Uzupełniający komentarz do wykładów 11. Elementy teorii potencjału siły ciężkości

Slajd.20
Celem jest rozwiązanie całki na potencjał grawitacyjny V.
Dana jest bryła. W jej w środku ciężkości zaczepiony jest układ prostokątny XYZ, przy czym
oś Z pokrywa się z osią obrotu bryły, a osie X i Y leżą w płaszczyźnie równikowej bryły.
Położenia punktu przyciąganego A oraz masy elementarnej dM jest podane za pomocą
współrzędnych sferycznych:

r,

Θ

Θ

Θ

Θ

,

λλλλ

. Za pomocą tych współrzędnych można opisać również

wartość masy elementarnej dM (wzór 1) oraz odległość punktu A od tej masy (wzór 2). Wzór
3 wynika z przekształconego wzoru 2. Wzór ten można przedstawić w postaci rozwinięcia w
szereg za pomocą dwumianu Newtona.

Slajd.21
Składniki poszczególnych wyrazów tego rozwinięcia są wielomianami Legendre'a. Stąd wzór
na odwrotność odległości przyjmuje postać (wzór 1) w funkcji wielomianów Legendre'a
P

n

(cos

ψ

) (wzór 2). Następnie wprowadzona zostaje powierzchniowa funkcja kulista Y

n

(

Θ

,

λ

)

(wzór 3). Funkcję tą definiuje się następująco: „powierzchniową harmoniczną funkcją kulistą
nazywa się wyrażenia będące iloczynem funkcji Legendre’a i i składników w postaci cos(m

λ

) i

sin(m

λ

)”

Slajd.22
Po wstawieniu do wzoru na potencjał V (slajd 20) rozwinięcia odwrotności odległości w
postaci wielomianów Legendre'a podanych w postaci powierzchniowych funkcji kulistych i
scałkowaniu poszczególnych składników otrzymuje się zależność na potencjał grawitacyjny
w punkcie A (wzór 1). Rozwinięcie potencjału w tej postaci pozwala na przedstawienie
widmowego rozkładu pola grawitacyjnego. Różne wartości m i n sprawiają, że powierzchnia
zostaje podzielona na tzw. harmoniki strefowe, sektorowe i teseralne (rysunek).
Współczynniki J i K mają swoją interpretację fizyczną: np. J

2

- reprezentuje spłaszczenie

bryły (Ziemi), J

22

i K

22

opisują asymetrię równikowego rozmieszczenia masy. Współczynniki

te oblicza się na podstawie wyników pomiarów geodezyjnych i gradiometrycznych (satelity
gradiometryczne). Liczba znanych współczynników decyduje o szczegółowości modelu
potencjału.

Slajd.23
Rysunek: na punkt A znajdujący się na powierzchni obracającej się z prędkością

υ

wokół osi

Z działa siła odśrodkowa P. Jej wartość (wzór 1). Wektor prędkości liniowej styczny do toru
ruchu ciała przedstawia wzór 2, gdzie

ω

to prędkość kątowa. W związku z tym wartość siły P

można przedstawić w postaci (wzór 3).

Slajd.24
Natężenie siły odśrodkowej (wzór 1) to podobnie jak dla pola grawitacyjnego stosunek siły do
masy. Wzór 2 i jego rozwinięcie (wzór 3) przedstawiają wartość potencjału u siły
odśrodkowej. Wartość jego jest funkcją m.in. szerokości

ϕ

(

Θ

) i przyjmuje zero dla punktów

ϕ

=

π

/2 (bieguny). Potencjał odśrodkowy nie jest funkcją harmoniczną. Pochodne tego

potencjału obliczone w kierunkach osi układu przestrzennego XYZ są składowymi wektora
przyspieszenia odśrodkowego

γ′

(wzory 3,4,5). Zbiór punktów o wartości stałego potencjału

(wzór 6) u=const przedstawia powierzchnie ekwipotencjalne potencjału odśrodkowego, które
mają postać pobocznicy walca.

Slajd.25

Punkt A leżący na powierzchni obracającej się Ziemi znajduje się jednocześnie w polu
grawitacyjnym i polu siły odśrodkowej. Potencjał w punkcie A jest złożeniem potencjału
grawitacyjnego V i odśrodkowego V' (wzór 1). Taki potencjał nazywamy potencjałem
ciężkościowym W; sumę sił grawitacji F i odśrodkowej P - nazywamy siłą ciężkości, a sumę
natężenia pola grawitacyjnego i odśrodkowego natężeniem pola ciężkości g. Pochodne
potencjału ciężkościowego w kierunkach osi XYZ stanowią składowe wektora ciężkości
(wektora siły ciężkości) (wzór 5,6,7). Kierunek wektora ciężkościowego jest kierunkiem linii
pionu a powierzchnie do niego prostopadłe są tzw. powierzchniami poziomymi. Kierunek ten
często oznaczany jest przez "n". Powierzchnie poziome tworzą rodzinę powierzchni
ekwipotencjalnych potencjału ciężkościowego W=const. Powierzchnie te w pobliżu Ziemi
mają kształt elipsoidalny. Z wzoru 8 wynika, że dn stanowi odstęp powierzchni W różniących
się potencjałem dW. Stąd dla zmiennej wartości g z racji zmiennej wartości

γ

' dn również

ulega zmianie. To wskazuje, że odstęp powierzchni W=const jest zmienny czyli powierzchnie
poziome są nierównoległe. Analiza wzoru 8 prowadzi do wniosku, że w płaszczyźnie
równikowej, gdzie przyspieszenie odśrodkowe jest maksymalne i przeciwnie skierowane do
przyspieszenia grawitacyjnego odstęp ten jest największy. Nierównoległość powierzchni
ekwipotencjalnych potencjału ciężkościowego wskazuje na krzywoliniowość linii pionu jako
prostopadłej do kolejnych powierzchni W=const.
Interpretacja fizyczna powierzchni W=const - to powierzchnie po których przemieszczanie się
punktu materialnego nie wymaga pracy przeciwko sile ciężkości. Przykładem powierzchni
ekwipotencjalnej jest geoida, której potencjał W

0

=const. określony jest na poziomie morza. W

związku z tym, że przeważającą część powierzchni Ziemi stanowią morza, geoida została
przyjęta jako dobra reprezentacja kształtu bryły Ziemi.
Wzór 9 przedstawia wartość przyspieszenia w dowolnym kierunku s różnym od kierunku n.

Slajd.26
Potencjał ciężkościowy można przedstawić w rozwinięciu funkcji kulistych (wzór 1). Z
potencjałem związane jest jedno z ważniejszych twierdzeń (tw. Stokesa), które mówi, że
"przy znajomości potencjału na powierzchni obejmującej wszystkie masy, możliwe jest
określenie potencjału w przestrzeni zewnętrznej, nawet wtedy gdy rozkład mas wewnątrz
ulegnie zmianie a badana powierzchnia nie zmieni swojego kształtu". Na podstawie tego
twierdzenia można wyznaczyć kształt bryły Ziemi na podstawie wartości potencjału
ciężkościowego.

Slajd.27
Do badania kształtu bryły Ziemi (geoidy) przyjmuje się pewien matematyczny model
potencjału. Przykładem takiego modelu jest jednorodna kula z jej potencjałem ciężkościowy.
Znacznie dokładniejszym modelem jest tzw. elipsoida poziomowa. Jest to elipsoida obrotowa
posiadająca taką samą masę jak Ziemia i obracająca się z tą samą prędkością. Potencjał
ciężkościowy na tej modelowej powierzchni U

0

jest równy potencjałowi ciężkościowemu

Ziemi na poziomie geoidy W

0

. Taką elipsoidę nazywa się też ekwipotencjalną.

Charakterystyki pola ciężkościowego takiej bryły można obliczyć i będą one przybliżeniem
charakterystyk rzeczywistego pola ciężkościowego. Wzór 1 przedstawia zależność między
potencjałami ciężkościowymi elipsoidy poziomowej zwanym normalnym i potencjałem
geoidy zwanym często rzeczywistym. Wartość T jest pewnym niewielkim potencjałem, który
uzupełnia potencjał normalny elipsoidy do potencjału geoidy. Jest on funkcją potencjału
grawitacyjnego geoidy i elipsoidy (wzór 2). Z kolei potencjał elipsoidy U będzie sumą
potencjału grawitacyjnego elipsoidy i jej potencjału odśrodkowego (wzór 3). Wzór 4
przedstawia rozwinięcie potencjału normalnego elipsoidy w funkcji głównych momentów
bezwładności A i C. Wstawiając wartość parametru spłaszczenia elipsoidy

α

(wzór 5) i

uzpełniającego ją parametru q (wzór 6) otrzymamy zależność na potencjał normalny na
elipsoidzie U

e

(oznaczany również U

0

).

Slajd.28
Pochodna potencjału normalnego na kierunku siły ciężkości (n) stanowi wektor
przyspieszenia normalnego

γ

0

. Po zróżniczowaniu potencjału otrzymuje się zależność na

przyspieszenie normalne na powierzchni elipsoidy poziomowej (wzór 4). (kąt n-r stanowi kąt
różnicy między kierunkiem radialnym - do środka elipsoidy a kierunkiem pionowym; można
go obliczyć jako różnicę szerokości geodeyzjnej i geocentrycznej).
Zależność na przyspieszenie normalne przedstawia się w postaci rozwinięcia w funkcji
szerokości

ϕ

(wzór 6) i spłaszczenia grawimetrycznego

β

(

γ

p

-na biegunie,

γ

e

-na równiku)

(wzór 5). Postać (6) nosi nazwę wzoru Clairauta.

Slajd.29
Zależność (1) umożliwia obliczenie przyspieszenia normalnego na elipsoidzie trójosiowej
(a,b,c-półosie) (niestosowanej w geodezji). Dla dowolnej elipsoidy o danych parametrach
geometrycznych wartość przyspieszenia normalnego oblicza się wzorem Somigliany (2) lub
ego rozwinięciu (3).

Slajd.29
Dla dowolnej elipsoidy poziomowej wartość potencjału na jej powierzchni można obliczyć z
zależności (1). W systemie odniesienia GRS80 zdefiniowano podstawowe wielkości fizyczne
i geometryczne umożliwiające obliczenie zarówno potencjału jak i przyspieszenia
normalnego. Poniżej postać zależności na przyspieszenie normalne w funkcji
współczynników rozwinięcia potencjału w szereg funkcji kulistych.