δs}}*s \right| + \left| \frac{\delta f'}{\delta\overset{\overline{}}{s'}}*\overset{\overline{}}{s'} \right| = \left| \frac{{\overset{\overline{}}{s'}}^{2}}{\left( s + \overset{\overline{}}{s'} \right)^{2}}*s \right| + \left| \frac{s^{2}}{\left( s + \overset{\overline{}}{s'} \right)^{2}}*\overset{\overline{}}{s'} \right|$$
$f^{'} = \left| \frac{{(0,158)}^{2}}{\left( 0,260 + 0,158 \right)^{2}}*0,002 \right| + \left| \frac{{(0,260)}^{2}}{\left( 0,260 + 0,158 \right)^{2}}*0,002 \right| = 0,000848\ $[m]
Zdolność skupiającą soczewki wyznaczono przy zastosowaniu wzoru:
$\varphi = \frac{1}{f'}$
$\varphi = \frac{1}{0,098148444} =$10,188648 [1/m]
Niepewność pomiaru zdolności skupiającej soczewki wyznaczono przy użyciu metody różniczki zupełnej:
$$\varphi = \left| - \frac{1}{{f'}^{2}} \right|*f'$$
$\varphi = \left| - \frac{1}{\left( 0,098148 \right)^{2}} \right|*0,000848 = 0,088035$ [1/m]
$\frac{\varphi}{\varphi} = \frac{0,088035}{10,188648}*100 = 0,864046$ [%]
Metoda Bessela
Do pomiarów w metodzie Bessela wykorzystana została jedna soczewka skupiająca.
Tabela 3: Wyniki uzyskane dla soczewki skupiającej
nr pomiaru |
d | Δd | c1 | $$\overset{\overline{}}{\mathbf{c}_{\mathbf{1}}}$$ |
$$\mathbf{}\overset{\overline{}}{\mathbf{c}_{\mathbf{1}}}$$ |
c2 | $$\overset{\overline{}}{\mathbf{c}_{\mathbf{2}}}$$ |
$$\mathbf{}\overset{\overline{}}{\mathbf{c}_{\mathbf{2}}}$$ |
c | Δc |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | [m] | |
| 1 | 1,000 | 0,002 | 0,1120 | 0,1117 | 0,0013 | 0,8800 | 0,8803 | 0,0013 | 0,7687 | 0,0025 |
| 2 | 0,1110 | 0,8800 | ||||||||
| 3 | 0,1120 | 0,8810 | ||||||||
| 1 | 0,800 | 0,1140 | 0,1143 | 0,0013 | 0,6710 | 0,6717 | 0,0013 | 0,5573 | 0,0025 | |
| 2 | 0,1150 | 0,6720 | ||||||||
| 3 | 0,1140 | 0,6720 |
Tabela 4: Obliczone wartości ogniskowych
| d | f' | Δf' | $$\frac{\mathbf{f'}}{\mathbf{f'}}$$ |
$$\overset{\overline{}}{\mathbf{f'}}$$ |
$$\mathbf{}\overset{\overline{}}{\mathbf{f'}}$$ |
$$\frac{\mathbf{}\overset{\overline{}}{\mathbf{f'}}}{\overset{\overline{}}{\mathbf{f'}}}$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [m] | [m] | [m] | [%] | [m] | [m] | [%] |
| 1 | 0,102 | 0,002 | 1,7 | 0,103 | 0,002 | 1,6 |
| 0,8 | 0,103 | 0,002 | 1,5 |
d – odległość przedmiotu od ekranu
$\overset{\overline{}}{c_{1}}$ – średnia odległość położenia soczewki dla której otrzymano ostry pomniejszony obraz
$\overset{\overline{}}{c_{2}}$ – średnia odległość położenia soczewki dla której otrzymano ostry powiększony obraz
c – odległość pomiędzy oboma położeniami soczewki
Wzory i przykładowe obliczenia (z wykorzystaniem danych dla d=1 [m] z Tabeli 3):
$\overset{\overline{}}{c_{1}} = \frac{0,112 + 0,111 + 0,112}{3} = 0,111667$ [m]
$\overset{\overline{}}{c_{2}} = \frac{0,88 + 0,881 + 0,88}{3} = 0,880333$ [m]
Niepewność pomiaru średnich odległości c1 i c2 wyznaczono wykorzystując wzór (analogicznie do metody wzoru soczewkowego):
$$\overset{\overline{}}{c_{1/2}} = \sqrt{\frac{1}{n\left( n - 1 \right)}*\sum_{i = 1}^{n}{\left( c_{(1/2)i} - \overset{\overline{}}{c_{1/2}} \right)^{2} + \frac{\left( d \right)^{2}}{3}}}$$
c = |c1−c2|
c = |0,111667−0,88033| = 0, 768667 [m]
Niepewność pomiaru odległości pomiędzy oboma położeniami soczewki wyznaczono przy użyciu metody różniczki zupełnej:
$$c = \left| \frac{\text{δc}}{\delta c_{1}} \right|*c_{1} + \left| \frac{\text{δc}}{\delta c_{2}} \right|*{c}_{2} = c_{1} + {\left| - 1 \right|*c}_{2} = c_{1} + c_{2}$$
c = 0, 001202 + 0, 001202 = 0, 002404 [m]
$$f^{'} = \frac{d^{2} - c^{2}}{4d}$$
$f^{'} = \frac{1^{2} - (0,{769)}^{2}}{4} = 0,102288$ [m]
Niepewność pomiaru odległości ogniskowej wyznaczono przy użyciu metody różniczki zupełnej:
$$f^{'} = \left| \frac{c^{2} + d^{2}}{{4d}^{2}} \right|*d + \left| - \frac{c}{2d} \right|*c$$
$f^{'} = \left| \frac{\left( 0,7687 \right)^{2} + 1^{2}}{{4*1}^{2}} \right|*0,002 + \left| \frac{0,7687}{2*1} \right|*0,0025 = 0,001719$ [m]
Analiza niedokładności pomiarowych i wnioski
Długość ogniskowej dla pojedynczej soczewki skupiającej w pomiarach z wykorzystaniem wzoru soczewkowego obliczona została jako niecałe 10 cm, natomiast w metodzie Bessela jako nieco ponad 10 cm. Oznacza to, że pomiary były dosyć dokładne.
Błędy, jakie pojawiły się w pomiarach zależą przede wszystkim od metody. Pomiary zostały dokonane na podstawie oceny ostrości, która jest przede wszystkim subiektywna i zależy od aparatu percepcyjnego, który jest niedoskonały. Co prawda, w naszych pomiarach różnice między kolejnymi ocenami były znikome lub żadne, ale nie oznacza to, że całkowicie poprawne – oko ludzkie nie jest w stanie wychwycić drobnych różnic między ostrościami.
Duża różnica pojawiła się między początkowo założoną długością ogniskowej soczewki/soczewek w metodzie wzoru soczewkowego. W przypadku pojedynczej soczewki skupiającej różnica między szacowaną, a obliczoną wartością ogniskowej wyniosła ~3cm, natomiast w przypadku układu soczewek aż ~10cm.
Metoda wzoru soczewkowego jest dokładniejsza od metody Bessela, ponieważ jest zależna jedynie od jednej zmiennej – odległości obrazu od soczewki. W metodzie Bessela obliczenia zależą zarówno od odległości przedmiotu od ekranu, jak i od odległości między położeniami soczewki. Złożony błąd dla metody Bessela powinien być zatem większy, co potwierdzają nasze obliczenia (błąd względny w metodzie Bessela jest o rząd większy, niż w metodzie wzoru soczewkowego).