39

Ć w i c z e n i e 5

Wyznaczanie współczynnika Coriolisa

1. Wprowadzenie

Celem ćwiczenia jest doświadczalne określenie strumienia objętościowego,

prędkości średniej oraz współczynnika poprawkowego Coriolisa dla strugi powietrza
przepływającego przez przewód o kołowym przekroju poprzecznym.

Podczas przepływu płynu rzeczywistego przez przewody zamknięte jego lepkość i

związane z nią naprężenia styczne powodują niejednorodność rozkładu prędkości w
przekrojach poprzecznych. Prędkość maksymalna występuje w pobliżu środka
przekroju i w sposób ciągły maleje w kierunku ścianek, osiągając na ich powierzchni
wartość równą zeru.
W obliczeniach technicznych wprowadza się zazwyczaj założenie upraszczające,
polegające na przyjęciu jednorodnego rozkładu prędkości w przekroju poprzecznym,
przy czym charakterystyczna prędkość przyjmowana jest jako równa prędkości
średniej, określonej zależnością:

F

V

U

śr

&

=

(1)

w której:

V& - strumień objętości przepływu,

F - pole przekroju poprzecznego.

Założenie to pozwala na wykorzystanie w obliczeniach przewodów równania
Bernoulliego w postaci wyprowadzonej dla strugi elementarnej. Odnosząc strumień
energii do strumienia objętości, możemy równanie Bernoulliego (ściślej równanie
zachowania energii) dla przekrojów kontrolnych 1 i 2 strugi elementarnej zapisać
następująco:

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

−

∆

+

+

+

=

+

+

str

p

z

g

p

U

z

g

p

U

ρ

ρ

ρ

ρ

(2)

lub w tradycyjnym ujęciu, związanym z „ciężarowym” [1] układem jednostek:

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

−

∆

+

+

+

=

+

+

str

h

z

g

p

g

U

z

g

p

g

U

ρ

ρ

(3)

Pierwsze wyrazy obydwu stron równań (2) i (3) określają energię kinetyczną w
odpowiednich przekrojach kontrolnych, drugie i trzecie odpowiednio energię ciśnienia
i energię potencjalną wysokości, a wyraz ostatni stratę energii między przekrojami.
Założenie o jednorodnym rozkładzie prędkości w przekroju poprzecznym przewodu
pociąga jednak za sobą konsekwencje w postaci błędnego obliczenia strumienia
energii kinetycznej przenikającego przez ten przekrój.

Rozpatrzmy niejednorodne, ustalone w czasie pole prędkości w przekroju

poprzecznym przewodu o ścianach cylindrycznych.
Dla płynu nieściśliwego (ρ = const) zakładając, że wektory prędkości są normalne do
rozpatrywanego przekroju, strumień energii kinetycznej przenikający przez pole
elementarne dF jest równy:

40

2

2

U

dF

U

E

d

ρ

=

&

,

(4)

skąd po scałkowaniu otrzymujemy:

∫∫

=

F

dF

U

E

3

2

ρ

&

(5)

Strumień energii wyznaczony w oparciu o prędkość średnią, nazywany dalej

pozornym strumieniem energii

p

E& , wyraża się wzorem:

2

2

3

2

śr

śr

p

U

F

U

V

E

ρ

ρ

=

=

&

&

(6)

Wykorzystując dla wyznaczenia prędkości średniej definicyjną zależność (1)
przepisaną w postaci:

∫∫

=

=

F

śr

dF

U

F

F

V

U

1

&

(7)

pozorny strumień energii przestawić można jako:

3

2

1

2















=

∫∫

F

p

dF

U

F

E

ρ

&

(8)

Nietrudno stwierdzić, że wyrażenia (8) i (5) nie są jednoznaczne i zawsze spełniony
jest warunek

p

E

E

&

&

>

.

Stosunek rzeczywistego strumienia energii kinetycznej

E& do strumienia

obliczonego z prędkości średniej

p

E& nazywa się współczynnikiem Coriolisa lub

rzadziej współczynnikiem Saint-Venante`a [3]:

3

2

3

2

3

1

2

2

2

2















=

=

∫∫

∫∫

∫∫

F

F

śr

F

dF

U

F

dF

U

U

V

dF

U

ρ

ρ

ρ

ρ

α

&

(9)

a wartość jego jest większa od jedności. Energia kinetyczna występująca w równaniu
Bernoulli’ego (2) lub (3), a wyrażona za pomocą prędkości średniej, winna być
zapisana w postaci:

Rys. 1. Szkic do wyznaczania rzeczywistego strumienia energii kinetycznej oraz

strumienia objętościowego przepływu

41

2

2

śr

U

αρ

lub

g

U

śr

2

2

α

Rozpatrzmy często spotykany w praktyce przypadek przewodu o kołowym

przekroju poprzecznym, w którym formuje się osiowosymetryczny rozkład prędkości
U = U(r) (rys. 2). Elementarny strumień objętościowy wyniesie:

)

(

2

r

U

dr

r

V

d

π

=

&

(10)

a całkowity strumień objętości:

( )

∫

=

2

/

0

2

D

dr

r

r

U

V

π

&

(11)

Prędkość średnia określona jest wówczas wzorem:

( )

( )

2

2

/

0

2

2

/

0

8

4

2

D

dr

r

U

r

D

dr

r

U

r

U

D

D

śr

∫

∫

=

=

π

π

(12)

Korzystając z zależności (5) i (6), możemy wyrazić rzeczywisty i pozorny strumień
energii kinetycznej przenikającej przez przekrój kołowy w postaci:

( )

( )

( )

∫

∫

=

=

2

/

0

3

2

/

0

2

2

2

D

D

dr

r

U

r

r

U

r

U

dr

r

E

πρ

ρ

π

&

(13)

( )

( )

3

2

/

0

4

3

2

/

0

2

2

64

2

4

1

2















=





























=

∫

∫

D

D

p

dr

r

rU

D

dr

r

r

U

D

E

πρ

π

π

ρ

&

(14)

Współczynnik Coriolisa w przepływie osiowosymetrycznym będzie równy:

( )

( )

3

2

/

0

2

/

0

3

4

64















=

=

∫

∫

dr

r

rU

dr

r

rU

D

E

E

D

D

p

&

&

α

(15)

Rys. 2. Rozkład prędkości w przewodzie o przekroju kołowym

42

Sprawdźmy obecnie, jaką wartość osiąga współczynnik Coriolisa w przepływie

laminarnym i turbulentnym. Rozkład prędkości uzyskany poprzez rozwiązanie
równania Naviera-Stokesa dla przepływu laminarnego w przewodach kołowych,
wykazujący bardzo dobrą zgodność z wynikami doświadczeń, ma postać:

( )



























−

≈



























−

=

2

2

max

2

1

2

2

1

D

r

U

D

r

U

r

U

śr

(16)

Po wprowadzeniu zależności (16) do wzoru (15) stwierdzić można, że w przepływach
laminarnych, dla których charakterystyczny jest paraboliczny rozkład prędkości,
wartość współczynnika Coriolisa jest stała i równa α = 2.

Dla przepływu turbulentnego w przewodach o przekroju kołowym promieniowy

rozkład prędkości możemy wyrazić za pomocą doświadczalnej formuły potęgowej
zaproponowanej przez Prandtla i Karmana [1]:

( )

n

D

r

U

r

U

/

1

max

2

1







 −

=

(17)

słusznej dla Re < 4 · 10

6

, przy czym wartość n jest zależna od liczby Reynoldsa n =

f(Re) i zmienia się w granicach n = 6 ÷ 11. Rozwiązanie całek występujących we
wzorze (15) pozwala uzyskać dla przepływu turbulentnego zależność:

(

) (

)

(

)(

)

3

2

3

4

1

1

2

4

3

3

+

+

+

+

=

n

n

n

n

n

α

(18)

z której wynika, że w tym typie przepływu współczynnik Coriolisa jest również
zależny od liczby Reynoldsa.
Przykładowe wartości n i α dla kilku liczb Reynoldsa zestawiono poniżej:

Re = 4 · 10

3

;

n = 6; α = 1,08

Re = 1,1 · 10

4

; n = 7; α = 1,06

Re = 3,2 · 10

6

; n = 10; α = 1,03.

W praktyce podczas obliczania przepływów turbulentnych w przewodach długich
opuszczamy zwykle współczynnik Coriolisa przyjmując, że jest on równy jedności.
Niedokładności popełnione przy określaniu strat (liniowych i lokalnych) przewyższają
na ogół nieścisłości wynikające z założenia α = 1.

2. Stanowisko pomiarowe

Schemat stanowiska pomiarowego pokazano na rys. 3. Wentylator promieniowy 1

o regulowanej prędkości obrotowej tłoczy powietrze do komory uspokajającej 2, w
której dzięki systemowi prostownic i siatek strumień powietrza zostaje
ujednorodniony. Z komory przez odpowiednio ukształtowaną dyszę powietrze
przepływa do przewodu 3 o średnicy D. W wybranym przekroju kontrolnym tego
przewodu jest dokonywany pomiar rozkładu prędkości. Rurka Pitota ciśnienia
całkowitego 4 zamocowana w suporcie 5 umożliwiającym jej promieniowy przesuw,
mierzy ciśnienie całkowite, natomiast impuls ciśnienia statycznego jest odbierany z
otworka wykonanego w ściance przewodu. Przewody impulsowe ciśnień całkowitego i
statycznego są połączone z różnicowym mikromanometrem pochylnym 6, którego
wskazanie pozwala obliczyć ciśnienie dynamiczne w wybranym punkcie
pomiarowym.

43

3. Metodyka pomiarów i obliczeń

Z rozdziału 1 wynika, że dla wyznaczenia prędkości średniej i współczynnika

Coriolisa w przepływie osiowosymetrycznym niezbędna jest znajomość rozkładu
prędkości w kierunku promieniowym. Prędkość w danym punkcie określić można
znając wartość ciśnienia dynamicznego, z zależności:

,

2

ρ

d

p

U =

m/s

(19)

w której ρ – gęstość przepływającego czynnika, kg/m

3

.

W układzie pomiarowym opisanym powyżej, ciśnienie dynamiczne wyznacza się ze
wzoru:

,

i

l

g

p

m

d

ρ

=

N/m

2

(20)

w którym:
ρ

m

- gęstość cieczy manometrycznej, kg/m

3

,

g - przyspieszenie ziemskie, m/s

2

,

l - długość słupa cieczy manometrycznej, m,
i - przełożenie mikromanometru.
Znajomość doświadczalnie określonego rozkładu prędkości U(r) pozwala na
wyznaczenie wartości całek oznaczonych, występujących w zależnościach (11), (12) i
(15):

( )

∫

=

ℑ

2

/

0

1

D

dr

r

r

U

(21)

( )

∫

=

ℑ

2

/

0

3

2

D

dr

r

r

U

(22)

przez zastosowanie jednej z metod całkowania przybliżonego, np. metody prostokątów
zilustrowanej na rys. 4.
Promień przewodu dzielimy na n równych przedziałów o szerokości:

n

D

∆r

2

=

, m

(23)

Rys. 3. Schemat stanowiska pomiarowego

44

a wartość całek

1

ℑ

i

2

ℑ

wyznaczamy ze wzorów:

∑

=

=

ℑ

n

k

k

k

r

U

∆r

1

1

(24)

∑

=

=

ℑ

n

k

k

k

r

U

∆r

1

3

2

(25)

w których:
k - numer kolejnego przedziału,
r

k

- promień środka k-tego przedziału, m,

U

k

- prędkość w środku k-tego przedziału, m/s.

Wzór (11) określający strumień objętości przepływu przyjmie postać:

,

2

1

ℑ

=

π

V&

m

3

/s

(26)

Prędkość średnia zgodnie z (12) wyraża się jako:

,

8

1

2

ℑ

=

D

U

śr

m/s

(27)

a współczynnik Coriolisa określony z zależności (15) przyjmie postać:

( )

3

1

2

4

64

ℑ

ℑ

=

D

α

(28)

Liczbę Reynoldsa charakteryzującą badany przepływ obliczamy z zależności:

ν

D

U

Re

śr

=

(29)

w której ν – kinematyczny współczynnik lepkości, m

2

/s.

4. Szczegółowy program ćwiczenia

Po uruchomieniu tunelu aerodynamicznego i ustaleniu warunków jego pracy,

należy dokonać sondowania pola prędkości wzdłuż promienia przewodu. Dla
uproszczenia późniejszych obliczeń współrzędne promieniowe punktów pomiarowych
należy dobrać tak, aby leżały one w środkach przedziałów o szerokości ∆r:

r

1

=

0,5∆r

Rys. 4. Ilustracja metody wyznaczania przybliżonej wartości całek

45

r

2

= (2 - 0,5) ∆r

……………………......

r

k

= (k - 0,5) ∆r

Wyniki wskazań mikromanometru l

k

wpisujemy w tablicę pomiarowo-obliczeniową i

dla każdego z punktów pomiarowych obliczamy:
- ciśnienie dynamiczne p

dk

– wzór (20),

- prędkość przepływu U

k

– wzór (19),

- iloczyn r

k

U

k

,

- iloczyn r

k

U

k

3

,

a następnie określamy wartości sum:

∑

∑

=

=

n

k

k

k

n

k

k

k

U

r

U

r

1

3

1

;

które pomnożone przez ∆r pozwalają zgodnie z (24) i (25) obliczyć wartości całek

1

ℑ

oraz

2

ℑ

. Korzystając z zależności (26), (27), (28), (29) obliczamy kolejno:

- strumień objętości przepływu

V& , m

3

/s

- prędkość średnią U

śr

, m/s

- współczynnik Coriolisa α,
- liczbę Reynoldsa Re.
Po wykonaniu pomiarów i obliczeń należy sprawdzić, czy uzyskana wartość
współczynnika Coriolisa zawiera się w zakresie charakterystycznym dla liczby
Reynoldsa badanego przepływu.

Literatura:

1. Bukowski J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1959
2. Czetwertyński E., Utrysko B.: Hydraulika i hydromechanika, PWN, Warszawa 1969
3. Walden H., Stasiak J.: Mechanika cieczy i gazów w inżynierii sanitarnej, Arkady,

Warszawa 1971

46

Tabela pomiarowo-obliczeniowa

D = ……….m; t = ……….

o

C; ρ = …….......kg/m

3

; ρ

m

= …………kg/m

3

;

ν = ……..m

2

/s; n = ……..;

∆r = ……….m;

∑

=

=

=

ℑ

n

k

k

k

U

r

∆r

1

1

;

..........

∑

=

=

=

ℑ

n

k

k

k

U

r

∆r

1

3

2

;

..........

;

..........

2

1

=

ℑ

=

π

V&

.;

..........

8

1

2

=

ℑ

=

D

U

śr

.........;

64

3

1

2

4

=

ℑ

ℑ

=

D

α

.........

Re

=

=

ν

D

U

śr

L.p.

r

k

m

l

k

m

p

dk

N/m

2

U

k

m/s

r

k

U

k

m

2

/s

r

k

U

k

3

m

4

/s

3

∑

=

20

1

k