1.Krzywizna linii pionu i powierzchni ekwipotencjalnych

Slajd 2:
Pomiary geodezyjne realizowane są po zorientowaniu instrumentów geodezyjnych względem linii
pionu. Oznacza to że pionowa oś obrotu instrumentu w wyniku "spoziomowania" zostaje ustawiona
stycznie do kierunku linii pionu w punkcie stanowiska. Z kolei płaszczyzna koła poziomego ustawiona
zostaje stycznie do powierzchni geopa przechodzącego przez stanowisko pomiarowe podobnie jak oś
celowa instrumentu. Stąd wpływ kształtu powierzchni ekwipotencjalnych oraz kształtu linii pionu
będzie miał wpływ na wyniki pomiarów geodezyjnych i będzie zauważalny szczególnie w pomiarach
precyzyjnych. Wpływ ten należy zatem uwzględniać w tego rodzaju pomiarach.
Równanie [1] opisuje położenie wektora przyspieszenia ciężkościowego czyli wektora określającego
kierunek linii pionu, prostopadłego po powierzchni ekwipotencjalnej W=const. Z kolei równanie [2]
opisuje wektor normalny do dowolnej powierzchni. Aby oba wektory były do siebie musi zachodzić
warunek równoległości [3]. Z niego można utworzyć np. warunek [4].
Rysunek pierwszy przedstawia linię y=f(x) na płaszczyźnie XOY. Krzywiznę

κ

takiej linii w punkcie P

przedstawia się jak odwrotność jej promienia

ρ

w postaci równania [5]. W zagadnieniach

geodezyjnych dotyczących linii pionu interesująca będzie płaszczyzna pionowa YOZ lub XOZ,
zawierająca ten kierunek. Zatem dla linii pionu w analogii do dowolnej linii y=f(x) będzie tym razem
np. x=f(z), czyli krzywizna analogicznie będzie miała postać [6].

Slajd 3:
Wcześniej uzyskany warunek [4] należy zróżniczkować tak, aby uzyskać postać dla krzywizny [6]. Po
zróżniczkowaniu otrzymamy postać [7]. Dalek należy uwzględnić fakt, że w rozpatrywanym układzie
współrzędnych W

X

=W

y

=0 i dx/dz=0, a zatem część składników wzoru [7] wyzeruje się i prawa strona

zredukuje się do postaci W

xz

/W

z

. Przekształcając tą postać i uwzględniając, że W

z

= -g otrzymamy

zależność na krzywiznę linii pionu [9] w płaszczyźnie XOZ. Analogicznie będzie wyglądała zależność na
krzywiznę l.p. w płaszczyźnie YOZ [10]. Będą to krzywizny rzutów l.p. na płaszczyznę odpowiednio
południka i I wertykału [10].

Slajd 4:
Krzywizna linii pionu w obu ww. płaszczyznach będzie miała wpływ na wartość współrzędnych

ϕ

,

λ

co

wynika z ich definicji (współrzędne astronomiczne). Wartości tych współrzędnych będą zatem
zmieniały się wzdłuż linii pionu. Stąd istnieje potrzeba ich redukcji na jeden ustalony poziom. Wartość
tej redukcji będzie zależna od krzywizny linii pionu i zapewne proporcjonalna do długości drogi
redukcji (wysokości H punktu nad przyjętym poziomem redukcji) (rysunek). Wyobraźmy sobie, że w
punkcie P na f.p.Z. zmierzono współrzędne

ϕ

,

λ

. Na powierzchni odniesienia np. na geoidzie

współrzędne te będą się różniły się od tych z f.p.Z. o niewielki kąt

δϕ

dla współrzędnej

ϕ

i równie

mały kąt

δλ

dla współrzędnej

λ

. Wartość tych kątów można obliczyć za pomocą ustalonej wcześniej

krzywizny [10] odpowiednio dla obu składowych otrzymując odpowiednie zależności w postaci [11].
Wzory te dotyczą sytuacji rzeczywistego pola ciężkościowego, gdzie linia pionu jest krzywą
przestrzenną. W normalnym polu ciężkościowym ze względu na kształt elipsoidy i jednorodny rozkład
masy linia pionu będzie krzywą płaską posiadającą krzywiznę jedynie w płaszczyźnie południka.
Zatem w tym polu krzywizna l.p. w płaszczyźnie I wertykału jest zerowa [12] a zatem nie będzie
zmiany długości

λ

. Krzywiznę l.p. w płaszczyźnie południkowej będzie można zapisać w postaci

wielkości pola normalnego [13].

Slajd 5:
Obliczenie pochodnej przyspieszenia normalnego prowadzi do pierwszego składnika wzoru [14],
gdzie

γ

0

przyspieszenie na elipsoidzie,

γ

e

przyspieszenie na równiku elipsoidy, M promień przekroju

południkowego,

β

- spłaszczenie grawimetryczne elipsoidy. Z kolei kąt zakrzywienia linii pionu czyli

przyrost szerokości można wyznaczyć na podstawie rysunku jako stosunek łuku H do jego promienia

ρ

(drugi składnik [14]). Uwzględniając [14] w [15] jako odpowiedniku [11] dla pola normalnego

otrzymujemy poszukiwane zmiany współrzędnych

ϕ

i

λ

[16]. Dla uproszczenia nie wpływającego na

dokładność zamiast promienia przekroju południkowego użyto średniego promienia krzywizny
elipsoidy R

E

. Przyjmując ten promień jako stały oraz stałą wartość spłaszczenia

β

otrzymujemy

praktyczny wzór na przyrost szerokości

ϕ

[17]. Wynika z niego, że największy wpływ będzie redukcji

dla punktów na średniej szerokości położonych dodatkowo na o dużej wysokości n.p.m. Dla
wysokości H=1km w takim punkcie na średniej szerokości jej przyrost wyniesie -0.00034

″

, co

odpowiada "przesunięciu" punktu o 0.5 cm. Stąd wniosek że dla punktów podstawowych osnów
geodezyjnych taka redukcja będzie miała istotny wpływ i należy ją uwzględniać.

Slajd 6:
W podobny sposób można przeanalizować wpływ krzywizny linii pionu na wysokość. Poszukiwany
przyrost wysokości będzie różnica między wysokością H mierzoną wzdłuż linii pionu (łuk) a
wysokością h jako odcinkiem normalnej do elipsoidy. Łuk H otrzymamy na podstawie drugiego
składnika wzoru [14] czyli w postaci [18]. Z kolei z rysunku wynika, że odcinek h obliczymy za pomocą
promienia krzywizny i kąta zakrzywienia czyli przyrostu szerokości [19]. Rozwinięcie sin

∆ϕ

w szereg i

ograniczenie się do pierwszych dwóch wyrazów daje postać [20]. Stąd różnica wysokości H i h po
uwzględnieniu [16] wynosi w przybliżeniu [21]. Jest to bardzo mały przyrost: dla analogicznego w
poprzednim rozważaniu punktu ale położonego na wysokości najwyższych wzniesień na Ziemi
wartość różnicy wysokości z tytułu zakrzywienia linii pionu wyniesie 0.1 mm. Stąd w praktycznych
zagadnieniach taką redukcję pomijamy.

2. Niwelacyjna i grawimetryczna poprawka pływowa

Slajd 7:
Wychylenie linii pionu wywołane przyciąganiem Słońca i Księżyca zilustrowano na rys. Wektor
ciężkości ziemskiej w punkcie P oznaczono przez g. Przyciąganie Słońca i Księżyca generuje niewielki
wektor przyciągana grawitacyjnego

δ

g

SK

. Wektor ten działa na kierunku określonym kątem

zenitalnym z

SK

. Suma wektorów g i

δ

g

SK

jest równa wektorowi g

SK

wychylonemu od pierwotnego

kierunku o niewielki kąt

υ

. Wartość tego kąta łatwo można obliczyć na podstawie g i

δ

g

SK

[22]. Z kolei

grawitacyjne przyciąganie Słońca albo Księżyca można obliczyć znając masy i rozmiary obu ciał oraz
ich odległości i kierunek działania tego przyciągania [23]. Ostatecznie kierunek linii pionu czyli
kierunek wektora ciężkości po uwzględnieniu przyciągania obu ciał niebieskich musi jeszcze
uwzględniać różne położenie obu ciał względem punktu P. Jest to realizowane dla kierunku danego
azymutu A i azymutu Słońca oraz Księżyca w danym momencie. Wartość wychylenia linii pionu

Θ

jest

wychyleniem linii w płaszczyźnie azymutu A [24].

Slajd 8:
Niektóre wielkości wzoru [24] są stałe stąd można je obliczyć, podać w postaci współczynników i w
ten sposób uprościć wzór [25]. Zmiennymi pozostają współrzędne Słońca i Księżyca (azymut, kąt
zenitalny) oraz azymut kierunku na powierzchni Ziemi (A). Współrzędne są zmienne w czasie, co
oznacza, że ich wartość należy obliczyć na określony moment. Wymaga to znajomości tego momentu
(czas) ale również informacji o wyjściowym położeniu obu ciał. To drugie znajdziemy w Roczniku
Astronomicznym w funkcji współrzędnych równikowych godzinnych. Konieczne zatem będzie
powiązanie tych współrzędnych z układem horyzontalnym (z, A - trójkąt paralaktyczny).
Wychylenie linii pionu wpływa na orientację (spoziomowanie) np. niwelatora wykonującego pomiar
niwelacji precyzyjnej. Inne spoziomowanie generuje inne mierzone przewyższenia a zatem inne
wyniki niwelacji. W związku z tym wyniki pomiarów niwelacyjnych należałoby odnieść do warunków
pomiaru niezależnych od zmiennego wpływu Słońca i Księżyca. Wychylenie linii pionu o kąt

δΘ

powoduje przyrost wysokości proporcjonalnie do s. W związku z tym

δ

h czyli tzw. poprawka pływowa

wyniesie [26]. Elastyczne własności skorupy Ziemi sprawiają, że teoretycznie obliczony przyrost
wysokości jest rekompensowany zgodnie ze współczynnikiem elastyczności

γ

. W Polsce przyjmuje się

jego wartość równą 0.8. Zatem poprawka pływowa do wyników niwelacji oblicza się ostatecznie z
wzoru [27]. Warto zauważyć, że dla takiego samego położenia wpływa Księżyca jest dwukrotnie
większy niż wpływa Słońca.
Ze względu na czas wykonywania pomiaru odcinka niwelacyjnego (długość odcinków, niwelacja "tam
i z powrotem") poprawkę wprowadza się tylko do przewyższenia na kierunku "tam" i "z powrotem",
czyli dla średniego położenia Słońca i Księżyca w czasie pomiaru w każdym z ww. kierunków.
Potrzebne są zatem założenia co do czasu pomiaru a także zmienności azymutu odcinka
niwelacyjnego. Czas pomiaru dla danego kierunku nie powinien być większy niż 2.5

h

,

∆α

<15

°

.

Slajd 9:
Zjawisko przyciągania Słońca i Księżyca wpływa również na wartość pomiaru przyspieszenia
ciężkościowego na powierzchni Ziemi. Tym razem interesuje nas składowa pionowa

δ

g

w

wektora

przyciągania

δ

g

SK

. Zwrot wektora

δ

g

w

będzie przeciwny do wektora ciężkości a zatem przyciąganie

ww. ciał niebieskich będzie zmniejszać mierzone przyspieszenie. Wartość

δ

g

w

podobnie jak

poprzednio zależy od położenia obu ciał względem punktu pomiaru przyspieszenia na powierzchni
Ziemi. Zamiast azymutu nieistotnego na kierunku pionowym ważna jest wartość paralaksy

Π

obu ciał.

Wzór [28] służy do obliczenia przyrostu przyspieszenia wynikającego przez grawitacyjne
oddziaływanie Słońca i Księżyca. Pozwala on obliczyć poprawkę z dokładnością poprawki 0.01 mGal.
Pierwsza jego część związana z wpływem Księżyca osiąga maksymalne wartości rzędu 165 mGal,
druga - wpływ Słońca - to maksymalnie 76 mGal. Na pomiar przyspieszenia na f.p.Z. wpływają
również inne planety. Wpływ ten jest jednak znikomy i nie przekracza w sumie 0.01 mGal.
Obserwacje pływów dostarczają cennych informacji nt. pola ciężkościowego Ziemi i budowy oraz
własności skorupy Ziemi. Stąd wykonuje się je permanentnie stacjach pływowych za pomocą
grawimetrów stacjonarnych (pływowych).

3. Niwelacja astronomiczna i astronomiczno-grawimetryczna

Slajd 10:
Zastosowanie informacji o przebiegu geoidy/quasi-geoidy
Odstępy geoidy/quasi-geoidy od elipsoidy są niezbędne do:

-

wyznaczenia kształtu bryły Ziemi,

-

redukcji obserwacji geodezyjnych na powierzchnię odniesienia (elipsoidę),

-

integracji niwelacji klasycznej i satelitarnej.

Wyznaczenie przyrostów odstępów geoidy/quasi-geoidy od elipsoidy jest możliwe za pomocą
odpowiedniego opracowania pomiarów astronomicznych, geodezyjnych (w tym satelitarnych) i
grawimetrycznych.
Niwelacja astronomiczna (astronomiczno-geodezyjna) polega na wyznaczaniu przyrostów odstępów
(dN) na podstawie znanych składowych (

ξ

,

η

) względnego odchylenia linii pionu (

θ

) w punktach

wybranego profilu i w kierunku określonym azymutem (

α

).

Rysunek: w P

0

punkcie początkowym pewnego profilu powierzchnia geoidy pokrywa się z

powierzchnią elipsoidy. Stąd odstęp między ww. powierzchniami jest zerowy a linia pionu pokrywa
się z normalną do elipsoidy. W kolejnym punkcie P

1

omawianego profilu odległym od P o niewielka

odległość ds

01

nachylenie obu powierzchni zmienia się a w związku z tym odchylenie linii pionu od

normalnej wzrasta do wartości

Θ

12

wobec tego na drodze ds. nastąpił przyrost odstępu dN

1

. Na

drodze od P

1

do P

2

nastąpił podobny przyrost odchylenia do wartości

Θ

23

i odpowiedni przyrost

odstępu do wartości dN

2

. Przyrosty odstępów dN są w ścisłym związku z odpowiadającymi im

przyrostami odchylenia

Θ

na drodze s, zgodnie z wzorem [29], przy czym znak „_” określa kierunek

wzrastania odstępu. A zatem wysokość punktu końcowego K tego profilu nad elipsoidą będzie można
obliczyć po scałkowaniu zależności [29] czyli wzorem [30]. W praktyce nie można zrealizować tego
wzoru ze względu na zmienną wartość odchylenia linii pionu na danym odcinku. Zmienność tą nie da
się opisać jakąś zależnością funkcyjną co wyklucza całkowanie analityczne. Stąd istnieje konieczność

podziału profilu na krótkie odcinki i sumowaniu przyrostów odstępów na każdym z nich (całkowanie
numeryczne).
Wartości odchylenia linii pionu oblicza się w kolejnych punktach profilu z metody astro-geodezyjnej,
czyli na podstawie znanych współrzędnych

Φ

,

Λ

-astronomicznych i

ϕ

,

λ

- geodezyjnych zgodnie z

wzorami [31].


Slajd 11:
Zgodnie z powyższym odstęp w punkcie końcowym będzie równy sumie odstępów obliczonych na
poszczególnych punktach profilu A-B na f.p.Z. wg wzoru [32], przy czym do obliczenia każdego z nich
wykorzystuje się średnie odchylenie wyznaczone na sąsiednich punktach [33]. Przy założeniu liniowej
zmiany odchylenia na kolejnych odcinkach (i;i+1) przyjmuje się graniczne długości odcinków:

S < 20km na obszarach nizinnych

S < 3-5km na obszarach górskich.

Obliczenie odstępu dla odchyleń pionu znanych na fizycznej powierzchni Ziemi (punkty P

0

,...P

K

znajdują się na f.p.Z.) należy uwzględnić dodatkowo zmianę krzywizny powierzchni
ekwipotencjalnych geopa z f.p.Z. (

θ

fpZ

≠

θ

geoida

=

θ

0

) w porównaniu z geoidą (drugi składnik wzoru

[34]). Składnik ten można obliczyć na podstawie odpowiedniego rozpoznania grawimetrycznego
zgodnie z zależnością [35], gdzie: g

sr

– średnie przyspieszenie w kolejnych punktach profilu A-B, „g z

kreską” – przyspieszenie przeciętne w połowie wysokości (zredukowane redukcją Poincarego-Preya),
H – wysokości punktów nad geoidą.
Warto przypomnieć, że geopem – nazywamy powierzchnię ekwipotencjalną potencjału
rzeczywistego ciężkościowego na poziomie dowolnego punktu, geopem na poziomie morza jest
geoida.

Niwelacja astronomiczno-grawimetryczna
Ten rodzaj niwelacji wykorzystuje zarówno pomiary astronomiczno-geodezyjne (jak poprzednio
omawiana niwelacja) jak i odchylenia wyznaczone metodą Veniga-Meinesza z map anomalii
grawimetrycznych oraz odstępy określone metodą Stokesa (metoda grawimetryczna badania figury
Ziemi). Ogólny wzór realizujący niwelację astronomiczno- grawimetryczną ma postać [36],
gdzie:

ζ

B

,

ζ

A

– undulacja quasi-geoidy w punktach A i B,

θ

B

,

θ

A

– astronomiczne odchylenie linii pionu,

N

A

,N

B

– undulacja geoidy w punktach A i B (metoda grawimetryczna Stokesa),

θ

B

gr

,

θ

A

gr

– grawimetryczne odchylenie linii pionu z map anomalii grawimetrycznych (Venig-Meinesz),

S – odległość między punktami A i B.
Metoda niwelacji astronomiczno-grawimetrycznej umożliwia ograniczenie liczby punktów, w których
wykonuje się obserwacje astronomiczne do wyznaczenia astronomicznego odchylenia linii pionu