Fale materii
FALE MATERII
Hipoteza de Broglie (1924, Nagroda Nobla w 1929)
W 1924 r. de Broglie zapostulował, \
e skoro światło ma
dwoistÄ…, falowo-czÄ…stkowÄ…, naturÄ™, to tak\
e materia mo\
e
mieć taką naturę.
Klasyczna teoria elektromagnetyzmu światło o energii E ma pęd p = E/c
E hv hc  h
p = = = =
f
c c c 
Hipoteza długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który
stosuje się do światła
h
 =
p
Wyra\
enie to wiÄ…\
e pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal materii
1
Przykład: Jaka długość fal materii odpowiada  masywnym obiektom np. piłce, o masie
1 kg, poruszającej się z prędkością 10 m/s, a jaka  lekkim elektronom przyspieszonych
napięciem 100 V?
h 6.6 Å"10-34 Js
 = = = 6.6 Å"10-35 m
Dla piÅ‚ki p = mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s
p 10 kgm/s
 E" 0 (w porównaniu z rozmiarami obiektu) doświadczenia prowadzone na takim obiekcie
nie pozwalają na rozstrzygnięcie czy materia wykazuje własności falowe.
Elektrony przyspieszone napięciem
2Ek 2Å"1.6Å"10-17J
100 V uzyskujÄ… energiÄ™ kinetycznÄ… v = = = 5.9Å"106m s
m 9.1Å"10-31kg
Ek = eU = 100 eV = 1.6·10-17 J
h h 6.6Å"10-34Js
 = = = =1.2Å"10-10m = 0.12 nm
p mv 9.1Å"10-31 Å"5.9Å"106kgm s
Jest to wielkość rzędu odległości międzyatomowych w ciałach stałych.
Jak zbadać falową naturę materii? Mo\
e zbadać obraz po przejściu przez szczeliny ?
obraz dla czÄ…stek
obraz dla fal
2
Dyfrakcja promieni Roentgena (promienie X- fale elektromagnetyczne)
Kryształ   naturalna siatka dyfrakcyjna
Dyfrakcja Lauego
Analiza poło\
eń i natę\
eń punktów pozwala na
określenie struktury kryształu.
5
2d sin¸ = m, m = 1, 2, 3,.....(maksima) prawo Bragga
Pomiar dyfrakcja promieni X jest doświadczalną metodą badania
rozmieszczenia atomów w kryształach.
6
3
Dyfrakcja elektronów (elektrony to cząstki)
Doświadczenie Davissona i Germera (1927)
Elektrony przyspieszane są napięciem U
Wiązka pada na kryształ niklu, a detektor
jest ustawiony pod zmiennym kÄ…tem Õ
Rejestrowane jest natÄ™\
enie wiÄ…zki
ugiętej na krysztale dla ró\
nego U.
Maksimum dyfrakcyjne rejestrowane jest dla Õ = 50°przy U = 54 V.
¸ = 90° - Õ /2 2d sin¸ = 
dla niklu (d = 0.091 nm)  = 0.165 nm
długość fali de Broglie a
2Ek 2eU
h h
v = =
 = = = 0.165 nm
m m
p mv
Struktura atomu i fale materii
Ruch fal jest ograniczony przez nało\
enie warunków
fizycznych, analogicznie jak dla drgań struny zamocowanej
na obu końcach.
Mamy wtedy do czynienia z falÄ™ stojÄ…cÄ… (a nie bie\
Ä…cÄ…)
w strunie mogą występować tylko pewne długości fal.
Mamy do czynienia z kwantyzacją długości fal wynikającą z
ograniczeń nało\
onych na falÄ™.
Orbita musi na swym obwodzie mieścić całkowitą liczbę długości fal de Broglie'a
h
2Ä„ r = n   =
p
h
h
2Ä„ r = n L = pr = n n = 1, 2,.....
p
2Ä„
Warunek Bohra kwantyzacji momentu pędu jest konsekwencją przyjęcia zało\
enia,
\
e elektron jest reprezentowany przez falÄ™ materii.
Postulat de Broglie'a wiÄ…\
e elektron ze stojÄ…ca falÄ… materii.
4
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
Postulat de Broglie'a wiÄ…\
e elektron ze stojÄ…ca falÄ… materii ale....
" nie daje informacji o sposobie rozchodzenia siÄ™ fal materii,
" nie odpowiadał na pytanie jaką postać mo\
e mieć funkcja opisująca fale materii, jak ją
wyznaczyć oraz jaka jest jej interpretacja.
E. Schrödinger (Nagroda Nobla 1933)
W 1926 roku E. Schrödinger sformuÅ‚owaÅ‚ mechanikÄ™ falowÄ…
(jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) zajmującą się opisem
falowych własności materii  uogólnienie postulatu de
Broglie'a.
pakiet falowy interferencja
wielu fal o ró\
nych pędach
(analogia do dudnień)
równanie w jednym wymiarze:
Równanie Schrödingera (1926)
2 2
" y 1 " y
" Fale mechaniczne np. w strunie są opisywane przez równania =
" x2 v2 " t2
mechaniki Newtona (równanie falowe d'Alamberta):
2 2
2 2
" E 1 " E
" B 1 " B
" Fale EM są opisywane przez równania Maxwella (równanie
=
= i
falowe d'Alamberta):
" x2 c2 " t2 " x2 c2 " t2
" Fale materii sÄ… opisywane przez równanie Schrödingera:
2
h2 " ¨ ( x , t ) " ¨ ( x , t ) h
- + U ( x )¨ ( x , t ) = ih h =
2
2 m " x " t 2 Ä„
dla stanu stacjonarnego U (x) jej energiÄ… potencjalnÄ… zale\
ną tylko od jej poło\
enia
(dla uproszczenia rozwa\
amy równanie jednowymiarowe, zale\
ne od x)
rozwiÄ…zanie - fala materii:
E
É =
¨ (x,t) =È (x)Å"e-iÉt
h
modulacja
zmienność
przestrzenna
w czasie
5
Równanie Schrödingera (1926)
równanie w jednym wymiarze:
rozwiÄ…zanie:
h2 "2¨ (x,t) "¨ (x,t) E
- +U (x)¨ (x,t) =h
i
¨ (x,t) =È (x) Å"e-iÉt gdzie : É =
2m "x2 "t
h
h2 "2È (x)
- +U (x)È (x) = EÈ (x)
2m "x2
È (x) = ?
E jest energią całkowitą cząstki, U (x) jej energią potencjalną zale\
ną od jej poło\
enia
RozwiÄ…zanie równania Schrödingera polega na znalezieniu funkcji falowej È(x) i wartoÅ›ci
energii cząstki E przy znanej działającej na cząstkę sile zadanej poprzez energię potencjalną
U (x) .
ostateczne rozwiÄ…zanie:
¨ (x,t) =È (x)Å"e-iÉ t
Przykład 1: elektron w " studni potencjału spełnia
równanie Schrödingera dla U=0:
h2 "2È (x)
x < 0
- = EÈ (x)
2m "x2
x > L
U (x) "
2Ä„
0 d" x d" L È (x) = Asin(kx) gdzie : k =

U (x) = 0
Poza studnią prawdopodobieństwo znalezienia
Analogia do struny umocowanej
czÄ…stki = 0 È (0) = 0 i È (L) = 0
na obu końcach.
 2L nĄ
długość fali jest skwantowana
L = n Ò!  = lub k = ; n = 1, 2, ...
2 n L
równanie fali stojącej:
spełnia równanie
2
nĄx
Ä„ h2
Schrödingera
È (x) = Asin , n = 1, 2, ......
E = n2 , n = 1, 2, ......
L dla energii:
2mL2
lub inaczej z relacji de Broglie a:
2
p2 (h / )2 Ä„ h2
Dla cząstki związanej występuje
E = = = n2 , n = 1, 2, ......
kwantyzacja energii !!
2m 2m 2mL2
6
rozwiÄ…zanie równania Schrödingera to funkcja falowa fali stojacej  czÄ…stka jest zwiÄ…zana
(uwięziona) w studni potencjału ! :
Interpretacja M. Borna: wielkość
h2
E = n2 , n = 1, 2, ......
IÈ I2 w dowolnym punkcie
8mL2
przedstawia tzw. gęstość
prawdopodobieństwa, \
e czÄ…stka
znajdzie siÄ™ w pobli\
u tego
punktu. Prawdopodobieństwo, \
e
znajdziemy czÄ…stkÄ™ w przedziale
[x, x+dx] wynosi IÈ (x)I2dx.
nĄx
È (x) = Asin
L
Nagroda Nobla 1954
2 nĄx
È (x) = A2 sin2ëÅ‚ öÅ‚,
ìÅ‚ ÷Å‚
L
íÅ‚ Å‚Å‚
n =1, 2, ......
UWAGA: Opisując zachowanie cząstki funkcją falową (spełniającą
równania Schrödingera) wyjaÅ›niliÅ›my przyczynÄ™ kwantyzacji energii !!
Przykład 2: elektron w skończonej studni potencjału
h2 "2È (x)
- +U (x)È (x) = EÈ (x)
2m "x2
Elektronowe fale materii
przenikajÄ… do obszaru o U (x) = U0
niedostępnego według klasycznej
mechaniki Newtona
7
Przykład 3: tunelowanie elektronu przez barierę potencjału
E < U0 !!!
klasycznie elektron odbije siÄ™ od bariery
kwantowo istnieje prawdopodobieństwo,
\
e elektron przeniknie (przetuneluje) przez
barierÄ™
dla x < 0 obserwujemy falę stojącą powstałą
w wyniku nało\
enia siÄ™ elektronowej fali
padajÄ…cej i odbitej od bariery
Elektron mo\
e przejść przez  ścianę mimo, \
e
jego energia, z pozoru, na to nie pozwala
Atomy - równanie Schrodingera
8
Orbitale mo\
na traktować jako rozkłady ładunku elektronu wokół jądra.
n=1, l=0, m=0 n=2, l=1, m=0 n=2, l=1, m=1 n=3, l=2, m=1 n=3, l=2, m=2
n=4, l=2, m=2
n=1, l=0, m=0 n=2, l=0, m=0 n=2, l=1, m=0
Sens fizyczny liczb kwantowych
Energia elektronu
RozwiÄ…zanie równania Schrödingera dla atomu wodoru dostarcza oprócz funkcji
falowych równie\
wartości energii elektronu związanego w atomie.
me4 E1
En = - = n = 1, 2,.....
2
8µ0 h2n2 n2
Wartości zgodne z doświadczalniem
weryfikacja teorii Schrödingera.
Teoria Schrödingera atomu jednoelektronowego
obraz struktury atomu podstawy kwantowego
opisu atomów wieloelektronowych, cząsteczek oraz
jÄ…der atomowych.
Opis falowy mikroświata jest ju\
dzisiaj dobrze
ugruntowanÄ… teoriÄ….
9
Orbitalny moment pędu
L = r × mev = r ×p
Mechanika klasyczna
" Dla elektronu krÄ…\
ącego wokół jądra mo\
na dokładnie
wyznaczyć długość L oraz wartość jednej jego składowej
np. Lz .
" Pozostałe składowe Lx i Ly mają wartości nieokreślone.
" Wartości L oraz Lz są skwantowane
L =h l(l +1) , Lz =hml
l = 0, 1, 2, ...; ml = 0, Ä…1, Ä…2, Ä…3, ...., Ä… l
Wartość orbitalnego momentu pędu elektronu w atomie i jego rzut na oś z przyjmują
ściśle określone wartości zale\
ne od liczb kwantowych l i ml .
W atomie srebra na zewnętrznej powłoce znajduje
Spin elektronu
się pojedynczy elektron, którego spin nie jest
"równowa\
ony" przez elektron ze spinem
przeciwnym.
Doświadczenie Sterna-Gerlacha
Elektrony posiadają wewnętrzny moment pędu spinowy moment pędu (spin).
Spin jest skwantowany przestrzennie dla danego stanu orbitalnego sÄ… mo\
liwe
dwa kierunki spinu rzut wektora spinu na oÅ› z mo\
e przyjmować tylko dwie
wartości spinowa liczba kwantowa ms , która mo\
e przyjmować dwie wartości
ms = Ä… ½.
Moment pędu atomu jest sumą momentów pędów orbitalnych i spinów
wszystkich elektronów w atomie i jest te\
skwantowany przestrzennie.
10
Sens fizyczny liczb kwantowych - podsumowanie
" Funkcja falowa elektronu zale\
y od trzech liczb kwantowych n, l,
ml otrzymanych z równania Schroedingera oraz liczby ms
wynikającej z efektów relatywistycznych.
" Główna liczba kwantową n jest związana z kwantowaniem energii
całkowitej elektronu w atomie wodoru.
" Liczby kwantowe l, ml opisują wartość i rzut wektora momentu
pędu elektronu (obie wielkości są skwantowane) .
" Spinowa liczba kwantowa ms , która mo\
e przyjmować dwie
wartoÅ›ci ms = Ä… ½ opisuje rzut wektora spinu na oÅ› z.
Atom wieloelektronowy
Mendelejew (1869 r.) większość własności pierwiastków chemicznych jest
okresową funkcją liczby atomowej Z (liczba elektronów w atomie) układ
okresowy pierwiastków.
Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się je\
eli zebrać je w
grupy zawierające 2, 8, 8, 18, 18, 32 elementów.
11
Zasada Pauliego - nagroda Nobla 1945
W 1925 r. Pauli podał zasadę (nazywaną zakazem
Pauliego), dzięki której automatycznie są generowane
grupy o liczebności 2, 8, 18, 32.
Wolfgang Pauli
W atomie wieloelektronowym w tym samym stanie kwantowym, mo\
e znajdować
siÄ™ co najwy\
ej jeden elektron.
Stan kwantowy charakteryzuje zespół czterech liczb kwantowych:
n = 1, 2, 3, .....
l = 0,1, 2, ...... , n -1
ml = 0, Ä…1, Ä… 2, ..... , Ä… (l -1), Ä… l
1
ms = Ä…
2
W atomie wieloelektronowym elektrony muszą się ró\
nić przynajmniej jedną
liczbÄ… kwantowÄ….
Przykład: Na orbicie pierwszej n = 1 mogą znajdować się tylko dwa elektrony bo
dla n = 1 odpowiednie liczby kwantowe wynoszÄ…
(n, l, ml, ms) = (1,0,0,Ä… ½)
dla n = 2 (n, l, ml, ms) = (2,0,0,Ä… ½)
(2,1,1,Ä… ½), (2,1,0,Ä… ½), (2,1,-1,Ä… ½)
w stanie n = 2 mo\
e być 8 elektronów
dla n = 3
(n, l, ml, ms)= (3,0,0,Ä… ½)
(3,1,1,Ä… ½), (3,1,0,Ä… ½), (3,1,-1,Ä… ½)
(3,2,2,Ä… ½), (3,2,1,Ä… ½), (3,2,0,Ä… ½), (3,2,-1,Ä… ½), (3 ,2,-2,Ä… ½)
w stanie n = 3 mo\
e być 18 elektronów
Zasada (zakaz) Pauliego obowiÄ…zuje dla ka\
dego układu zawierającego elektrony,
nie tylko dla elektronów w atomach.
12
Układ okresowy pierwiastków
" Korzystamy z zasady Pauliego
" Konwencja: numer powłoki (n) piszemy cyfrą, natomiast podpowłoki (orbitale):
l = 0, 1, 2, 3, oznaczmy literami s, p, d, f itd.
" Wskaz
nik górny przy symbolu podpowłoki liczba znajdujących się w niej
elektronów, wskaz
nik dolny przy symbolu chemicznym pierwiastka wartość Z.
Hel (Z = 2) 2He : 1s2
Od boru (Z = 5) do neonu (Z = 10)
Lit (Z = 3) 3Li : 1s22s1
bor (Z = 5) 5B : 1s22s22p1
węgiel (Z = 6) 6C : 1s22s22p2
Beryl (Z = 4) 4Be : 1s22s2
azot (Z = 7) 7N : 1s22s22p3
tlen (Z = 8) 8O : 1s22s22p4
fluor (Z = 9) 9F : 1s22s22p5
neon (Z = 10) 10Ne : 1s22s22p6
" W obrębie jednego okresu powłoka walencyjna jest zajmowana przez kolejne elektrony. Po zapełnieniu
całej powłoki następuje przejście do nowego okresu i powstanie kolejnej powłoki elektronowej.
" Mo\
na więc powiedzieć, \
e atomy występujące w tych samych okresach mają taką samą liczbę powłok
elektronowych, a występujące w tych samych grupach mają taką samą liczbę elektronów na powłokach
walencyjnych (tzn. zewnętrznych).
13
Ró\
nice energii pomiędzy
niektórymi podpowłokami są tak
małe, \
e mo\
e zostać
odwrócona kolejność ich
zapełniania.
Grupy zazwyczaj wypisuje się w kolumnach, a okresy w rzędach. Grupy dzieli się
na grupy główne i grupy poboczne.
W grupach głównych (A) elektrony z powłoki walencyjnej zajmują orbitale s i p (na
powłokach tego typu mieści się dokładnie 8 elektronów)
14
W grupach pobocznych (B) elektrony z powłoki walencyjnej zajmują orbitale s i d, a
w grupie lantanowców i aktynowców orbitale: s, d i f.
Układ okresowy dzielimy na bloki: s i p (grupy główne), d (grupy poboczne) oraz f
(lantanowce i aktynowce).
Układ okresowy a własności chemiczne atomów
" Elektrony na ostatniej, najbardziej zewnętrznej powłoce (nazywanej powłoką
walencyjną) są najsłabiej związane z atomem i mogą odrywać się od atomu podczas
tworzenia wiązań chemicznych.
" Powłoka ta mo\
e przyjmować te\
dodatkowe elektrony, a energia wiÄ…zania tych
dodatkowych elektronów ma kluczowe znaczenie przy powstawaniu związków
chemicznych.
" Pierwsze dwie grupy główne (oprócz wodoru) grupują atomy o bardzo silnych
własnościach metalicznych, zaś trzy przedostatnie (grupy V, VI i VII) grupują atomy
o mniej lub bardziej wyraz
nych własnościach niemetalicznych. Wreszcie grupa VIII
to gazy szlachetne. Wszystkie atomy grup pobocznych, a tak\
e lantanowce i
aktynowce to typowe metale.
15
Promieniowanie atomów wieloelektronowych - przykłady
1) Promienie X
Elektrony przyspieszane przez wysokie napięcie rzędu 104 V uderzają w anodę (tarczę).
W anodzie elektrony sÄ… hamowane a\
do ich całkowitego zatrzymania. Zgodnie z fizyką
klasyczną, występuje emisja promieniowania elektromagnetycznego o widmie ciągłym.
hc
'
hv = = Ek - Ek

Gdy elektron traci całą energię w jednym procesie zderzenia
Ek' = 0
hc hc
= Ek
Ek = eU
min =
min
eU
min zale\
y jedynie od napięcia U, a nie zale\
y np. od materiału z jakiego zrobiono tarczę.



Widmo rentgenowskie
" Istnieje dobrze określona minimalna długości fali min widma ciągłego.
" Wartość min zale\
y jedynie od napięcia U i jest taka sama dla wszystkich
materiałów, z jakich wykonana jest anoda.
" Obserwuje siÄ™ charakterystyczne linie widmowe (maksima natÄ™\
enia)
występujące dla ściśle określonych długości fal.
" Zaobserwowano, \
e widmo liniowe zale\
y od materiału (pierwiastka) anody.
16
Na gruncie fizyki kwantowej mo\
na wyjaśnić powstawanie
widma liniowego (charakterystycznego).
" Elektron przelatujÄ…c przez atom anody mo\
e wybić
elektrony z ró\
nych powłok atomowych.
" Na opró\
nione miejsce (po wybitym elektronie) mo\
e
przejść elektron z wy\
szych powłok emisja fotonu o
ściśle określonej energii.
" Zazwyczaj proces powrotu atomu do stanu
podstawowego składa się z kilku kroków przy czym
ka\
demu towarzyszy emisja fotonu.
W ten sposób powstaje widmo liniowe - charakterystyczne
dla atomów pierwiastka anody.
Prawo Moseleya
me4
R = stała Rydberga
2
8µ0 h3c
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
v = (Z - a)2 RcìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ 2 ÷Å‚
k j2 a- stała ekranowania
íÅ‚ Å‚Å‚
2) Lasery
Wykorzystanie zjawisk kwantowych w praktyce: kwantowy generator światła - laser.
Laser - Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
Światło laserowe
" monochromatyczność i mała szerokość linii emisyjnej du\
a moc w wybranym
obszarze widma,
" spolaryzowanie wiązki światła,
" spójność wiązki w czasie i przestrzeni,
" bardzo małą rozbie\
ność
17
Emisja spontaniczna i wymuszona
Ek - E
j
v =
h
emisja wymuszona
przyspieszenie emisji energii
przez oświetlenie atomów
wzbudzonych odpowiednim
promieniowaniem.
W emisji spontanicznej mamy do czynienia z fotonami, których fazy
i kierunki są rozło\
one przypadkowo. Natomiast foton wysyłany w
procesie emisji wymuszonej ma takÄ… samÄ… fazÄ™ oraz taki sam kierunek
ruchu jak foton wymuszajÄ…cy.
Inwersję obsadzeń mozna wywołać na kilka sposobów min. za pomocą zderzeń
z innymi atomami lub za pomocÄ… tzw. pompowania optycznego czyli
wzbudzania atomów na wy\
sze poziomy energetyczne przez ich oświetlanie.
Przepływ prądu przez mieszaninę
He  Ne zderzenia elektronów
z atomami He wzbudzenia He
do stanu E3
Zderzenia He (E3)  Ne wzbudzenia
Ne do stanu E2
Inwersja obsadzeń stan E2
obsadzony liczniej ni\
stan E1
Przejście na poziom E1 zachodzi
wskutek emisji wymuszonej
18
Inny sposób  odwrócenia rozkładu boltzmanowskiego jest wykorzystany w
laserze rubinowym.
Laser zbudowany na ciele
stałym składa się z pręta
wykonanego
Rubin
z kryształu Al2O3, w którym
jonami czynnymi sÄ… atomy
domieszki np. atomy chromu.
Promieniowanie "pompujące" jest wytwarzane przez lampę błyskową umieszczoną
wokół kryształu. Absorbując światło z lampy błyskowej atomy chromu przechodzą
do stanu wzbudzonego.
Obecnie działają zarówno lasery impulsowe jak i lasery o pracy ciągłej.
Ośrodkami czynnymi w laserach są gazy, ciała stałe i ciecze, a zakres długości fal
jest bardzo szeroki; od podczerwieni przez obszar widzialny a\
do nadfioletu.
Holografia
zapis (wiÄ…zka przechodzÄ…ca
lub odbita od przedmiotu +
wiÄ…zka odniesienia interferujÄ… i tworzÄ…
prÄ…\
ki interferencyjne na kliszy)
odczyt
(dwa obrazy dyfrakcyjne 1-go rzędu)
odczyt
zapis
19